《2023年实变函数测试卷(最新版)与超详细解析答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年实变函数测试卷(最新版)与超详细解析答案.pdf（30页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品资料 欢迎下载 实变函数试题 一，填空题 1.设1,2nAn,1,2n,则limnnA.2.,a b,因为存在两个集合之间的一一映射为 3.设E是2R中函数1cos,00,0 xyxx的图形上的点所组成的 集合，则E，E.4.若集合nER满足EE,则E为集.5.若,是直线上开集G的一个构成区间,则,满足:,.6.设E使 闭 区 间,a b中 的 全 体 无 理 数 集,则mE.7.若()nmEfx()0f x,则说()nfx在E上.8.设nER,0nxR,若,则称0 x是E的聚点.9.设()nfx是E上几乎处处有限的可测函数列,()f x是E上 几 乎 处 处 有 限 的 可 测 函 数,
2、若0,有,则称()nfx在E上依测度收敛于()f x.精品资料 欢迎下载 10.设()()nfxf x,xE,则()nfx的子列()jnfx,使得.二,判断题.正确的证明,错误的举反例.1.若,A B可测,AB且AB,则mAmB.2.设E为点集,PE,则P是E的外点.3.点集11,2,En的闭集.4.任意多个闭集的并集是闭集.5.若nER,满足*m E ,则E为无限集合.三,计算证明题 1.证明:ABCABAC 2.设M是3R空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明M为可数集.3.设nER,iEB且iB为可测集,1,2i.根据题意,若有 *0,imBEi,证明E是
3、可测集.4.设P是Cantor集,32ln 1,(),0,1xxPf xxxP.求10(L)()f x dx.5.设函数()f x在Cantor集0P中点x上取值为3x,而在0P的则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 余集中长为13n的构成区间上取值为16n,1,2n,求 10()f x dx.6.求极限:13230lim(R)sin1nnxnxdxn x.实变函数试题解答 一 填空题 1.0,2.2.()tan,.2xxaxa
4、 bba 3.1(,)cos,0(0,)1x y yxyyx;.4.闭集.5.,.,.GGG 6.ba.7.几乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x.8.对000,(,)Ux 有0Ex.9.lim()()0nnmEfxf x 10.()()nfxf xa.e.于E.二 判断题 1.F.例如,(0,1)A,0,1B,则AB且AB,但1mAmB.则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 2.F.例如,0(0,1),但 0
5、不是(0,1)的外点.3.F.由于 0EE.4.F.例如,在1R 中,11,1nFnn,3,4n 是一系列的闭集,但是3(0,1)nnF不是闭集.5.T.因为若E为有界集合,则存在有限区间I,I ,使得EI,则*,m Em II 于*m E .三,计算证明题.1.证明如下:SSSSSABCABCABCABCABACABAC 2.M中任何一个元素可以由球心(,)x y z,半径为r唯一确定,x,y,z跑遍所有的正有理数,r跑遍所有的有理数.因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集,故M为可数集.3.令1iiBB,则iEBB且B为可测集,于是对于i,都有iBEBE,故 则称若设的聚点设是上几乎处
6、处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载*0imBEmBE,令i,得到*0mBE,故BE可测.从而 EBBE 可测.4.已知0mP,令0,1GP,则 13202210130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dxx dxx dxf x dxx dxx dxf x dxx.5.将积分区间0,1分为两两不相交的集合:0P,1G,2G,其中0P为Cantor集,nG是0P的余集中一切长为13n的构成区间(共有12n
7、个)之并.由L积分的可数可加性,并且注意到题中的00mP,可得 则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 01000010111111()()()()()1()61126631112916nnPGPGnnPGnnnnnnnnnnfxdxfxdxfxdxfxdxfxdxfxdxdxmG 6.因为323sin1nxnxn x在0,1上连续,13230(R)sin1nxnxdxn x存在且与13230(L)sin1nxnxdxn x的值相
