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1、精品资料 欢迎下载 圆锥曲线与方程专题复习 第四节 圆锥曲线的综合问题 考点一 椭圆与双曲线综合中基本量的计算问题 1.(2013 年浙江卷,文 9)如图,F1,F2是椭圆 C1:24x+y2=1 与双曲线 C2的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2为矩形,则 C2的离心率是()(A)2 (B)3 (C)32 (D)62 解析:由椭圆定义得,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=24 1=23,因为四边形 AF1BF2为矩形,所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=12,所以 2|AF1|AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF
2、1|2+|AF2|2)=16-12=4,所以(|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|AF2|=12-4=8,所以|AF2|-|AF1|=22,因此对于双曲线有 a=2,c=3,所以 C2的离心率 e=ca=62.故选 D.答案:D 2.(2012 年山东卷,理 10)已知椭圆 C:22xa+22yb=1(ab0)的离心率为32.双曲线 x2-y2=1 的渐近线与椭圆 C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C的方程为()(A)28x+22y=1 (B)212x+26y=1 (C)216x+24y=1 (D)220 x+25y=1 解析:利用
3、椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解.椭圆的离心率为32,ca=22aba=32,a=2b.精品资料 欢迎下载 椭圆方程为 x2+4y2=4b2.双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为 xy=0,渐近线 xy=0 与椭圆 x2+4y2=4b2在第一象限的交点为2 52 5,55bb,由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 2 55b2 55b=4,b2=5,a2=4b2=20.椭圆 C的方程为220 x+25y=1.故选 D.答案:D 3.(2012 年浙江卷,文 8)如图所示,中心均为原点 O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点.若 M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲
4、线与椭圆的离心率的比值是()(A)3 (B)2 (C)3 (D)2 解析:设椭圆的标准方程为22xa+22yb=1(ab0),半焦距为 c1,则椭圆的离心率为 e1=1ca.设双曲线的标准方程为22xm-22yn=1(m0,n0),半焦距为 c2,则双曲线的离心率为 e2=2cm.由双曲线与椭圆共焦点知 c1=c2.由点 M,O,N将椭圆长轴四等分可知 m=a-m,即 2m=a.21ee=21cmca=am=2.故选 B.答案:B 4.(2011 年浙江卷,文9)已知椭圆 C1:22xa+22yb=1(ab0)与双曲线C2:x2-24y=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆
5、相交于 A,B 两点.若 C1恰好将线段 AB三等分,则()椭圆定义得因为四边形为矩形所以所以所以所以因此对于双曲线有所以率的概念和双曲线渐近线求法求解椭圆的离心率为精品资料欢迎下载椭图所示中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点是双曲线的两顶点若将精品资料 欢迎下载(A)a2=132 (B)a2=13 (C)b2=12 (D)b2=2 解析:双曲线渐近线方程为 y=2x,圆的方程为 x2+y2=a2,则|AB|=2a,不妨设 y=2x 与椭圆交于 P、Q两点,且 P 在 x 轴上方,则由已知|PQ|=13|AB|=23a,|OP|=3a,P52 5,1515a.又点 P 在椭圆上,225225a
6、a+2220225ab=1.又 a2-b2=5,b2=a2-5,联立解得2211,21.2ab故选 C.答案:C 5.(2011 年山东卷,文15)已知双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)和椭圆216x+29y=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .解析:椭圆216x+29y=1 的焦点坐标为 F1(-7,0),F2(7,0),离心率为 e=74.由于双曲线22xa-22yb=1 与椭圆216x+29y=1 有相同的焦点,因此 a2+b2=7.又双曲线的离心率 e=22aba=7a,所以7a=2 74,所以 a=2,b2=c2-a2=3,故双曲线的方程为
7、24x-23y=1.椭圆定义得因为四边形为矩形所以所以所以所以因此对于双曲线有所以率的概念和双曲线渐近线求法求解椭圆的离心率为精品资料欢迎下载椭图所示中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点是双曲线的两顶点若将精品资料 欢迎下载 答案:24x-23y=1 考点二 椭圆与抛物线综合问题及解法 1.(2012 年山东卷,理21)在平面直角坐标系xOy中,F 是抛物线C:x2=2py(p0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过 M,F,O 三点的圆的圆心为 Q,点 Q到抛物线 C的准线的距离为34.(1)求抛物线 C的方程;(2)是否存在点 M,使得直线 MQ与抛物线 C相切于点 M?若存
