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1、学习必备 欢迎下载 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 3)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”4)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常
2、常是角平分线的性质定理或逆定理 5)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 一、倍长中线（线段）造全等 例 1.已知：如图 3 所示，AD 为 ABC 的中线，求证：AB+AC2AD。分析：要证 AB+AC2AD，由图形想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有：AB+AC+BD+CD AD+AD=2AD，但它的左边比要证结论多 BD+CD，故不能直接证出此题，而由 2AD 想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同
3、一个三角形中去。证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，CE。EDCBA 3图 例 3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分BAE.因为 BD=DC=AC，所以 AC=1/2BC 因为 E 是 DC 中点，所以 EC=1/2DC=1/2AC ABCDE3图学习必备 欢迎下载 ACE=BCA，所以BCAACE 所以ABC=CAE 因为 DC=AC，所以ADC=DAC ADC=ABC+BAD 所以ABC+BAD=DAE+CAE 所以BAD=DAE 即 AD 平分BAE 应用：二、截长补短 例 1.已知：如图 1 所示，AD 为ABC 的中线，且1=2,3
4、=4。求证：BE+CFEF。分析：要证 BE+CFEF，可利用三角形三 边关系定理证明，须把 BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把 EN，FN，EF 移到同个三角形中。证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF。延长 FD 到 G,使 DG=FD,再连结 EG,BG 1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且 AD=BD，求证：CD AC 证明：取 AB 中点 E，连接 DE AD=BD DEAB，即AED=90【等腰三角形三线合一】AB=2AC AE=AC 又EAD=CAD【AD 平分BAC】AD
5、=AD AEDACD（SAS）C=AED=90 CDAC CDBAABCDEFN1图1234条线段上截取一条线段与特定线段相等或是将某条线段延长是之与特定模式是全等变换中的对折遇到角平分线可以自角平分线上的某一点向角的思维模式是全等变换中的平移或翻转折叠特殊方法在求有关三角形的学习必备 欢迎下载 EDCBADCBAPQCBA2、如图，AC BD，EA,EB分别平分CAB,DBA，CD过点 E，求证;ABAC+BD 在 AB 上取点 N,使得 AN=AC CAE=EAN,AE 为公共边,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN 所以ANE=ACE 又 AC 平行 BD 所以ACE+BDE=180
6、而ANE+ENB=180 所以ENB=BDE NBE=EBN BE 为公共边,所以三角形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD=BN 所以 AB=AN+BN=AC+BD 3、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在 BC，CA上，并且 AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 证明：做辅助线 PMBQ，与 QC 相交与 M。（首先算清各角的度数）APB=180 BAPABP=18030 80=70 且APM=180 APBMPC=18070 QBC（同位角相等）=180 70 40=70 APB=APM 又AP 是 BAC 的角平分线，BAP=
7、MAP AP 是公共边 ABPAMP(角边角）AB=AM，BP=MP 在MPC 中，MCP=MPC=40 MP=MC AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC 在QBC 中 QBC=QCB=40 BQ=QC BQ+AQ=AQ+QC=AC BQ+AQ=AB+BP 4、角平分线如图，在四边形 ABCD 中，BC BA,AD CD，BD平分ABC，求证：0180CA 延长 BA,作 DFBA 的延长线，作 DEBC 条线段上截取一条线段与特定线段相等或是将某条线段延长是之与特定模式是全等变换中的对折遇到角平分线可以自角平分线上的某一点向角的思维模式是全等变换中的平移或翻转折叠特殊方法在求有关三角形的
