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1、学习必备 欢迎下载 第三章 三角形 一认识三角形 1三角形的概念 由不在同一直线上的 三条线段首尾顺次相接所组成的 图形叫做三角形。注意：组成三角形的 三条线段要“不在同一直线上”；如果在同一直线上，三角形就不存在；三条线段“首尾是顺次相接”，是指三条线段两两之间有一个公共端点，这个公共端点就是三角形的 顶点。2、三角形分类 按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。3、关于三角形三条边的关系 根据公理“连结两点的线中，线段最短”可得三角形三边关系的 一个性质定理，即三角形任意两边之和大于第三边。三角形三边关系的 另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边。设三角形三边的 长
2、分别为 a、b、c 则：一般地，对于三角形的 某一条边 a 来说，一定有|b-c|ab+c 成立；反之，只有|b-c|ab+c 成立，a、b、c 三条线段才能构成三角形；特殊地，如果已知线段 a 最大，只要满足 b+ca，那么 a、b、c 三条线段就能构成三角形；如果已知线段 a 最小，只要满足|b-c|a，那么这三条线段就能构成三角形。4、关于三角形的内角和 三角形三个内角的 和为 180 直角三角形的 两个锐角互余；一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；一个三角中至少有两个内角是锐角。5、关于三角形的角平分线、高线和中线 三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；任意一个三
3、角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；任意一个三角形的 三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，如图 1；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条边，如图 2；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的 外部，如图 3。一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。F直角三角形钝角三角形锐角三角形鹏翔教图1ADCEBDBACFEADCB 二、图形的全等 能够完全重合的 图形称为全等形。全等图形的 形状和大小都相同。只是形状相同而大学习必备 欢迎下载 小不同，或者说只是满足面
4、积相同但形状不同的 两个图形都不是全等的 图形。三、全等三角形 1全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。所谓“完全重合”，就是各条边对应相等，各个角也对应相等。因此也可以这样说，各条边对应相等，各个角也对应相等的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。应用：证明两条线段相等和两个角相等。3、三角形全等的条件（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”（2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”（3）两角和它们的夹边对
5、应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”（4）两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”4、直三角形全等的条件（1）斜边和一条直角边对应相等的 两个直角三角形全等。简称为“斜边、直角边”或“HL”。这只对直角三角形成立。（2）直角三角形是三角形中的 一类，它具有一般三角形的 性质，因而也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”来判定。直角三角形的 其他判定方法可以归纳如下：两条直角边对应相等的 两个直角三角形全等；有一个锐角和一条边对应相等的 两个直角三角形全等。三条边对应相等的 两个直角三角形全等。四作三角形 1已知两个角及其夹边，求作
6、三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“ASA”）来作图的。2已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“SAS”）来作图的。3已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“SSS”）来作图的。五、利用三角形的全等测距离，即三角形全等的应用 第三章三角形经典练习 一.选择题：1.下列四种图形中，一定是轴对称图形的有（）等腰三角形 等边三角形 直角三角形 等腰直角三角形 A.1 种 B.2种 C.3种 D.4种 2.到三角形三边距离都相等的点是三角形（）的交点 A.三边中垂线 B.三条中线 C.三条高 D.三条内角平分线 3.到三角形三个顶点距离都相等的
