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1、学习必备 欢迎下载 1、学会从简单问题入手找规律 2、能够利用数论、几何等专题解周期性问题 3、归纳找规律问题的解题思想 一、知识点说明 同学们在探索某一类事物的性质或它们之间的关系的时候，经常从观察具体事物入手，通过分析、猜测、验证，找出这类事物的一般属性。这种“从特殊到一般的推理方法”，叫做归纳法，或者称之为找规律，很多人也称之为周期问题。二、考点总结 找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型是出现。这是为了考验我们是否能在最短时间里找到数字间的奥秘，即是在考察我们的数感和归纳能力，这种能力不是与生俱来的，是和我们日常积累分不开的，正所谓见多识广吧。所以找规律这
2、类题目，需要同学们养成细观察、勤思考的习惯，不断提高归纳能力。找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.三、提炼思想 找规律是奥数里最重要的思想之一，很多难题都是靠这种方法解决的，要求我们能够观察数列或数表中每一个数自身的特征（如奇偶性，整除性，是否为质或者合数等等）、相邻数之间的差或商的变化特征（常见的有等差数列，等比数列，斐波那契数列，复合数列等等），有时候还需要考虑连续多个数之间的和差倍关系，甚至对于某个自然数的余数数列等知识点拨 教学目标 第一讲：规律性问题 学习必备 欢迎下载 等，所以同学们要好好的体会这种思想方法，争取在奥数的学
3、习中能够克服难题，取得进步。模块一、数论部分 【例 1】下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：（1）3，5，7，11，15，19，23，（2）6，12，3，27，21，10，15，30，（3）2，5，10，16，22，28，32，38，24，（4）2，3，5，8，12，16，23，30，【解析】这四个与众不同的数依次是：15，10，5，16。因为：（1）除了 15 其余都是质数；（2）除了 10 其余都是 3 的倍数；（3）除了 5 其余都是偶数；（4）相邻两数之间的差依次是 1，2，3，4，5，6，成等差数列。注：本题答案不唯一，只要学生说明白道理就算正确。【例 2】在下面的
4、一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数字之和的个位数字，那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是 2，0，0，8？1，9，9，9，8，5，1，3，7，6，7，3，3，9，2，7，1，9，9，6，【解析】运用奇偶性进行分析，这些数的奇偶性依次是：奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，四个奇数一个偶数循环出现，而 2，0，0，8 均为偶数，必定不会出现在相邻的位置上。【例 3】数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，一共 2005 项，其中共有多少个是 6的倍数？这串数从第三个起，每个数都是它前面两个数的和，所以这是一个菲波那契数列，这串
5、数除以 6 的余数依次是：1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，注意：计算余数的时候不用把原数计算出来，可以直接用菲波那契数列的规律计算余数，如前两个数是 5，2，则下一个数是（5+2）6 的余数为 1 。余数数列从第一个起，每 24 个循环一次，每一次循环中有两个数是 6 的倍数，而 2005=248313，所以这 2005 个数中一共有 2831=167 个是 6 的倍数 模块二、几何部分 【例 4】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？例题精讲 找出这类事物的一般属性这种从特
6、殊到一般的推理方法叫做归纳法或者短时间里找到数字间的奥秘即是在考察我们的数感和归纳能力这种能力题的一种重要的手段而规律的找寻既需要敏锐的观察力又需要严密的逻学习必备 欢迎下载【解析】横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为圆形的个数是按 4、3、？、1 的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形。【例 5】观察下面的图形，按规律在“？”处填上适当的图形.【解析】本题中，几何图形的变化表现在数量关系上，图中黑三角形的个数从左到右依次增多，从（2）起，每一个格比前面一个格多两个黑三角形，所以，第（4）个方框中应填七个黑三角形.【巩固】观察图形变化规律，在右边
7、补上一幅，使它成为一个完整系列。【解析】观察发现，乌龟的顺序是：头、身一只脚、背上一个点两只脚、背上两个点两只脚、一条尾、背上三个点三只脚、一条尾、背上四个点，根据这个规律，最后一幅图应该是：四只脚、一条尾、背上五个点.即：【巩固】观察图形变化规律，在右边再补上一幅，使它们成为一个完整的系列.【解析】第一格有 8 个圆圈，第二格有 4 个圆圈，第三格有 2 个圆圈，第四格有 1 个圆圈，第五格有半个圆圈.由此发现，前一格中的图减少一般，正好是后一格的图.所以第六格的图应该是第五格图的一半，即：练习1.观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？【解析】（方法一
8、）横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为圆形的个数是按 5、4、3、？、1 的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形.（5）（4）（3）（2）（1）？找出这类事物的一般属性这种从特殊到一般的推理方法叫做归纳法或者短时间里找到数字间的奥秘即是在考察我们的数感和归纳能力这种能力题的一种重要的手段而规律的找寻既需要敏锐的观察力又需要严密的逻学习必备 欢迎下载(方法二)竖着看，圆形由左而右依次减少，而三角形由左而右依次增加，圆形按照5、4、？、2、1 的顺序变化，也可以看出“？”处应是圆形.练习2.观察下面由点组成的图形（点群），请回答：（1）方框内的点群包
9、含多少个点？（2）第（10）个点群中包含多少个点？（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？【解析】（1）数一数可知：前四个点群中包含的点数分别是：1，4，7，10.可以看出，在每相邻的两个数中，后一个数都比前一个数大 3.因为方框内应是第（5）个点群，它的点数应该是 10+3=13（个）.（2）列表，依次写出各点群的点数，可知第（10）个点群包含有 28 个点.（3）前十个点群，所有点的总数是：1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（个）练习3.下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数：1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1
10、10 10 5 1 1 6 15 15 6 1 (1)1 2 4 3 6 9 4 8 12 16 5 10 15 25 6 12 18 24 30 36 7 21 28 35 42 49 （2）【解析】（1）这个是著明的“杨辉三角”，其最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字 1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。（）处分别填上 5、20。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他 1261 年所著的详解九章算法一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。（2）每行第k个数等于该行第一个数的k倍，故上、下空缺的数分别为 20 和 14。找出这类事物的一般属性这种从特殊到一般的推理方法叫做归纳法或者短时间里找到数字间的奥秘即是在考察我们的数感和归纳能力这种能力题的一种重要的手段而规律的找寻既需要敏锐的观察力又需要严密的逻