8、等.易知 323232323211sin.11122nxnxnxnxn xn xn xxx 由于12 x在0,1上非负可测，且广义积分1012dxx收敛，则 12 x在0,1上(L)可积，由于323limsin01nnxnxn x，0,1x，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到 11332323001323010lim(R)sinlim(L)sin11limsin100nnnnxnxnxdxnxdxn xn xnxnx dxn xdx.则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为
9、求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15 分，每小题 3 分）1.非可数的无限集为 c 势集 2.开集的余集为闭集。3.若 m E=0，则 E为可数集 4.若|f(x)|在 E上可测，则 f(x)在 E上可测 5.若 f(x)在 E上有界可测，则 f(x)在 E上可积 二、将正确答案填在空格内（共 8 分，每小题 2 分）1._可数集之并是可数集。A.任意多个 B.c势个?C.无穷多个 D 至多可数个 2._闭集之并交是闭集。A.任意多个 B.有限个 C.无穷多个 D 至多可数个 3.可数个开集之交是_ A开集 B
10、 闭集 C F型集 D G 型集 4.若|f|在 E上可积，则_ A.f 在 E上可积 B.f 在 E上可测 C.f 在 E上有界 D.f 在 E上几乎处处有限 三、叙述有界变差函数定义、Fatou 引理、Lebesgue 控制收敛定理（共 9 分，每小题 3 分）。四、证明下列集合等式（共 6 分，每小题 3 分）：则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 1.S-S=(S-S)2.Efa=Efa-五、证明：有限个开集之交是开集。
11、举例说明无限个开集之交不一定是开集。（8 分）六、证明：设 f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x)a.e 于 E，且|f|d|f|d，则对任意可测子集 eE有?|f|d|f|d（7 分）七、计算下列各题：（每小题 5 分，共 15 分）1.sin(nx)d=?2.设 f(x)=求d=?3.设 f(x)=?n=2,3,?求d=?一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)1.非可数的无限集为 c 势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于 c）。2.开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎
12、处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 3.若 m E=0，则 E为可数集（不正确！如 contorP集外测度为 0，但是 C势集）。4.若|f(x)|在 E上可测，则 f(x)在 E上可测（不正确！如）5.若 f(x)在 E上有界可测，则 f(x)在 E上可积（不正确！如有界可测，但不可积）二、将正确答案填在空格内 1 至多可数个 可数集之并是可数集。A.任意多个 B.c 势个 C.无穷多个 D 至多可数个 2.有限个 闭集之并交是闭集。A.任意多个 B.有限个 C.无穷多个
13、D 至多可数个 3.可数个开集之交是 G 型集 A开集 B 闭集 C?F型集 D?G 型集 4.若|f|在 E上可积，则 f 在 E上几乎处处有限 A.f在 E上可积 B.f 在 E上可测 C.f 在 E上有界 D.f在 E上几乎处处有限 三、叙述有界变差函数定义、Fatou 引理、Lebesgue 控制收敛定理（见教材，不赘述！）。四、证明下列集合等式 则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 1.S-S=(S-S)解：=(S-S
14、)2。Efa=Efa-证明：所以，同理，?故 五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。?证明：（分析法证明）设 要证为开集，只须证明 事实上，取时，自然有。则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载?故为开集。无限个开集之交不一定是开集。反例：设，则=既不是开集，又不是闭集。六、证明：设 f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x)a.e于 E，且|f|d|f|d，则对任意可测子集 eE有|f|d|f|
