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1、精品资料 欢迎下载 函数求导知识总结 1.简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）（1）求函数的增量)()(00 xfxxfy；（2）求平均变化率xxfxxfxy)()(00。（3）取极限求导数)(0 xfxxfxxfx)()(lim000 2导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点)(0 xf的导数就是导函数)(xf，当0 xx 时的函数值。3常用的导数公式及求导法则：（1）公式 0C，（C 是常数）xxcos)(sin xxsin)(cos 1)(nnnxx aaaxxln)(xxee)(axxaln1)(log xx1)(ln xx2cos1)(tan （xx2sin1
2、)cot（2）法则：)()()()(xgxfxgxf，)()()()()()(xfxgxgxfxgxf )()()()()()()(2xgxfxgxgxfxgxf 例：（1）324yxx （2）sin xyx （3）3cos4sinyxx （4）223yx （5）ln2yx 复合函数的导数 如果函数)(x在点 x 处可导，函数 f(u)在点 u=)(x处可导，则复合函数 y=f(u)=f)(x在点 x 处也可导，并且 (f)(x)=)(xf)(x 或记作 xy=uyxu 精品资料 欢迎下载 熟记链式法则 若 y=f(u)，u=)(x y=f)(x，则 xy=)()(xuf 若 y=f(u)，u
3、=)(v，v=)(x y=f)(x，则 xy=)()()(xvuf（2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。例 1 函数4)31(1xy的导数.解：4)31(1xy4)31(x 设4 uy，xu31，则 xuxuyyxuxu)31()(4 )3(45u55)31(1212xu5)31(12x 例 2 求51xxy的导数 解：511xxy，541151xxxxy254)1()1(1151xxxxx 254)1(1151xxx5654)1(51xx 例 3 求下列函数的导数
4、 xy23 解：（1）xy23 令 u=3-2x，则有 y=u，u=3-2x 由复合函数求导法则xuxuyy 求导法则公式是常数法则例复合函数的导数如果函数在点处可导函数在成的且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等求导法则达到一定的熟练程度之后可以不再写出中间变量于是前面可以精品资料 欢迎下载 有 y=xuxu)23(=xu231)2(21 在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量 u，于是前面可以直接写出如下结果：y=xxx231)23(2321 在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：y=xx231)2(2321 例 4
5、求下列函数的导数（1）y=x21cos x （2）y=ln(x+21x)解：（1）y=x21cos x 由于 y=x21cos x 是两个函数x21与 cos x 的乘积，而其中x21又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求x21导数时再用复合函数求导法则，于是 y=(x21)cos x-x21sin x =xxcos212)2(-x21sin x=xx21cos-x21sin x（2）y=ln(x+21x)由于 y=ln(x+21x)是 u=x+21x与 y=ln u 复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求xu时用函数和的求导法则，而求(21x)的导数
6、时再用一次复合函数的求导法则，所以 y=211xx 1+(21x)=211xx21221xx =211xx2211xxx=211x 例 5 设)1ln(xxy 求 y.解 利用复合函数求导法求导，得 求导法则公式是常数法则例复合函数的导数如果函数在点处可导函数在成的且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等求导法则达到一定的熟练程度之后可以不再写出中间变量于是前面可以精品资料 欢迎下载)1(11)1ln(222xxxxxxy)1(1 1122xxx)1(1211 11222xxxx1111 11222xxxxx.1求下函数的导数.（1）cos3xy （2）21yx (1)y=(
7、5x3)4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2x2)3 (4)y=(2x3+x)2 (1)y=32)12(1x (2)y=4131x (3)y=sin(3x6)(4)y=cos(1+x2)32)2(xy；2sin xy；)4cos(xy；)13sin(lnxy 1求下列函数的导数 (1)y=sinx3+sin33x；（2）122sinxxy (3)2(log2xa 2.求)132ln(2 xx的导数 一、选择题（本题共5小题，每题6分，共30分）1.函数 y=2)13(1x的导数是（）求导法则公式是常数法则例复合函数的导数如果函数在点处可导函数在成的且要求这些中间变量均为基本初等函数或经
8、过四则运算而成的初等求导法则达到一定的熟练程度之后可以不再写出中间变量于是前面可以精品资料 欢迎下载 A.3)13(6x B.2)13(6x C.3)13(6x D.2)13(6x 3.函数 y=sin（3x+4）的导数为（）A.3sin（3x+4）B.3cos（3x+4）C.3sin2（3x+4）D.3cos2（3x+4）4.曲线nxy 在 x=2 处的导数是 12，则 n=（）A.1 B.2 C.3 D.4 5.函数 y=cos2x+sinx的导数为（）A.2sin2x+xx2cos B.2sin2x+xx2cos C.2sin2x+xx2sin D.2sin2xxx2cos 6.过点 P
9、（1，2）与曲线 y=2x2相切的切线方程是（）A.4xy2=0 B.4x+y2=0 C.4x+y=0 D.4xy+2=0 二、填空题（本题共 5 小题，每题 6 分，共 30 分）8.曲线 y=sin3x 在点 P（3，0）处切线的斜率为_。9.函数 y=xsin（2x2）cos（2x+2）的导数是 。10.函数 y=)32cos(x的导数为 。11._,2)(,ln)(00 xxfxxxf则。复合函数的导数 1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.A 7.y=u3,u=1+sin3x 8.3 求导法则公式是常数法则例复合函数的导数如果函数在点处可导函数在成的且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等求导法则达到一定的熟练程度之后可以不再写出中间变量于是前面可以精品资料 欢迎下载 9.y=21sin4x+2xcos4x 10.)32cos()32sin(xx 11.xxx1sin1cos122 求导法则公式是常数法则例复合函数的导数如果函数在点处可导函数在成的且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等求导法则达到一定的熟练程度之后可以不再写出中间变量于是前面可以