8、在,求出点 M的坐标;若不存在,说明理由.(3)若点 M的横坐标为2,直线 l:y=kx+14与抛物线 C有两个不同的交点 A,B,l 与圆 Q有两个不同的交点 D,E,求当12k2时,|AB|2+|DE|2的最小值.解:(1)依题意知 F0,2p,圆心 Q在线段 OF的垂直平分线 y=4p上,因为抛物线 C的准线方程为 y=-2p,所以34p=34,即 p=1.因此抛物线 C的方程为 x2=2y.(2)假设存在点 M200,2xx(x00)满足条件,抛物线 C在点 M处的切线斜率为 y0 x x=22x 0 x x=x0,所以直线 MQ的方程为 y-202x=x0(x-x0).令 y=14得
9、 xQ=02x+014x.所以 Q（02x+014x,14）.又|QM|=|OQ|,故（014x-02x）2+（14-202x）2=（014x+02x）2+116,因此（14-202x）2=916.又 x00,所以 x0=2,此时 M(2,1).故存在点 M(2,1),椭圆定义得因为四边形为矩形所以所以所以所以因此对于双曲线有所以率的概念和双曲线渐近线求法求解椭圆的离心率为精品资料欢迎下载椭图所示中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点是双曲线的两顶点若将精品资料 欢迎下载 使得直线 MQ与抛物线 C相切于点 M.(3)当 x0=2时,由(2)得 Q（5 28,14）,Q的半径为 r=225 21
10、84 =3 68,所以Q的方程为（x-5 28）2+（y-14）2=2732.由21,214yxykx 整理得 2x2-4kx-1=0.设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由于1=16k2+80,x1+x2=2k,x1x2=-12,所以|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)(4k2+2).由225 2127,843214xyykx 整理得(1+k2)x2-5 24x-116=0.设 D,E 两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),由于2=24k+2780,x3+x4=25 24 1k,x3x4=-2116 1k.所以|DE|2=(1+
11、k2)(x3+x4)2-4x3x4=2258 1k+14.因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+2258 1k+14.令 1+k2=t,椭圆定义得因为四边形为矩形所以所以所以所以因此对于双曲线有所以率的概念和双曲线渐近线求法求解椭圆的离心率为精品资料欢迎下载椭图所示中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点是双曲线的两顶点若将精品资料 欢迎下载 由于12k2,则54t 5,所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)+258t+14=4t2-2t+258t+14,设 g(t)=4t2-2t+258t+14,t 5,54,因为g(t)=8t-2-2258t,所以当t 5,54时,g(t
12、)g54 =6,即函数 g(t)在 t 5,54上是增函数,所以当t=54时,g(t)取到最小值132,因此,当 k=12时,|AB|2+|DE|2取到最小值132.2.(2012 年广东卷,文 20)在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 C1:22xa+22yb=1(ab0)的左焦点为 F1(-1,0),且点 P(0,1)在 C1上.(1)求椭圆 C1的方程;(2)设直线 l 同时与椭圆 C1和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程.解:(1)因为椭圆 C1的左焦点为 F1(-1,0),所以 c=1.将点 P(0,1)代入椭圆方程22xa+22yb=1,得21b=1,即 b=1.
13、所以 a2=b2+c2=2.所以椭圆 C1的方程为22x+y2=1.(2)由题意可知,直线 l 的斜率显然存在且不等于 0,设直线 l 的方程为 y=kx+m,由221,2,xyykxm 椭圆定义得因为四边形为矩形所以所以所以所以因此对于双曲线有所以率的概念和双曲线渐近线求法求解椭圆的离心率为精品资料欢迎下载椭图所示中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点是双曲线的两顶点若将精品资料 欢迎下载 消去 y 并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.因为直线 l 与椭圆 C1相切,所以1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.整理得 2k2-m2+1=0.由24,yxykxm
14、消去 y 并整理得 k2x2+(2km-4)x+m2=0.因为直线 l 与抛物线 C2相切,所以2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得 km=1.综合,解得2,22,km或2,22.km 所以直线l 的方程为y=22x+2或 y=-22x-2.3.(2010 年江西卷,理 21)设椭圆 C1:22xa+22yb=1(ab0),抛物线 C2:x2+by=b2.(1)若 C2经过 C1的两个焦点,求 C1的离心率;(2)设 A(0,b),Q（33,54b）,又 M,N为 C1与 C2不在 y 轴上的两个交点,若AMN 的垂心为 B（0,34b）,且QMN 的重心在 C2上,求椭圆 C1和抛物