15、d 证明：因为 f(x)f(x)a.e 于 E，对任意由 Fatou引理知|f|d|f|d 而已知|f|d|f|d，则对任意由 Fatou 引理知：一方面|f|d=|f|d|f|d 另一方面，|f|d=|f|d|f|d|f|d=|f|d=|f|d-|f|d|f|d 故|f|d|f|d|f|d 即|f|d=|f|d 则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 七、计算下列各题：1sin(nx)d=?解：因为?sin(nx)0 于0，1
16、第 3 页?共 4 页?且|1 则由 Lebesgue 控制收敛定理知：sin(nx)d=sin(nx)d=0 2设 f(x)=求d=?解：所以 3设 f(x)=?n=2,3,?求d=?解：因为 f(x)=?n=2,3,在上非负可测，所以由 Lebesgue 逐块积分定理知：d=。一、选择题(共 10 题，每题 3 分，共 30 分)则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 1.设Q是R中有理数的全体，则在R中Q的导集Q是 【】(A
17、)Q (B)(C)R(D)QR 2.设nF是 一 列 闭 集，1nnFF，则F一 定 是 【】(A)开集 (B)闭集 (C)G型集 (D)F型集 3.设E是R中 有 理 数 全 体，则mE 【】(A)0 (B)1 (C)(D)-4.下 面 哪 些 集 合 的 并 组 成 整 个 集 合 的 点 【】(A)内点，界点，聚点 (B)内点，界点，孤立点 (C)孤立点，界点，外点(D)孤立点，聚点，外点 5.设P是Cantor集，则 【】(A)P与nR对等，且P的测度为 0(B)P与nR对等，且P的测度为 1(C)P与nR不对等，P的测度为 0(D)P与nR不对等，P的测度为 1 6.设)(xf与)(
18、xg在E上 可 测，则gfE是 则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载【】(A)可测集 (B)不可测集 (C)空集 (D)无法判定 7.设)(xf在可测集E上有定义，nxfxfn),(min)(，则)(xfn是 (A)单调递增函数列(B)单调递减函数列(C)可积函数列(D)连续函数列 8.设E是任一可测集，则 【】(A)E是开集 (B)E是闭集 (C)E是完备集 (D)对任意0，存在开集EG，使)(EGm 9设QQ 1,021 1
19、,02sin)(x,xx,xxf，则 10,f(x)d 【】(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 10设nf是E上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意0，有下面条件成立，则)(xfn 依测度收敛于)(xf 【】(A)0)()(limxfxfmEnn (B)0)()(limxfxfmEnn (C)0)()(limxfxfmEnn (D)0)()(limxfxfmEnn 二、定理叙述题(共 2
20、 题，每题 5 分，共 10 分)1.鲁津定理 2.Fatou引理 三、判断改正题(正确的打对号，错误的打错号并改正，共 5题，每题 4 分，共 20 分)1.若E与 它 的 真 子 集 对 等，则E一 定 是 有 限集 【】2.凡非负可测函数都是L可积的 【】3.设A为1R空 间 中 一 非 空 集，若.aA 则.aA 【】4.设E为可测集，则存在G型集F，使得EF，且0)(FEm 【】5.)(xf在 ba,上L可 积，则)(xf在 ba,R可 积 且则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中
21、长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载(【】四、证明题(共 4 题，每题 10 分，共 40 分)1.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集 2.nR上全体有理数点集的外测度为零 3.设函数列nf在E上依测度收敛f，且hfnea.于E，则hf ea.于E 4.设)(xf在 ba,上可积，则0)()(lim0dxxftxfbat 判断题（每题 2 分，共 20 分）1.必有比a大的基数。（）2.无限个闭集的并必是闭集。（）3.若0mE，则E是至多可列集。（）4.无限集的测度一定不为零。则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭
22、集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载（）5.两 集 合 的 外 测 度 相 等，则 它 们 的 基 数 相 等。（）6.若)(xf在E的任意子集上可测，则)(xf在可测集E上可测。（）7.E上 可 测 函 数 列 的 极 限 函 数 在E上 不 一 定 可 测。（）8.)(xf是E上 的 可 测 函 数，则)(xf可 积。（）9.若0)(xf且Edxxf0)(，则f.0)(eax 于E。（）10.若|)(|xf在E上 可 积，则)(xf在E上 也 可 积。（）二、填空题（每题 2 分，共 20 分）1.