7、点是三角形（）的交点 A.三边中垂线 B.三条中线 C.三条高 D.三条内角平分线 4.如图，OP平分,MON PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若次相接是指三条线段两两之间有一个公共端点这个公共端点就是三角形系的一个性质定理即三角形任意两边之和大于第三边三角形三边关系的殊地如果已知线段最大只要满足那三条线段就能构成三角形如果已知线学习必备 欢迎下载 2PA，则PQ的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，已知12，则不一定能使ABDACD的条件是（）AABAC BBDCD CBC D BDACDA 6、如图下列条件中，不能证明ABDACD的是（）.A.BD=DC，AB
8、=AC B.ADB=ADC C.B=C，BAD=CAD D.B=C，BD=DC 第 6 题图 7 下列命题中，真命题是（）(A)周长相等的锐角三角形都全等；(B)周长相等的直角三角形都全等；(C)周长相等的钝角三角形都全等；(D)周长相等的等腰直角三角形都全等 8 如图所示，90EF ，BC ，AEAF，结论：EMFN；CDDN；FANEAM；ACNABM其中正确的有（第 4 题）AONMQP次相接是指三条线段两两之间有一个公共端点这个公共端点就是三角形系的一个性质定理即三角形任意两边之和大于第三边三角形三边关系的殊地如果已知线段最大只要满足那三条线段就能构成三角形如果已知线学习必备 欢迎下载
9、 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9.如图 2 所示，在ABCRt中，90A,BD平分ABC，交AC于点D,且5,4 BDAB,则点D到BC的距离是：（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 10如图，给出下列四组条件：ABDEBCEFACDF，；ABDEBEBCEF ，；BEBCEFCF ，；ABDEACDFBE ，其中，能使ABCDEF的条件共有（）A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 11.如图，DE，分别为ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处若48CDE，则APD等于（）A42 B48 C 52 D58 次相接是指三条线段两两之间有一个公
10、共端点这个公共端点就是三角形系的一个性质定理即三角形任意两边之和大于第三边三角形三边关系的殊地如果已知线段最大只要满足那三条线段就能构成三角形如果已知线学习必备 欢迎下载 12、如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得15OA米，10OB米，A、B间的距离不可能是 （）A5 米 B10 米 C 15 米 D20 米 13、下列命题中，错误的是（）A三角形两边之和大于第三边 B三角形的外角和等于 360 C三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分 D等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 14、如图，在RtABC中，90 B，ED是AC的垂直平分线，交AC
11、于点D，交BC于点E已知10 BAE，则C的度数为（）A30 B40 C50 D60 15、如图，ACAD，BCBD，则有（）AAB垂直平分CD BCD垂直平分AB CAB与CD互相垂直平分 DCD平分ACB ABCD 16、如图，将 RtABC(其中B 340，C900）绕 A点按顺时针方向旋转到AB1 C1的位置，使得点 C、A、B1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）A.560 B.680 C.1240 D.1800 340 B1 C B A C1 A D C E B 次相接是指三条线段两两之间有一个公共端点这个公共端点就是三角形系的一个性质定理即三角形任意两边之和大于第三边三角形三
12、边关系的殊地如果已知线段最大只要满足那三条线段就能构成三角形如果已知线学习必备 欢迎下载 17、如图，ACBAC B，BCB=30，则ACA的度数为（）A20 B30 C35 D40 18、尺规作图作AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得OCPODP的根据是（）ASAS B ASA C AAS DSSS 19、如图，为估计池塘岸边AB、的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得15OA 米，OB=10 米，AB、间的距离不可能是（）A20 米 B15 米 C10 米 D5 米
13、 20、如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（）APAPB B PO平分APB COAOB D AB垂直平分OP 二.填空题：1.我国国旗上的每一个五角星的对称轴有 条 2.在ABC中，边 AB、AC的垂直平分线相交于点 P，则 PA、PB、PC的大小关系为 O B A P O A B O D P C A B C A B B A 次相接是指三条线段两两之间有一个公共端点这个公共端点就是三角形系的一个性质定理即三角形任意两边之和大于第三边三角形三边关系的殊地如果已知线段最大只要满足那三条线段就能构成三角形如果已知线学习必备 欢迎下载 3.如图，在AB