8、学习必备 欢迎下载 P21DCBA1=2 DE=DF（角分线上的点到角的两边距离相等）在 RtDFA 与 RtDEC 中 AD=DC,DF=DE RtDFARtDEC（HL)3=C 因为4+3=180 4+C=180 即A+C=180 5、如图在ABC中，AB AC，12，P为 AD上任意一点，求证;AB-AC PB-PC 延长 AC 至 E，使 AE=AB，连结 PE。然后证明一下ABPAEP 得到 PB=PE 备用（角边角证很容易吧）PCE 中，ECPE-PC EC=AE-AC，AE=AB EC=AB-AC 又 PB=PE PE-PC=PB-PC AB-ACPB-PC 应用：条线段上截取一
9、条线段与特定线段相等或是将某条线段延长是之与特定模式是全等变换中的对折遇到角平分线可以自角平分线上的某一点向角的思维模式是全等变换中的平移或翻转折叠特殊方法在求有关三角形的学习必备 欢迎下载 OEDCBA 三、平移变换 例 1 AD 为ABC的角平分线，直线 MN AD于 A.E 为 MN上一点，ABC周长记为AP，EBC周长记为BP.求证BPAP.例 2 如图，在ABC的边上取两点 D、E，且 BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.EDCBA 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O，求证：OE=OD 在 AC 上取点 F，使 A
10、F=AE AD 是角 A 的平分线 角 EAO角 FAE/AO=AO 三角形 AEO 与 AFO 全等（两边夹角相等）EO=FO，角 AOE角 AOF CE 是角 C 的平分线 条线段上截取一条线段与特定线段相等或是将某条线段延长是之与特定模式是全等变换中的对折遇到角平分线可以自角平分线上的某一点向角的思维模式是全等变换中的平移或翻转折叠特殊方法在求有关三角形的学习必备 欢迎下载 角 DCO 角 FCO 角 B60 角 A+角 C18060120 角 COD=角 CAO 角 OCA 角 A/2角 C/260 度 角 OCF 180角 AOF-角 COD 180606060 角 OCF 角 CO
11、D OC=OC 三角形 OCD 与 CFO 全等（两边夹角相等）CF=CD AC=AF+CF AE+CD 即：AE+CD=AC 2、如图，ABC中，AD平分BAC，DG BC且平分 BC，DE AB于 E，DF AC于 F.（1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE的长.证明：连接 BD,CD DGBC 于 G 且平分 BC 所以 GD 为 BC 垂直平分线 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 BD=CD 角平分线上的点到角两边距离相等,AD 平分BAC，DEAB 于 E，DFAC 的延长线于 F 所以 DE=DF 在 RTBED,RT CFD 中 DE=D
12、F BD=CD RTBEDRTCFD(HL)EDGFCBA条线段上截取一条线段与特定线段相等或是将某条线段延长是之与特定模式是全等变换中的对折遇到角平分线可以自角平分线上的某一点向角的思维模式是全等变换中的平移或翻转折叠特殊方法在求有关三角形的学习必备 欢迎下载 NMEFACBAFEDCBABE=CF 应用：五、旋转 例 1 正方形 ABCD 中，E为 BC上的一点，F为 CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形 ABG 则 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE，AF=AG，所以三角形 AEF 全等于 AEG 所以
13、EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF 又EAF+BAE+DAF=90 所以EAF=45 度 例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点，DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA于点 E,F。（1）当MDN绕点 D转动时，求证 DE=DF。（2）若 AB=2，求四边形 DECF的面积。做 DPBC，垂足为 P，做 DQAC，垂足为 Q D 为中点，且ABC 为等腰 RTABC DP=DQ=BC=AC 又FDQ=PDE(旋转）DQF=DPE=90 DQF DPE SDQF=S DPE 又S 四边形 DECF=S 四边形 DFCP+S DPE S 四边形 DECF=S 四边形 DFC
14、P+S DQF=BC*AC=AC（AC=BC=定值）四边形 DECF 面积不会改变 例 3 如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D为顶点做一个060角，使其两边分别交 AB于点 M，交 AC于点 N，连接 MN，则AMN的周长为 ；条线段上截取一条线段与特定线段相等或是将某条线段延长是之与特定模式是全等变换中的对折遇到角平分线可以自角平分线上的某一点向角的思维模式是全等变换中的平移或翻转折叠特殊方法在求有关三角形的学习必备 欢迎下载 BCDNMA 我简单说一下 过 D 点做 DEAB 的延长线 然后证明 DMNDME（注意DBE 实际上是DCN 旋转后得来的）条线段上截取一条线段与特定线段相等或是将某条线段延长是之与特定模式是全等变换中的对折遇到角平分线可以自角平分线上的某一点向角的思维模式是全等变换中的平移或翻转折叠特殊方法在求有关三角形的