23、设,2,1),0(nnAn，则nnA1 ，nnA1 。2.设1,3,2,1RnA，则0A ，A 。3.设B是开区间)2,0(中有理点的全体，则mB 。4.单调函数的不连续点集的基数是 。5.设E是 1,0上的Cantor集，则E 。6.闭区间,ba 上的有界函数)(xfRimann可积的充要条件是 。7.狄 利 克 雷 函 数 函 数)(xD是 可 积 的，dxxD)(1,0 。则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 三、计算题（
24、每题 10 分，共 20 分）.1.计算dxxnxnRn10242121)(lim。（提示：使用 Lebesgue 控制收敛定理）2.设020 1,0,;,)(PxxPxxxf，其中0P是 Cantor集，试计算 1,0)(dxxf。四、证明题（每题 8 分，共 40 分）1.证明：1|0|1nxxxxn 2.设M是平面上一类圆组成的集合，中任意两个圆不相交，证明M是是至多可列集。3.如果0mE，则E的任何子集也可测且测度为零。4.设)(xf在E上可积，且.).()(eaxgxf于E，证明：)(xg也在E上可积。5.可测集E上的函数)(xf为可测函数充分必要条件是对任何有理数r，集合)(rxf
25、E是可测集。一、单项选择题（3 分5=15 分）1、1、下列各式正确的是（）（A）1limnknnk nAA;（B）1limnknk nnAA;（C）1limnknnk nAA;（D）1limnknk nnAA;2、设 P为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A）P c (B)0mP (C)PP (D)PP 则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 3、下列说法不正确的是（）(A)凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何
26、子集都可测 (C)开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 4、设()nfx是E上的.a e有限的可测函数列,则下面不成立的是()（A）若()()nf xfx,则()()nfxf x (B)sup()nnfx是可测函数 （C）inf()nnfx是可测函数;（D）若()()nf xf x,则()f x可测 5、设 f(x)是,ba上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A)(xf在,ba上有界 (B)(xf在,ba上几乎处处存在导数（C）)(xf在,ba上 L可积 (D)baafbfdxxf)()()(二.填空题(3 分5=15 分)1、()()ssC AC BAAB_ 2、设E是0,1上 有
27、 理 点 全 体，则E=_,oE=_,E=_.3、设E是nR中 点 集，如 果 对 任 一 点 集T都 有_，则称E是L可测的 则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 4、)(xf可测的_条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x为,a b上的有限函数，如果对于,a b的一切分划，使_,则称()f x为 ,a b上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举
28、反例说明.1、设1ER，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。2、若0mE，则E一定是可数集.3、若|()|f x是可测函数，则()f x必是可测函数。4设()f x在可测集E上可积分，若,()0 xE f x，则()0Ef x 四、解答题（8 分2=16 分）.1、（8分）设2,()1,xxf xx为无理数为有理数，则()f x在0,1上是否R可积，是否L可积，若可积，求出积分值。2、（8 分）求0ln()limcosxnxnexdxn 五、证明题（6 分4+10=34分）.1、（6 分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c.2、（6 分）设()f x是,上的实值连续函数，则对于任意常数,|
29、()a Ex f xa是闭集。则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 3、（6 分）在,a b上的任一有界变差函数()f x都可以表示为两个增函数之差。4、（6 分）设,()mEf x 在E上可积，(|)neEfn，则lim0nnn me.5、（10分）设()f x是E上.a e有限的函数，若对任意0，存在闭子集FE，使()f x在F上连续，且()m EF，证明：()f x是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)一、判定下列命题正确