15、线 C2的方程.解:(1)因为抛物线 C2经过椭圆 C1的两个焦点 F1(-c,0),F2(c,0),可得 c2=b2,由 a2=b2+c2=2c2,有22ca=12,所以椭圆 C1的离心率 e=22.(2)由题设可知 M,N关于 y 轴对称,设 M(-x1,y1),N(x1,y1)(x10),则由AMN 的垂心为 B,有BMAN=0.所以-21x+（y1-34b）(y1-b)=0.由于点 N(x1,y1)在 C2上,故有21x+by1=b2.由得 y1=-4b或 y1=b(舍去),椭圆定义得因为四边形为矩形所以所以所以所以因此对于双曲线有所以率的概念和双曲线渐近线求法求解椭圆的离心率为精品资
16、料欢迎下载椭图所示中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点是双曲线的两顶点若将精品资料 欢迎下载 所以 x1=52b,故 M（-52b,-4b）,N（52b,-4b）,所以QMN 的重心坐标为（3,4b）.由重心在 C2上得 3+24b=b2,所以 b=2,M（-5,-12）,N（5,-12）.又因为 M,N在 C1上,所以 225a+2124=1,解得 a2=163.所以椭圆 C1的方程为2163x+24y=1.抛物线 C2的方程为 x2+2y=4.考点三 双曲线与抛物线的综合问题及解法 1.(2013 年山东卷,文 11)抛物线 C1:y=12px2(p0)的焦点与双曲线 C2:23x-y2=
17、1 的右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M.若 C1在点 M处的切线平行于 C2的一条渐近线,则 p 等于()(A)316 (B)38 (C)2 33 (D)4 33 解析:如图在同一坐标系中画出C1、C2草图,知 C1焦点 F（0,2p）,C2右焦点 F2(2,0).椭圆定义得因为四边形为矩形所以所以所以所以因此对于双曲线有所以率的概念和双曲线渐近线求法求解椭圆的离心率为精品资料欢迎下载椭图所示中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点是双曲线的两顶点若将精品资料 欢迎下载 由 C2渐近线方程为 y=33x.直线 FF2方程为2x+2xp=1.联立 C1与直线 FF2方程得21,221,2yxp
18、xyp 代入得 2x2+p2x-2p2=0.设 M(x0,y0),即 220 x+p2x0-2p2=0.由 C1得 y=1px,所以1px0=33,即 x0=33p.由得 p=4 33.故选 D.答案:D 2.(2012 年新课标全国卷,理 8)等轴双曲线 C的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A、B两点,|AB|=43,则 C的实轴长为()(A)2 (B)22 (C)4 (D)8 解析:设双曲线的标准方程为 x2-y2=(0),抛物线 y2=16x 的焦点是(4,0),由题意知,点(-4,23)在双曲线上.16-12=,即=4,实轴长为 4.故选 C.答案
19、:C 3.(2012 年福建卷,理 8)已知双曲线24x-22yb=1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等 于()(A)5 (B)42 (C)3 (D)5 解析:抛物线 y2=12x 的焦点是(3,0),c=3,b2=c2-a2=5.椭圆定义得因为四边形为矩形所以所以所以所以因此对于双曲线有所以率的概念和双曲线渐近线求法求解椭圆的离心率为精品资料欢迎下载椭图所示中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点是双曲线的两顶点若将精品资料 欢迎下载 双曲线的渐近线方程为 y=52x,焦点(3,0)到 y=52x 的距离 d=3 53=5.故选 A.答案:A 4.(
20、2012 年山东卷,文11)已知双曲线C1:22xa-22yb=1(a0,b0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2的方程为()(A)x2=8 33y (B)x2=16 33y (C)x2=8y (D)x2=16y 解析:由 e=ca=2 得 4=22ca=1+22ba,22ba=3.双曲线的渐近线方程为y=3x,抛物线 x2=2py 的焦点是（0,2p）,它到直线 y=3x 的距离 d=2=22p=4p,p=8.抛物线方程为 x2=16y.故选 D.答案:D 5.(2010 年天津卷,文 13)已知双曲线22xa-22yb=
21、1(a0,b0)的一条渐近线方程是 y=3x,它的一个焦点与抛物线 y2=16x 的焦点相同,则双曲线的方程为 .解析:由双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y=3x 得ba=3,b=3a.抛物线 y2=16x 的焦点为 F(4,0),c=4.又c2=a2+b2,16=a2+(3a)2,椭圆定义得因为四边形为矩形所以所以所以所以因此对于双曲线有所以率的概念和双曲线渐近线求法求解椭圆的离心率为精品资料欢迎下载椭图所示中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点是双曲线的两顶点若将精品资料 欢迎下载 a2=4,b2=12.所求双曲线的方程为24x-212y=1.答案:24x-21
