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1、 1 第一章 函数与极限（A）一、填空题 1、设xxxflglg2)(，其定义域为 。2、设)1ln()(xxf，其定义域为 。3、设)3arcsin()(xxf，其定义域为 。4、设)(xf的定义域是0，1，则)(sin xf的定义域为 。5、设)(xfy 的定义域是0，2，则)(2xfy 的定义域为 。6、432lim23xkxxx，则 k=。7、函数xxysin有间断点 ，其中 为其可去间断点。8、若当0 x时，xxxf2sin)(，且0)(xxf在处连续，则)0(f 。9、)21(lim222nnnnnnnn 。10、函数)(xf在0 x处连续是)(xf在0 x连续的 条件。11、35
2、2352)23)(1(limxxxxxx 。12、3)21(limenknn，则 k=。13、函数23122xxxy的间断点是 。14、当x时，x1是比13xx 的无穷小。15、当0 x时，无穷小x 11与 x 相比较是 无穷小。16、函数xey1在 x=0 处是第 类间断点。17、设113xxy，则 x=1 为 y 的 间断点。18、已知33f，则当 a 为 时，函数xxaxf3sin31sin)(在3x处连续。2 19、设0)1(02sin)(1xaxxxxxfx若)(lim0 xfx存在，则 a=。20、曲线2sin2xxxy水平渐近线方程是 。21、114)(22xxxf的连续区间为
3、。22、设0,cos0,)(xxxaxxf 在0 x连续，则常数 a=。二、计算题 1、求下列函数定义域（1）211xy；（2）xysin；（3）xey1；2、函数)(xf和)(xg是否相同？为什么？（1）xxgxxfln2)(,ln)(2；（2）2)(,)(xxgxxf；（3）xxxgxf22tansec)(,1)(；3、判定函数的奇偶性（1）)1(22xxy；（2）323xxy；3 （3）)1)(1(xxxy；4、求由所给函数构成的复合函数（1）22,sin,xvvuuy；（2）21,xuuy；5、计算下列极限（1）)2141211(limnn；（2）2)1(321limnnn；（3）35
4、lim22xxx；（4）112lim221xxxx；（5）)12)(11(lim2xxx；（6）2232)2(2limxxxx；（7）xxx1sinlim20；（8）xxxx131lim21；（9）)1(lim2xxxx；6、计算下列极限（1）xwxxsinlim0；（2）xxx5sin2sinlim0；（3）xxxcotlim0；（4）xxxx)1(lim；（5）1)11(limxxxx；（6）xxx10)1(lim；7、比较无穷小的阶（1）32220 xxxxx与，时；4 （2）)1(21112xxx与，时；8、利用等价无穷小性质求极限（1）30sinsintanlimxxxx；（2）),
5、()(sin)sin(lim0是正整数mnxxmnx；9、讨论函数的连续性。在11,31,1)(xxxxxxf 10、利用函数的连续性求极限（1）)2cos2ln(lim6xx；（2）)(lim22xxxxx；（3）xxxsinlnlim0；（4）xxx2)11(lim；（5）)11(lim,)1(lim)(1tfnxxftnn求设；5 （6）)11ln(limxxxx；11、设函数0,0,)(xxaxexfx 应当怎样选择 a，使得)()(，成为在xf内的连续函数。12、证明方程135 xx至少有一个根介于 1 和 2 之间。（B）1、设)(xf的定义域是0，1，求下列函数定义域（1）)(x
6、efy （2）)(ln xfy 2、设0,0,0)(0,0)(2xxxxgxxoxxf 求)(,)(,)(,)(xfgxgfxggxff 6 3、利用极限准则证明：（1）111limnn （2）11lim0 xxx；（3）数列,222,22,2的极限存在；4、试比较当0 x时，无穷小232xx与x的阶。5、求极限（1）)1(lim2xxxx；（2）1)1232(limxxxx；（3）30sintanlimxxxx；（4）)0,0,0()3(lim10cbacbaxxxxx；7 6、设0,0,1sin)(2xxaxxxxf 要使),()(在xf内连续，应当怎样选择数 a？7、设01,)1ln(0
7、,)(11xxxexfx 求)(xf的间断点，并说明间断点类型。（C）1、已知xxfexfx1)(,)(2，且0)(x，求)(x并写出它的定义域。2、求下列极限：（1）、lncos)1ln(coslimxxx；（2）、xxxxxcossin1lim0；（3）、求xxxx2sin3553lim2；（4）、已知9)(limxxaxax，求常数a。（5）、设)(xf在闭区间,ba上连续，且bbfaaf)(,)(，证明：在开区间),(ba内至少存在一点，使)(f 。第一章 函数与极限 习 题 答 案（A）一、填空题（1）2,1(（2）),1(（3）2，4 8（4）zkkxkx,)12(2 （5）2,2
8、 （6）-3 （7）0;,xzkkx （8）2 （9）1（10）充分 （11）21 （12）23 （13）x=1,x=2 （14）高阶（15）同阶 （16）二 （17）可去 （18）2 （19）-ln2（20）y=-2 （21）2,1(1,2 （22）1 二、计算题 1、（1）),1()1,1()1,(（2）),0 （3）),0()0,(2、（1）不同，定义域不同 （2）不同，定义域、函数关系不同 （3）不同，定义域、函数关系不同 3、（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）奇函数 4、（1）22)(sin xy （2）12xy （3）sin2xey 5、（1）2 （2）21 （3）-9 （4
9、）0 （5）2 （6）（7）0 （8）22 （9）21 6、（1）w （2）52 （3）1 （4）1e （5）2e （6）1e 7、（1）的低阶无穷小是3222xxxx （2）是同阶无穷小 8、（1）21 （2）nmnmnm,1,0 9、不连续 10、（1）0 （2）1 （3）0 （4）2e （5）0 （6）-2 11、a=1（B）1、（1）提示：由10 xe 解得：0,(x （2）提示：由1ln0 x解得：,1ex 2、提示：分成ox 和0 x两段求。)()(xfxff，0)(xgg，0)(xgf,)()(xgxfg 9 4、（1）提示：nn11111 （2）提示：xxxxxx11)11(（
10、3）提示：用数学归纳法证明：222na 5、提示：xxxxxxx1312232 令tx 12（同阶）6、（1）提示：乘以xx 12；21 （2）提示：除以x2；e （3）提示：用等阶无穷小代换；21（4）提示：xxxxcba1)3(xcbacbaxxxxxxxxxcba3111111313111（3abc）7、提示：)0()(lim)(lim00fxfxfxx （0a）8、1x是第二类间断点，0 x是第一类间断点 （C）1、解：因为 xexfx1)(2，故)1ln()(xx，再由0)1ln(x，得：11 x，即0 x。所以：)1ln()(xx，0 x。2、解：原式=)cossin1(cossin1lim20 xxxxxxxx=xxxxx20sinsin21lim=)sin(sinlim210 xxxxx=0 3、解：因为当x时，xx22sin，则xxxx2sin3553lim2=xxxx23553lim2=xxxx35106lim22=56 4、解：因为：9=xxaxax)(lim=xxxaxa11lim=aaee=ae2 10 所以92ae，3lna 5、证明：令xxfxF)()(，)(xF在 ba,上连续，且 0)()(aafaF，0)()(bbfbF。由闭区间上连续函数的零点定理，在开区间),(ba内至少存在一点),(ba，使0)(F，即)(f。