30、与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分）11.非可数的无限集为 c 势集 12.开集的余集为闭集。13.若 m E=0，则 E为可数集 14.若|f(x)|在 E上可测，则 f(x)在 E上可测 15.若 f(x)在 E上有界可测，则 f(x)在 E上可积 二、将正确答案填在空格内（共8分，每小题2分）16._ 可数集之并是可数集。A.任意多个 B.c势个?C.无穷多个 D 至多可数个 17._ 闭集之并交是闭集。A.任意多个 B.有限个 C.无穷多个 D 至多可数个 18.可数个开集之交是_A开集 B 闭集 C F型集 D G型集 19.若|f|在 E上可积
31、，则_A.f 在 E上可积 B.f 则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 在 E上可测 C.f 在 E上有界 D.f在 E上几乎处处有限 三、叙述有界变差函数定义、Fatou 引理、Lebesgue 控制收敛定理（共9分，每小题3分）。四、证明下列集合等式（共6分，每小题3分）：20.S-S=(S-S)21.Efa=Efa-五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。（8分）六、证明：设 f(x)，f(x
32、)为可积函数列，f(x)f(x)a.e 于 E，且|f|d|f|d，则对任意可测子集 eE有?|f|d|f|d（7分）七、计算下列各题：（每小题5分，共15分）22.sin(nx)d=?23.设 f(x)=求d=?24.设 f(x)=?n=2,3,?求d=?一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)6.非可数的无限集为 c 势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于 c）。7.开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢
33、迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 8.若 m E=0，则 E为可数集（不正确！如 contorP集外测度为0，但是 C势集）。9.若|f(x)|在 E上可测，则 f(x)在 E上可测（不正确！如）10.若 f(x)在 E上有界可测，则 f(x)在 E上可积（不正确！如有界可测，但不可积）二、将正确答案填在空格内 1 至多可数个可数集之并是可数集。A.任意多个 B.c 势个 C.无穷多个 D 至多可数个 2.有限个闭集之并交是闭集。A.任意多个 B.有限个 C.无穷多个 D 至多可数个 3.可数个开集之交是 G 型集 A开集 B 闭集 C?F型 D?G
34、型集 4.若|f|在 E上可积，则 f 在 E上几乎处处有限 A.f在 E上可积 B.f 在 E上可测 C.f 在 E上有界 D.f在 E上几乎处处有限 三、叙述有界变差函数定义、Fatou 引理、Lebesgue 控制收敛定理（见教材）。四、证明下列集合等式 1.S-S=(S-S)解：则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载=(S-S)2。Efa=Efa-证明：所以，同理，?故 五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之
35、交不一定是开集。?证明：（分析法证明）设 要证为开集，只须证明 事实上，取时，自然有。?故为开集。无限个开集之交不一定是开集。反例：设，则=既不是开集，又不是闭集。六、证明：设 f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x)a.e于 E，则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 且|f|d|f|d，则对任意可测子集 eE有|f|d|f|d 证明：因为 f(x)f(x)a.e 于 E，对任意由 Fatou引理知|f|d|f|d 而已
36、知|f|d|f|d，则对任意由 Fatou 引理知：一方面|f|d=|f|d|f|d 另一方面，|f|d=|f|d|f|d|f|d=|f|d=|f|d-|f|d|f|d 故|f|d|f|d|f|d 即|f|d=|f|d 七、计算下列各题：1sin(nx)d=?解：因为?sin(nx)0于0，1 且|1 则由 Lebesgue 控制收敛定理知：sin(nx)d=sin(nx)d=0 2设 f(x)=求d=?解：则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精
37、品资料 欢迎下载 所以 3设 f(x)=?n=2,3,?求d=?解：因为f(x)=?n=2,3,在上非负可测，所以由 Lebesgue 逐块积分定理知：d=。一、填空：（共 10 分）1如果 则称E是自密集，如果 则称E是开集，如果EE 则称E是 ，EEE 称为E的 .2设集合G可表示为一列开集iG之交集：1iiGG，则G称为 .若集合F可表示为一列闭集iF之并集：1iiFF，则F称为 .3（Fatou 引理）设nf是可测集qRE 上一列非负可测函数，则 .4设)(xf为,ba上的有限函数，如果对于,ba的一切分划则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若
