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1、 1 相似三角形知识点以及典例 知识点 1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)知识点 2 比例线段的相关概念（1）在四条线段,a b c d中，如果 a 和 b 的比等于 c 和 d 的比，那么这四条线段,a b c d叫做成比例线段，简称比例线段 注：比例线段是有顺序的，如果说a是dcb,的第四比例项，那么应得比例式为：adcb 在比例式(:)aca bc dbd中，a、d 叫比例外项，b、c 叫比例内项,a、c
2、 叫比例前项，b、d 叫 比例后项,如果 b=c，即 abbd：那么 b 叫做 a、d 的比例中项，此时有2bad。知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质：bcaddcba:；2:a bb cba c 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bcad，除了可化为dcba:等。（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()abcdacdcbdbadbca，交换内项，交换外项 同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)：acbdbdac （4）合、分比性质：acabcdbdbd 典型例题：例题 1：已知线段 a6 cm，b
3、2 cm，则 a、b、ab 的第四比例项是_cm，ab 与 ab 的比例中项是_cm 例题 2：若cba acbbca m2，则 m_ 知识点 4 比例线段的有关定理 1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.(相似)2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.知识点 5 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于”相似三角形对应边的比叫做相似比
4、(或相似系数)相似三角形对应角相等，对应边成比例 注：对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的 2 知识点 6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：反身性：对于任一ABC有ABCABC 对称性：若ABCCBA，则CBAABC 传递性：若ABCCBA，且CBACBA，则ABCCBA(2)三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 定理的基本图形：用数学语言表述是：BCDE
5、/，ADEABC 知识点 7 三角形相似的判定方法 1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 3、判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似 4、判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 5、判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似 6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中
6、项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。）如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边 BC上的高，则 AD2=BD DC，AB2=BD BC，AC2=CD BC。经典例题：例题 1：判断对错：(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？例题 2：下列能够相似的一组三角形为()A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形 C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 例题 3：如图所示，已知 中，E
7、为 AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与 BC相交于 F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.例题 4：已知在 RtABC 中，C=90，AB=10，BC=6.在 RtEDF 中，F=90，DF=3，EF=4，则ABC和EDF 相似吗？为什么？(1)EABCD(3)DBCAE(2)CDEABDBCA 3 例题 5：如图所示，点 D 在ABC 的边 AB 上，满足怎样的条件时，ACD 与ABC 相似？试分别加以列举.例题 6：已知：如图正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP=3PC，Q 是 CD 的中点求证：ADQQCP 例题 7：已知：如图，AD 是ABC 的高，E
8、、F 分别是 AB、AC 的中点求证：DFEABC 例题 8：如图，ABC 中，CDAB 于 D，E 为 BC 中点，延长 AC、DE 相交于点 F，求证BCACDFAF 例题 9：如图，在ABC中，AB AC，延长 BC至 D，使得 CD BC，CE BD交 AD于 E，连结 BE交 AC于 F，求证AF FC 例题 10：如图，BD、CE 分别是ABC 的两边上的高，过 D 作 DGBC 于 G，分别交 CE 及 BA 的延长线于 F、H，求证：（1）DG2BGCG；（2）BGCGGFGH 4 例题 11：如图，ABC CDB 90，AC a，BC b（1）当 BD与 a、b 之间满足怎样
9、的关系时，ABC CDB？（2）过点 A作 BD的垂线，与 DB的延长线交于点 E，若ABC CDB 求证四边形 AEDC 为矩形（自己完成图形）知识点 8 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方 注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 知识点 9 相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法 1、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义 (2)三角形相似的预备定理 (3)利用相似三角形的性
