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1、学习必备 欢迎下载 第 4 讲 不等式 自主学习导引 真题感悟 1(2012 浙江)若正数 x、y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是 A.245 B.285 C5 D6 解析 将已知条件进行转化，利用基本不等式求解 x0，y0，由 x3y5xy 得151y3x1.3x4y15(3x4y)1y3x 153xy4912yx135153xy12yx 1351523xy12yx5(当且仅当 x2y 时取等号)，3x4y 的最小值为5.答案 C 2(2012 江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产
2、量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为 A50,0 B30,20 C20,30 D0,50 解析 线性规划问题利用可行域求最优解 设种植黄瓜 x 亩，韭菜 y 亩，则由题意可知 xy50，1.2x0.9y54，x，y N求目标函数 zx0.9y 的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示 学习必备 欢迎下载 当目标函数线 l 向右平移，移至点 E(30,20)处时，目标取得最大值，即当黄瓜 30亩，韭菜 20 亩时，种植
3、总利润最大 答案 B 考题分析 利用基本不等式求最值是高考考查的重点，可单独命题，以选择题或填空题的形式出现；也可以是解答题的一部分解答这部分题目有时需要一定的技巧，线性规划的题目一般不难，单独命题，只要掌握基本方法即可 网络构建 高频考点突破 考点一：不等式的解法【例 1】(1)(2012 扬州模拟)函数 f(x)x24x，x0，4xx2，x0，则不等式 f(2x2)f(x)的解集是_(2)在 R 上定义运算：x yx(1y)若不等式(xa)(xb)0 的解集是(2,3)，则 ab 的值是 A1 B2 C4 D8 审题导引(1)利用函数 f(x)的单调性，脱掉“f”，转化为二次不等式求解；(
4、2)根据新定义的运算，求出不等式，由不等式解集的端点与对应方程的根的关系可求 ab.不超过万元假设种植黄瓜和韭菜的产量成本和售价如下表年产量亩年种划问题利用可行域求最优解设种植黄瓜亩韭菜亩则由题意可知求目标函分析利用基本不等式求最值是高考考查的重点可单独命题以选择题或填学习必备 欢迎下载 规范解答(1)作出函数yf(x)的图象可知函数yf(x)在(，)上单调递增，f(2x2)f(x)，2x2x，解得2x1，故不等式 f(2x2)f(x)的解集为(2,1)(2)不等式(xa)(xb)0，即不等式(xa)1(xb)0，即不等式(xa)x(b1)0.因为该不等式的解集为(2,3)，说明方程(xa)x
5、(b1)0 的两根之和等于 5，即 ab15，即 ab4.故选 C.答案(1)(2,1)(2)C【规律总结】不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路是：先化为一般形式 ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)，即保证不等式的二次项系数为正值，在这种情况下写出的解集不易出错 再求相应一元二次方程 ax2bxc0 的根，写出不等式的解集 (2)分式不等式、对数或指数不等式一般利用相关的性质转化为一元二次不等式求解【变式训练】1(2012 威海模拟)f(x)2x1，x0，x，x0，若 f(x0)1，则 x0的取值范围_ 解析 原不等式等价于 x00，2x011 或 x00，x01，解之得
6、 x01，或 x01.答案(，1)(1，)不超过万元假设种植黄瓜和韭菜的产量成本和售价如下表年产量亩年种划问题利用可行域求最优解设种植黄瓜亩韭菜亩则由题意可知求目标函分析利用基本不等式求最值是高考考查的重点可单独命题以选择题或填学习必备 欢迎下载 2(2012 宿州模拟)若函数 f(x)x22x，x0，x2ax，x0是奇函数，则满足 f(x)a 的 x 的取值范围是_ 解析 f(x)是奇函数，f(1)f(1)，即1a(12)，a2，则不等式 f(x)2 等价于 x0，x22x2或 x0 x22x2 解得 x0 或1 3x0，即 x(1 3，)答案(1 3，)考点二：线性规划【例 2】已知变量
7、x、y 满足条件 x2y30，x3y30，y10，若目标函数 axy(其中a0)仅在点(3,0)处取得最大值，则 a 的取值范围是 A.，12 B.12，0 C.0，12 D.12，审题导引 根据目标函数中参数 a 的几何意义，结合可行域，可求 a 的范围 规范解答 画出 x、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数 zaxy 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线 yaxz 的斜率应小于直线 x2y30 的斜率，即a12，所以 a12.故选 D.不超过万元假设种植黄瓜和韭菜的产量成本和售价如下表年产量亩年种划问题利用可行域求最优解设种植黄瓜亩韭菜亩则由题意可知求目标函分析利用基本不等式求最值
8、是高考考查的重点可单独命题以选择题或填学习必备 欢迎下载 答案 D【规律总结】线性规划问题中参变量的特点与求解方法 含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧，增加了解题的难度参变量的设置形式通常有如下两种：(1)条件不等式组中含有参变量，由于不能明确可行域的形状，因此增加了解题时画图分析的难度，求解这类问题时要有全局观念，结合目标函数逆向分析题意，整体把握解题的方向；(2)目标函数中设置参变量，旨在增加探索问题的动态性和开放性从目标函数的结论入手，对图形的动态分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求解这类问题的主要思维方法【变式训练】3铁矿石 A 和 B