38、满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 bxxxaTn10:，使niiixfxf11|)()(|成一有界数集，则称)(xf为,ba上的 ，并称这个数集的上确界为)(xf在,ba上的 ，记为 .二、选择填空：（每题 4 分，共 20 分）1下列命题或表达式正确的是 Abb B2 2 C对于任意集合BA,，有BA或AB D 2下列命题不正确的是 A若点集A是无界集，则Am*B若点集E是有界集，则Em*C可数点集的外测度为零 D康托集P的测度为零 3下列表达式正确的是 0),(max)(xfxf B)()()(xf
39、xfxf)()(|)(|xfxfxf D),(min)(nxfxfn 4下列命题不正确的是 A开集、闭集都是可测集 B可测集都是 Borel 集 C外测度为零的集是可测集 DF型集，G型集都是可测集 5下列集合基数为a（可数集）的是 A康托集P B)1,0(C 设innxxxxxARA|),(,21是 整 数，,2,1ni 则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 D区间)1,0(中的无理数全体 三、（20 分）叙述并证明鲁津（Lu
40、sin）定理的逆定理 四、（20 分）设RE，)(xf是E上.ea有限的可测函数，证 明：存 在 定 义 在R上 的 一 列 连 续 函 数ng，使 得.)()(limeaxfxgnn于E 五、（10 分）证明01sin)(limsin22200710dxexnnxnxRnxn 六、（10 分）设)(xf是满足 Lipschitz条件的函数，且.0)(eaxf于,ba，则)(xf为增函数 七、（10 分）设f是,ba上的有界变差函数，证明2f也是,ba上的有界变差函数 一、填空题：（共 10 分）1、EE,0EE（或0EE）闭集，闭包 2、G型集，F型集 3、dxxfdxxfnEnnnE)(l
41、im)(lim 4、有界变差函数，全变差，)(fVba 二、选择填空：（每小题 4 分，共 20 分）1、D 2、A 3、D 4、B 5、C 三、（20 分）定理：设.)(eaxf有限于E，若对于任意的0，总有闭集EF，使)(FEm，且)(xf在F上连续，则f是E上的可测函数.证 对任意的正整数n，存在闭集EFn使nFEmn1)(，且f在nF上 连 续，从 而f在nF上 可 测 设1kkFF，则F是可测集，且,2,1,nFEFEn，于是 则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上
42、取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载,2,1,1)()(nnFEmFEmn fFEm0)(在FE 上可测 由于FFEE)(，只须证f在F上可测，事实上，对任意的Ra，1afFafFnn afF是 可 测 集f在F上 可 测f在E上 可 测 （5 分）四、（20 分）证明 f在E上可测，由 Lusin 定理，对任何正整数n，存在E的可测子集nE，使得nEEmn1)(，同时存在定义在R上的 连 续 函 数)(xn，使 得 当nEx时 有)()(xfxn （7 分）所以对任意的0，成立 nnEEfE|，,2,1n ,2,1,1)(|nnEEmfmEnn 0|limnnfmE因此fn 由 F
43、.Riesz 定理，存在n的子列kn，使.)()(l i meaxfxknk于E，记)()(xgxknk，则.)()(lim)(limeaxfxgxgkknn于E 五、（10 分）证明 设nxnexnnxnxxfsin2220071sin)(则)(xfn在 1,0上连续，因而R可积L可积，且01sinlim)(limsin222007nxnnnexnnxnxxf 1,0 x 则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解精品资料 欢迎下载 取exF21)(
44、，则)(|)(|xFxfn，而 1)1,0(m 由 Lebesgue 有界收敛定理 0)()()(lim)()(lim 1,0 1,010dxldxxfLdxxfRnnnn 六、（10 分）证 因为f满足 Lipschitz 条件，所以f是绝对连续函数，对任意的2121,xxbaxx，由牛顿莱布尼兹公式dxfafxfxa1)()(1（1）dxfafxfxa2)()(2（2）（2）（1）0)()(2112dxfxfxfxx)()(12xfxf)(xf是,ba上的单调函数 七、（10 分）证 f是有界变差函数，因而是有界函数，于是mf|，,bax 对,ba的任意分划bxxxaTn10:有 niiixfxf1122|)()(|)()(|)()(|111iiniiixfxfxfxf niiixfxfM11|)()(|2)(2fVMba 因此2f也是,ba上的有界变差函数 则称若设的聚点设是上几乎处处有限的可测函数列上几乎处处有限的可闭集的并集是闭集若满足则为无限集合三计算证明题证明设是空间中以资料欢迎下载余集中长为的构成区间上取值为求求极限实变函数试题解