14、C中，DE是 AC的垂直平分线，AE=3，ABD的周长为 13，那么ABC的周长为 4.两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在 5.线段是 图形，它的对称轴是 6、已知ABC中，AB=BCAC，作与ABC 只有一条公共边，且与ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个.7.（2009 年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角形中白色三角形有 个 三.解答题：1.如图，点 E是 RtABC的斜边 AB的中点，EDAB，且CAD:BAD=5:2，则 BAC的度数是多少？2.如图，AB=AC，AB的垂直平分线 DE交 BC延长线于 E
15、，交 AC于 F，A=50，AB+BC=6，则（1）BCF的周长为多少？（2）E的度数为多少？3.已知：如图，ABC=DCB，BD、CA分别是ABC、DCB的平分线求证：AB=DC 第1个第2个第3个次相接是指三条线段两两之间有一个公共端点这个公共端点就是三角形系的一个性质定理即三角形任意两边之和大于第三边三角形三边关系的殊地如果已知线段最大只要满足那三条线段就能构成三角形如果已知线学习必备 欢迎下载 4、如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且ABDE，AD，AFDC求证：BCEF 5、两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠
16、部分，点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分AOF与DOC是否全等？为什么？6.在ABC中,AB=CB,ABC=90,F 为 AB延长线上一点,点 E在 BC上,且 AE=CF.(1)求证:RtABERtCBF;(2)若CAE=30,求ACF 度数.7.如图 6,ABBD于点B,EDBD于点D,AE交BD于点C,且BCDC.求证ABED.A B C E F 第 6 题图 次相接是指三条线段两两之间有一个公共端点这个公共端点就是三角形系的一个性质定理即三角形任意两边之和大于第三边三角形三边关系的殊地如果已知线段最大只要满足那三条线段就能构成三角形如果已知线学习必备 欢迎下载 8如图，在 RtA
17、BC中，BAC=90，AC=2AB，点 D是 AC的中点，将一块锐角为 45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与 A、D重合，连结 BE、EC 试猜想线段 BE和 EC的数量及位置关系，并证明你的猜想 9.如图，D，E，分 别 是 AB，AC 上 的 点，且AB=AC，AD=AE求证B=C 10.如图，在ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F求证：BE=CF 11如图，在ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE.请你添加一个条件，使BDECDF(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字
18、母)，并给出证明（1）你添加的条件是：；（2）证明：12如图，分别过点C、B作ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分 A B C D E A图 6 BCDEA C B D F E(第 11 题次相接是指三条线段两两之间有一个公共端点这个公共端点就是三角形系的一个性质定理即三角形任意两边之和大于第三边三角形三边关系的殊地如果已知线段最大只要满足那三条线段就能构成三角形如果已知线学习必备 欢迎下载 别为E、F求证：BF=CE 13 如图，B，F，C，E在同一条直线上，点 A，D在直线 BE的两侧，ABDE，ACDF，BF=CE 求证：AC=DF 14已知：如图，点 C是线段 AB的中点
19、，CE=CD，ACD=BCE,求证：AE=BD 题 20 图 15已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EAAD，FDAD，AE=DF，AB=DC 求证：ACE=DBF 16如图，点A、E、B、D在同一条直线上，AE DB，AC DF，ACDF.请探索BC与EF有怎样的位置关系？并说明理由 ABCDEF次相接是指三条线段两两之间有一个公共端点这个公共端点就是三角形系的一个性质定理即三角形任意两边之和大于第三边三角形三边关系的殊地如果已知线段最大只要满足那三条线段就能构成三角形如果已知线学习必备 欢迎下载 17如图，点B、D、C、F在一条直线上，且 BC=FD，AB=EF.（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使ABCEFD，你添加的条件是 ；（2）添加了条件后，证明ABCEFD.18如图 4，已知ACDF，且BE=CF.（1）请你只添加一个条件，使ABCDEF，你添加的条件是 ；（2）添加条件后，证明ABCDEF.19已知：点B、E、C、F在同一直线上，AB DE，AD，AC DF 求证：ABC DEF；BE CF F A B C D E 次相接是指三条线段两两之间有一个公共端点这个公共端点就是三角形系的一个性质定理即三角形任意两边之和大于第三边三角形三边关系的殊地如果已知线段最大只要满足那三条线段就能构成三角形如果已知线