9、 的含铁率 a，冶炼每万吨铁矿石的 CO2排放量 b 及购买每万吨铁矿石的价格 c 如下表：a b(万吨)c(百万元)A 50%1 3 B 70%0.5 6 某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁，若要求 CO2的排放量不超过 2(万吨)，则购买铁矿石的费用最少为 A14 百万元 B15 百万元 C20 百万元 D以上答案都不对 解析 设购买 A种铁矿石 x 万吨，B 种铁矿石 y 万吨则由题意，可知 x、y所满足的条件为 x0，y0，0.5x0.7y1.9，x0.5y2，整理，得 x0，y0，5x7y19，2xy4.则购买费用 z3x6y(百万元)不超过万元假设种植黄瓜和韭菜的产量成本和售价如
10、下表年产量亩年种划问题利用可行域求最优解设种植黄瓜亩韭菜亩则由题意可知求目标函分析利用基本不等式求最值是高考考查的重点可单独命题以选择题或填学习必备 欢迎下载 如图，作出不等式组所表示的可行域，目标函数 z 的几何意义是直线 z3x6y在 y 轴上的截距的 6 倍，故当直线 z3x6y 在 y 轴上的截距最小时，目标函数取得最小值，显然直线经过点 B(1,2)时，目标函数取得最小值，最小值为 z312615(百万元)故选 B.答案 B 考点三：基本不等式及应用【例 3】(1)(2012 梧州模拟)a，bR，ab 且 ab1，则a2b2ab的最小值等于_ (2)(2012 郴州模拟)若正实数 x
11、、y 满足：11x11y12，则 x、y 的取值范围为_ 审题导引(1)解题的关键是把原式变形，使两项的积为定值，然后利用基本不等式求解；(2)把条件中的等式利用基本不等式转化为含 x、y 的不等式并求解 规范解答(1)a2b2ab a2b22ab 2ab ab2ab，ab，ab0，则 ab2ab2 2，当且仅当 ab2ab，即 ab 2时等号成立(2)由11x11y12，得 xy3xy，又 xy2 xy，xy32 xy，不超过万元假设种植黄瓜和韭菜的产量成本和售价如下表年产量亩年种划问题利用可行域求最优解设种植黄瓜亩韭菜亩则由题意可知求目标函分析利用基本不等式求最值是高考考查的重点可单独命题
12、以选择题或填学习必备 欢迎下载 即(xy)22 xy30，(xy3)(xy1)0，xy30，xy9.答案(1)22(2)xy9【规律总结】利用基本不等式求最值的技巧 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误而“定”条件往往是整个求解过程中的一个难点和关键解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件 【变式训练】4(2012 海淀模拟)已知函数 f(x)mx11(其中 m0，且 m1)的图象恒过定点 A，而点 A 恰
13、好在直线 2axby20 上(其中 ab0)，则1a4b的最小值为_ 解析 已知点 A的坐标为(1,2)，据题意知 2a2b20，即 ab1，1a4b(ab)1a4b5ba4ab52ba4ab9，当且仅当ba4ab，即 a13，b23时等号成立 5(2012 兰州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 在曲线 xy1(x0)上，点 P 在 x 轴上的射影为 M.若点 P 在直线 xy0 的下方，当OP2OMMP取得最小值时，点 P 的坐标为_ 解析 设 Px，1x，M(x,0)，点P 在直线 xy0 的下方，x1x，即 x1.不超过万元假设种植黄瓜和韭菜的产量成本和售价如下表年产量亩年
14、种划问题利用可行域求最优解设种植黄瓜亩韭菜亩则由题意可知求目标函分析利用基本不等式求最值是高考考查的重点可单独命题以选择题或填学习必备 欢迎下载 OP2OMMPx21x2x1xx21x22 2x1x x1x2x1x2x1x2x1x2 2，当且仅当 x1x2x1x，即 x6 22x2 62舍去时，等号成立，故 P6 22，6 22.答案 6 22，6 22 名师押题高考【押题 1】若关于 x 的不等式|xm|2x1|在 R 上恒成立，则实数m 的取值为_ 解析 由不等式|xm|2x1|恒成立得，(xm)2(2x1)2恒成立，即 3x2(2m4)x1m20，于是应有 (2m4)212(1m2)0，
15、即(2m1)20，因此必有 m12.答案 12 押题依据 不等式的解法是高考的必考内容之一，要求不高，但需熟练掌握 本题涉及绝对值不等式、二次不等式的恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想，综合性较强，但难度较小，故押此题【押题 2】(2012 湘西模拟)已知向量 a(x，2)，b(y,1)，其中 x，y 都是正实数，若 ab，则 tx2y 的最小值是_ 解析 a b，a bxy20，即 xy2.tx2y2 2xy4，当且仅当 x2，即 x2，y1 时等号成立 不超过万元假设种植黄瓜和韭菜的产量成本和售价如下表年产量亩年种划问题利用可行域求最优解设种植黄瓜亩韭菜亩则由题意可知求目标函分析利用基本不等式求最值是高考考查的重点可单独命题以选择题或填学习必备 欢迎下载 答案 4 押题依据 利用基本不等式求最值是高考的热点之一本题的关键是根据条件，将问题转化为能用基本不等式求解的形式，突出了转化与化归思想的考查，故押此题 不超过万元假设种植黄瓜和韭菜的产量成本和售价如下表年产量亩年种划问题利用可行域求最优解设种植黄瓜亩韭菜亩则由题意可知求目标函分析利用基本不等式求最值是高考考查的重点可单独命题以选择题或填