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1、学习必备 精品知识点 导数的应用及定积分（一）导数及其应用 1函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率是lim x0 y xlim x0 f x0 x f x0 x.我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作 f(x0)或y|xx0，即f(x0)lim x0 y xlim x0f x0 x f x0 x。2导数的几何意义 函数 yf(x)在 xx0处的导数，就是曲线 yf(x)在 xx0处的切线的斜率，即 kf(x0)lim x0f x0 x f x0 x.3函数的导数 对于函数 yf(x)，当 xx0时，f(x0)是一个确定的数当 x 变化时，f(x)便是一个关于 x 的函数，我们称它为
2、函数 yf(x)的导函数(简称为导数)，即 f(x)ylim x0f x0 x f x0 x.4函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在点 xx0处的函数值，即 f(x0)f(x)|xx0。5常见函数的导数(xn)_.(1x)_.(sinx)_.(cosx)_.(ax)_.(ex)_.(logax)_.(lnx)_.（1）设函数 f(x)、g(x)是可导函数，则：(f(x)g(x)_；(f(x)g(x)_（2）设函数 f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)0，f xg x_.（3）复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yx
3、yuux.即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 6函数的单调性 设函数 yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果在区间(a，b)内，f(x)0，则 f(x)在此区间单调_；(2)如果在区间(a，b)内，f(x)0，则 f(x)在此区间内单调_(2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较学习必备 精品知识点 _，其图象比较_ 7函数的极值 一般地，已知函数 yf(x)及其定义域内一点 x0，对于包含 x0在内的开区间内的所有点x，如果都有_，则称函数 f(x)在点 x0处取得_，并把 x0称为函数 f(x)的一个_；如果
4、都有_，则称函数 f(x)在点 x0处取得_，并把 x0称为函数 f(x)的一个_极大值与极小值统称为_，极大值点与极小值点统称为_ 8函数的最值 假设函数 yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在a，b上一定能够取得_与_，若该函数在(a，b)内是_，该函数的最值必在极值点或区间端点取得 9生活中的实际优化问题（1）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中_的取值范围（2）实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是_点（二）定积分 1曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线 xa、xb(ab)、y0 和曲线_所围成
5、的图形称为曲边梯形(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：分割：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些_；近似代替：对每个小曲边梯形“_”，即用_的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的_；求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值_；取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个_，即为曲边梯形的面积 2求变速直线运动的路程 如果物体做变速直线运动，速度函数为 vv(t)，那么也可以采用_、_、_、_的方法，求出它在 atb 内所作的位移 s.3定积分的概念 如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0 x1xi1xixnb 将区
6、间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点 i(i1,2，n)，作和式 Snni1f(i)x化时便是一个关于的函数我们称它为函数的导函数简称为导数即函数在的导数与对的导数的乘积函数的单调性设函数在区间内可导如果在区间比较函数的极值一般地已知函数及其定义域内一点对于包含在内的开区学习必备 精品知识点 _(其中 x 为小区间长度)，当 n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a，b上的_，记作baf(x)dx，即baf(x)d x_ 这里，a 与 b 分别叫做_与_，区间a，b叫做_，函数 f(x)叫做_，x 叫做_，f(x)dx 叫做_ 4定积分的几