22、2y=1 6.(2013 年天津卷,文 11)已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的一个焦点,且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的方程为 .解析:由 y2=8x 准线为 x=-2.则双曲线中 c=2,ca=2a=2,a=1,b=3.所以双曲线方程为 x2-23y=1.答案:x2-23y=1 考点四 圆锥曲线与圆的综合问题及解法 1.(2013 年福建卷,文 20)如图,抛物线 E:y2=4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C在抛物线 E上,以 C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆 C与准线 l 交于不同的两点 M,N.(1)若点 C的纵
23、坐标为 2,求|MN|;(2)若|AF|2=|AM|AN|,求圆 C的半径.解:(1)抛物线 y2=4x 的准线 l 的方程为 x=-1.由点 C的纵坐标为 2,点 C在抛物线 E上,得点 C的坐标为(1,2),所以点 C到准线 l 的距离 d=2,又|CN|=|CO|=5,所以|MN|=222CNd=254=2.(2)设 C（204y,y0）,则圆 C的方程为（x-204y）2+(y-y0)2=4016y+20y,即 x2-202yx+y2-2y0y=0.由 x=-1,椭圆定义得因为四边形为矩形所以所以所以所以因此对于双曲线有所以率的概念和双曲线渐近线求法求解椭圆的离心率为精品资料欢迎下载椭
24、图所示中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点是双曲线的两顶点若将精品资料 欢迎下载 得 y2-2y0y+1+202y=0,设 M(-1,y1),N(-1,y2),则 222000201244 1240,21.2yyyyy y 由|AF|2=|AM|AN|,得|y1y2|=4,所以202y+1=4,解得 y0=6,此时0.所以圆心 C的坐标为（32,6）或（32,-6）,从而|CO|2=334,|CO|=332,即圆 C的半径为332.2.(2013 年新课标全国卷,文20)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为22,在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心 P 的轨迹方程;(2)若
25、 P 点到直线 y=x 的距离为22,求圆 P 的方程.解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r.由题设 y2+2=r2,x2+3=r2,从而 y2+2=x2+3.故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1.(2)设 P(x0,y0).由已知得002xy=22.又 P 点在双曲线 y2-x2=1 上,从而得0022001,1.xyyx 椭圆定义得因为四边形为矩形所以所以所以所以因此对于双曲线有所以率的概念和双曲线渐近线求法求解椭圆的离心率为精品资料欢迎下载椭图所示中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点是双曲线的两顶点若将精品资料 欢迎下载 由0022001,1.xyyx得000,1.xy 此
26、时,圆 P 的半径 r=3.由0022001,1.xyyx 得000,1.xy 此时,圆 P 的半径 r=3.故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3.3.(2013 年重庆卷,文 21)如图,椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,离心率 e=22,过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 A、A两点,AA=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P、P,过 P、P作圆心为 Q的圆,使椭圆 上的其余点均在圆 Q外.求PPQ的面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q的标准方程.解:(1)由题意知点 A(-c,2)在椭圆上,则2
27、2ca+222b=1,从而 e2+24b=1,又 e=22,故 b2=241 e=8,从而 a2=221be=16.故该椭圆的标准方程为216x+28y=1.(2)由椭圆的对称性,可设 Q(x0,0).又设 M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0 x+20 x+8（1-216x）=12(x-2x0)2-20 x+8(x-4,4).设 P(x1,y1),由题意知,P 是椭圆上到 Q的距离最小的点,因此,当 x=x1时|QM|2取最小值,又 x1(-4,4),所以当 x=2x0时|QM|2取最小值,从而 x1=2x0,且|QP|2=8-20 x.由对称性知 P(x1,-y1),故|PP|=|2y1|,所以 S=12|2y1|x1-x0|=122218116x|x0|=220024xx=2 22024x.当 x0=2时,PPQ的面积 S 取得最大值 22.此时对应的圆 Q的圆心坐标为 Q(2,0),半径|QP|=208x=6,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+2)2+y2=6,(x-2)2+y2=6.椭圆定义得因为四边形为矩形所以所以所以所以因此对于双曲线有所以率的概念和双曲线渐近线求法求解椭圆的离心率为精品资料欢迎下载椭图所示中心均为原点的双曲线与椭圆有公共焦点是双曲线的两顶点若将