10、质(4)利用中间比等量代换 (5)利用面积关系 2、证明题常用方法归纳：（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。
11、方法：将等式左右两边的比表示出来。)(,为中间比nmnmdcnmba ,nnnmdcnmba),(,nmnmnnmmnmdcnmba或(4)添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行 线）构造相似三角形或比例线段。（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着 k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为 k。（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。典型例题：例
12、题 1：ABC DEF，若ABC的边长分别为 5cm、6cm、7cm，而 4cm是DEF中一边的长度，你能求出DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.5 例题 2：如图所示，已知ABC中，AD是高，矩形 EFGH 内接于ABC中，且长边 FG在 BC上，矩形相邻两边的比为 1：2，若 BC=30cm，AD=10cm.求矩形 EFGH 的面积.例题 3：ABC 中，DEBC，M 为 DE 中点，CM 交 AB 于 N，若，求 例题 4：已知：如图，在ABC 与CAD 中，DABC，CD 与 AB 相交于 E 点，且 AEEB=12，EFBC 交AC 于 F 点，ADE 的面积为 1，求BCE 和A
13、EF 的面积 例题 5：如图，已知：ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ/AB，P点在 AC上(与点 A、C不重合)，Q点在 BC上 (1)当PQC的面积与四边形 PABQ 的面积相等时，求 CP的长；(2)当PQC的周长与四边形 PABQ 的周长相等时，求 CP的长；例题 6：如图，AB CD，A=90，AB=2，AD=5，P 是 AD上一动点(不与 A、D重合)，PEBP，P为垂足，PE交DC于点 E，(1)设 AP=x，DE=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 x 的取值范围；(2)请你探索在点 P运动的过程中，四边形 ABED 能否构成矩形？如果能，求出 AP的长；如
14、果不能，请说明理由.6 OEDCBA知识点 10 位似图形有关的概念与性质及作法 1.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.2.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.注：注：（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.（3）位似图形的对应边互相平行或共线.3.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.注：位似图形具有相似图形的所有性质.4.画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点
15、）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.注：位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky),反向位似图形对应点的
16、坐标为(-kx,-ky),【解答题】1.如图：AB是O的直径，AD是弦，22.5DABo，延长AB到点C，使得2ACDDAB (1)求证：CD是O的切线；(2)若2 2AB，求BC的长 2.已知：如图，AB为O的直径，AD为弦，DBC=A.（1）求证：BC 是O的切线；（2）若 OC AD，OC交 BD于 E，BD=6，CE=4，求 AD的长.7 3.在ABC 中，点 D 在 AC 上，点 E 在 BC 上，且 DEAB，将CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转得到EDC（使EBC 180），连接DA、EB，设直线EB 与 AC 交于点 O.（1）如图，当 AC=BC 时，DA:EB 的值为 ；（
17、2）如图，当 AC=5，BC=4 时，求DA:EB 的值；（3）在（2）的条件下，若ACB=60，且 E 为 BC 的中点，求OAB 面积的最小值.图 图 ODEBCAD EOEDEBCAD 8【填空题】1.在平面直角坐标系中，ABC顶点A的坐标为(2 3)，若以原点O为位似中心，画ABC的位似图形AB C，使ABC与AB C的相似比等于12，则点A的坐标为 2.如图，ABC与ABC 是位似图形，点O是位似中心，若 OA=2A A,SABC=8，则 SABC=_ 3.如图，OAB的顶点B的坐标为（4，0），把OAB沿x轴向右平移得到CDE，如果1,CB 那么OE的长为 4.如图，ABC与AEF
18、中，ABAEBCEFBEAB ，交EF于D给出下列结论：AFCC；DFCF；ADEFDB；BFDCAF 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）5.如图 11，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 （2 题图）（3 题图）（4 题图）（5 题图）6.已知ABC与DEF相似且面积比为 425，则ABC与DEF的相似比为 7.如图，AB、两处被池塘隔开，为了测量AB、两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接ACBC、，并分别取线段ACBC、的中点EF、，测得EF=20m，则AB=_m 8.已知ABCAB C且1:2ABCAB CSS:，则:AB AB=9 如图，在ABCD中，E在DC上，若:1:2DE EC，则:BFBE 10.将三角形纸片（ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已知ABAC3，BC4，若以点B，F，C为顶点的三角形与ABC相似，那么BF的长度是 （7 题图）（9 题图）（10 题图）