7、何意义 如果在区间a，b上函数 f(x)连续且恒有_，那么定积分baf(x)dx表示由_，y0 和_所围成的曲边梯形的面积 5定积分的性质 bakf(x)dx_(k为常数)；ba(x)dxf(x)f21_；baf(x)dxcaf(x)dx_(其中 aca0)；basinxdxcosx|ba；化时便是一个关于的函数我们称它为函数的导函数简称为导数即函数在的导数与对的导数的乘积函数的单调性设函数在区间内可导如果在区间比较函数的极值一般地已知函数及其定义域内一点对于包含在内的开区学习必备 精品知识点 bacosxdxsinx|ba；badxexex|ba；badxaxaxlna|ba(a0 且 a1
8、)练习题：1若直线 yxb 为函数 y1x的图象的切线，求 b 及切点坐标 2曲线 y23x2在点(3,6)处的切线与 x 轴、直线 x2 所围成的三角形的面积为_ 3设 ysinx1cosx，x0)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在 x 1,1 内没有极值点，求 a 的取值范围；(3)若对任意的 a3,6，不等式 f(x)1 在 x 2，2 上恒成立，求 m的取值范围 9设 f(x)13x312x22ax.(1)若 f(x)在(23，)上存在单调递增区间，求 a 的取值范围；(2)当 0a0，故函数 f(x)的定义域为(0，)f(x)aax22x，f(2)aa410，
9、a45.f(x)4545x22x25x2(2x25x2)，令 f(x)0，得 0 x2，令 f(x)0，得12x0 恒成立，因为 f(x)aax22x化时便是一个关于的函数我们称它为函数的导函数简称为导数即函数在的导数与对的导数的乘积函数的单调性设函数在区间内可导如果在区间比较函数的极值一般地已知函数及其定义域内一点对于包含在内的开区学习必备 精品知识点 ax22xax2，所以需 x0 时 ax22xa0 恒成立，即 a2xx21对 x0 恒成立 因为2xx212x1x1，当且仅当 x1 时取等号，所以 a1.7 题：因为f(x)在x1 时有极值 0，且f(x)3x26axb.所以 f(1)0
10、f(1)0，即 36ab013aba20，解得 a1b3，或 a2b9.当 a1，b3 时，f(x)3x26x33(x1)20，所以 f(x)在 R 上为增函数，无极值，故舍去；当 a2，b9 时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当 x3，1时，f(x)为减函数；当 x1，)时，f(x)为增函数，所以 f(x)在 x1 时取得极小值因此 a2，b9.8 题：(1)f(x)3x22axa23(xa3)(xa)，又a0，当xa3时，f(x)0；当axa3时，f(x)0.函数f(x)的单调递增区间为(，a)，(a3，)，单调递减区间为(a，a3)(2)由题设可知，方程f(x)3x22axa2
11、0 在 1，1 上没有实根，f(1)0，f(1)0，32aa20，32aa20，a3.(3)a3,6，a31,2，a3，又x 2,2，当x 2，a3)时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(a3，2 时，f(x)单调递增，故f(x)的最大值为f(2)或f(2)而 f(2)f(2)164a20，得a19，所以，当a19时，f(x)在(23，)上存在单调递增区间(2)令f(x)0，得两根 x11 18a2，x21 18a2，所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增 因为 0a2，所以x11x24，所以f(x)在1,4 上的最大值为f(x2)又f(4)f(1)272
12、6a0，所以f(4)f(1)，所以f(x)在1,4 上的最小值为f(4)8a403163，得a1，x22，从而f(x)在1,4上的最大值为f(2)103 10 题：每月生产x吨时的利润为 f(x)(24200 15x2)x(50000 200 x)15x324000 x50000(x0)由f(x)35x2240000，解得x1200，x2200(舍去)因f(x)在0，)内只有一个点x200 使f(x)0，故它就是最大值点，且最大值为：f(200)15200324000200500003150000(元)答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元 化时便是一个关于的函数
13、我们称它为函数的导函数简称为导数即函数在的导数与对的导数的乘积函数的单调性设函数在区间内可导如果在区间比较函数的极值一般地已知函数及其定义域内一点对于包含在内的开区学习必备 精品知识点 11 题由定积分的几何意义得339x2dx32292，33x3dx0，由定积分性质得 33(9x2x3)dx339x2dx33x3dx92.13 题：(1)如图所示 由 y4x，yx3.解得 x2，y8，或 x2，y8.第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S20(4xx3)dx(2x244x)|20844.化时便是一个关于的函数我们称它为函数的导函数简称为导数即函数在的导数与对的导数的乘积函数的单调性设函数在区间内可导如果在区间比较函数的极值一般地已知函数及其定义域内一点对于包含在内的开区