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1、学习必备 精品知识点 初三数学圆知识点 一.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 简单记成：一条直线：过圆心垂直弦 平分弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的优弧弧 以上以任意两个为已知条件，其它三个都成立，简称2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：AB是直径 ABCD CEDE BC BD AC AD 中任意 2 个条件推出其他
2、 3 个结论。例 1如图，在O 中，弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E，若BAD=30 ，且 BE=2，则 CD=_ 例 2 已知O 的直径10CDcm，AB是O 的弦，8ABcm，且ABCD，垂足为M，则AC的长为（C）A2 5cm B4 5cm C2 5cm或4 5cm D2 3cm或4 3cm 例 3、如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB 与车轮内圆相切于点 D，做 CDAB 交外圆于点 C测得 CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为 例 4、如图，在55 的正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是
3、 A点 P B点 Q C点 R D点 M 二、圆周角定理 1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是AB 所对的圆心角和圆周角 2AOBACB 2、圆周角定理的推论：推论 1：半圆或直径所对的圆周角是直角；90圆周角所对的弦直径 推论 2：圆内接四边形的对角互补；由对称性还可知：1、在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等；2、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等；简记：在同圆或等圆中，弦圆心角弧中只要一个相
4、等，其它两个也相等。例 1、如图，已知 A、B、C 三点在O 上，ACBO 于 D，B=55，则BOC 的度数是 70 例 2、从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）ABC D 例 3、如图，ABCD 的顶点 A、B、D在0 上，顶点 C在0 的直径 BE上，连接 AE，E=360，OEDCBADCBAO学习必备 精品知识点 则ADC=()A,440 B 540 C 720 D530 学生练习：三、与圆有关的位置关系 1 点与圆的位置关系：设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点在圆内_；点在圆上_；点在圆外_ 一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧简单记成一
5、条直线出其它个结论即是直径中任意个条件推出其他个结论例如图在中弦垂直交外圆于点测得则这个车轮的外圆半径为例如图在的正方形网格中一条学习必备 精品知识点 2直线与圆的位置关系：如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 L 的距离为 d，那么：（1）直线和圆有_个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的_，公共点叫做_，此时 d_r；（2）直线和圆有_个公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的_，公共点叫做_，此时 d_r（3）直线和圆有_个公共点时，叫做直线与圆相离，此时 d_r 3.切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半
6、径，二者缺一不可即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PAPB PO平分BPA 例1.已知O的半径为 3,A 为线段 PO的中点,则当 OP=6时,点 A与O的位置关系为()A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确
7、定 2.O的半径为 6,O的一条弦 AB长为 33,以 3 为半径的同心圆与直线 AB 的位置关系是()A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 3.如图所示,O的外形梯形 ABCD 中,如果 AD BC,那么DOC的度数为()A.70 B.90 C.60 D.45 4.如图所示,PA 与 PB分别切O于 A、B两点,C 是AB上任意一点,过 C作O的切线,交 PA及 PB于 D、E两点,若 PA=PB=5cm,则PDE的周长是_cm.5、如图2，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的P的圆心P的坐标为(3,0)，将P沿x轴正方向平移，使P与y轴相切，则平移的距离为 A1 B1 或 5 C3
8、D5 6、如图，RtABC 中，ABC=90 ，以 AB 为直径作半圆O 交 AC 与点 D，点 E 为 BC 的中点，连接DE（1）求证：DE 是半圆O 的切线（2）若BAC=30 ，DE=2，求 AD 的长 7如图，在ABO 中，OA=OB，C 是边 AB 的中点，以 O 为圆心的圆过点 C（1）求证：AB 与O 相切；（2）若AOB=120 ，AB=4，求O 的面积 NMAOPBAODC(第6题)BAO一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧简单记成一条直线出其它个结论即是直径中任意个条件推出其他个结论例如图在中弦垂直交外圆于点测得则这个车轮的外圆半径为例如图在的正方形网格中一条学
9、习必备 精品知识点 8.如图所示,点 I 是ABC的内心,AI 的延长线交边 BC于点 D,交ABC外接圆于点 E.(1)求证:IE=BE;(2)若 IE=4,AE=8,求 DE的长.9、已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，1），点P是抛物线214yx上的一个动点（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线1y 的相切；（2）设直线PM与抛物线214yx的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：PNMQNM 练习：8、如图，直线 l 与半径为 4 的O 相切于点 A，P 是O 上的一个动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PBl，垂足为 B，连接 PA设PA=x，PB=y，则（xy）
10、的最大值是 2 ICAEDB一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧简单记成一条直线出其它个结论即是直径中任意个条件推出其他个结论例如图在中弦垂直交外圆于点测得则这个车轮的外圆半径为例如图在的正方形网格中一条学习必备 精品知识点 9、已知ABC 内接于O，过点 A 作直线 EF（1）如图 所示，若 AB 为O 的直径，要使 EF 成为O 的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：BAE=90 或者 EAC=ABC （2）如图 所示，如果 AB 是不过圆心 O 的弦，且CAE=B，那么 EF 是O 的切线吗？试证明你的判断 四.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式
11、：180n Rl；（2）扇形面积公式：213602n RSlR n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图：2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h 3、圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr h 4、正多边形的其它性质(1)正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。(2)边数相同的正多边形相似。5、正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半
12、径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正 n 边形的有关计算公式 nnn0003601801802)1(）（每个内角；n0360每个外角 （2）nRan0180sin2边形边长正，nRr0180cos内切圆半径，ann边形周长正(3)nnnRarnSn002180cos180sinPr2121边形面积正 注意：同一个圆的内接正n 边形和外切正 n 边形是相似形，相似比是圆的内接正 n 边形边心距与它的半径之比n0180cos。这样，同一个正 n 边形的内切圆和外接圆的相似比n0180cos 例 1、一个圆锥的侧面展开图是
13、半径为 8cm、圆心角为 120 的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（）A83cm B163cm C3cm D43cm 例 2、已知圆的半径是2 3，则该圆的内接正六边形的面积是（）母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧简单记成一条直线出其它个结论即是直径中任意个条件推出其他个结论例如图在中弦垂直交外圆于点测得则这个车轮的外圆半径为例如图在的正方形网格中一条学习必备 精品知识点（A）3 3 （B）9 3 （C）18 3 （D）36 3 4、如图，O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为 a，半径为 R，边心距为r，则下列关系
14、式错误的是（）A R2r2=a2 Ba=2Rsin36 Ca=2rtan36 Dr=Rcos36 5、如图,O的直径 AB的长为 10，弦 AC的长为 5，ACB的平分线交O于点 D.（1）求弧 BC的长；（2）求弦 BD的长.6.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用 O表示(3
15、)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2 倍，通常用 G表示(4)垂心：是三角形三边高线的交点 例 1、ABC中，AB=AC=10，BC=12，则ABC的外接圆半径是 .外切圆半径为 7.辅助线总结 圆中常见的辅助线 1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等 2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明 3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算 4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角 5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角 6)遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角 7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角 8)欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径 9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点 10)遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点 11)遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线 一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧简单记成一条直线出其它个结论即是直径中任意个条件推出其他个结论例如图在中弦垂直交外圆于点测得则这个车轮的外圆半径为例如图在的正方形网格中一条