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1、优秀学习资料 欢迎下载 圆章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于
2、这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 dr 点C在圆内；2、点在圆上 dr 点B在圆上；3、点在圆外 dr 点A在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 dr 无交点；rddCBAO优秀学习资料 欢迎下载 2、直线与圆相切 dr 有一个交点；3、直线与圆相交 dr 有两个交点；drd=rrd 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1）无交点 dRr；外切（图 2）有一个交点 dRr；相交（图 3）有两个交点 RrdRr ；内切（图 4）有一个交点 dRr；内含（图 5）无交点 dRr；图1rRd 图3rRd 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平
3、分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；图2rRd图4rRd图5rRd轨迹形式的概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心线到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离圆上点在圆上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无优秀学习资料 欢迎下载 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：AB是直径 ABCD
4、 CEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD 弧AC弧BD 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：AOBDOE；ABDE；OCOF；弧BA弧BD 七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 2AOBACB OEDCBAOCDABFEDCBAOCBAO轨迹形式的
5、概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心线到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离圆上点在圆上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无优秀学习资料 欢迎下载 2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角 CD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O中，AB是直径 或90C 90C AB是直径 推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，OCOAOB ABC是直角三
6、角形或90C 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形ABCD是内接四边形 DCBAOCBAOCBAOEDCBA轨迹形式的概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心线到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离圆上点在圆上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无优秀学习资料 欢迎下载 180CBAD 180BD DAEC 九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条
7、件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PAPB PO平分BPA NMAOPBAO轨迹形式的概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心线到直线的距离相等的点的轨迹是平
8、行于这条直线且到这条直线的距离圆上点在圆上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无优秀学习资料 欢迎下载 十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PA PBPC PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD，2CEAE BE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线 2PAPC PB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长
9、的积相等（如上图）。即：在O中，PB、PE是割线 PC PBPD PE 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的PODCBAOEDCBADECBPAOBAO1O2轨迹形式的概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心线到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离圆上点在圆上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无优秀学习资料 欢迎下载 的公共弦。如图：12O O垂直平分AB。即：1O、2O相交于A、B两点 12O O垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt O O C中，22221122A
10、BCOO OCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在O中ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：:1:3:2OD BD OB；（2）正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，:1:1:2OE AE OA：（3）正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，:1:3:2AB OB OA.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 CO2O1BADCBAOECBADOBAOSlBAO轨迹形式的概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心线到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距
11、离圆上点在圆上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无优秀学习资料 欢迎下载 1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl；（2）扇形面积公式：213602n RSlR n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图 2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h （2）圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr h 圆的检测试题(基础卷)精心选一选（每小题 3 分，共 30 分）1下列三个命题：圆既是轴对称图形又是中心对称图形；垂直于弦的直径平分弦；相等的圆心角所对的弧相等其中真命题的是（）A.B.
12、C.D.2O的半径为 4，圆心 O到直线l的距离为 3，则直线l与O的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 3 O中，AOB 84，则弦 AB所对的圆周角的度数为（）A.42 B.138 C.69 D.42或 138 4如图 1，O的直径 CD垂直于弦 EF，垂足为 G，若EOD=40,则DCF等于（）A.80 B.50 C.40 D.20 5已知两圆的半径是方程01272 xx两实数根，圆心距为 8，那么这两个圆的位置关系是（）母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO轨迹形式的概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心线到直线的距离相等的点的轨迹是平行于
13、这条直线且到这条直线的距离圆上点在圆上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无优秀学习资料 欢迎下载 A.内切 B.相交 C.外离 D.外切 6已知圆上的一段弧长为 5cm，它所对的圆心角为 100,则该圆的半径为()A.6 B.9 C.12 D.18 7两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为 9 和 5，如果P与这两个圆都相切，则P 的半径为()A.2 B.7 C.2或 7 D.2或 4.5 8如图 2，AB与O切于点B，AO6，AB4，则O的半径为（）A、45 B、25 C、213 D、13 9如图 3，已知0 的直径 AB与弦 AC的夹角为 35，过 C点的切线 PC与 AB的延
14、长线交于点 P，则么P等于（）A150 B200 C250 D300 10如图 4，ABC内接于O，C=45，AB=4，则O半径为（）A、22 B、4 C、32 D、5 图 1 图 2 图 3 图 4 二、耐心填一填（每小题 4 分，共 24 分）11过O内一点 M的最长弦为 10cm，最短弦为 8cm，则 OM=cm.12RtABC中，C90，AC=5,BC=12,则ABC的内切圆半径为 13已知正 n 边形的一个外角与一个内角之比为 13，则 n 等于 14某校九（3）班在圣诞节前，为圣诞晚会制作一个圆锥形圣诞老人的纸帽，已知圆锥的母线长为 30cm，底面直径为 20cm，则这个纸帽的表面
15、积为 15如图 5，O是ABC内切圆，切点为 D、E、F，A=100，C=30，则DFE度数是 16如图 6，O中，直径为 MN，正方形 ABCD 四个顶点分别在半径 OM、OP以及O上，并且POM=45，若 AB1，则该圆的半径为 图 5 图 6 三、思维大比拼（17 题 6 分，22、24 题各 10 分，18、19、20、21、23 题各 8 分，共 66 分）17 如图 7，在ABC中，ACB 90，B36，以 C为圆心，CA为半径的圆交 AB于点 D,交 BC于点 E.求 、的度数 AD DE 轨迹形式的概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心线到直线的距离相等的点的轨迹
16、是平行于这条直线且到这条直线的距离圆上点在圆上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无优秀学习资料 欢迎下载 18已知：如图 8，ABC中，ACBC，以BC为直径的O交AB于点D，过点D作DEAC于点E，交BC的延长线于点F（8 分）求证：（1）ADBD；（2）DF是O的切线 19如图，ABC内接于0，且ABC C，点 D在弧 BC上运动过点 D作 DEBC DE交直线 AB于点 E，连结 BD (1)求证：ADB=E；(2)求证：AD2=AC AE；(3)当点 D运动到什么位置时，DBEADE 请你利用图进行探索和证明 图 图 2 20如图 10，P是O外的一点，PA、PB分别与O
17、相切于点 A、B，C是 上的任意一点，过点 C的切线分别交 PA、PB于点 D、E.(1)若 PA=4,求PED的周长；(2)若P=40,求DOE的度数 22 如图，ABC内接于0，且ABCC，点D在弧 BC上运动过点 D作 DEBC DE交直线 AB于点 E，连结 BD (1)求证：ADB=E；(2)求证：AD2=AC AE；(3)当点 D运动到什么位置时，DBEADE 请你利用图进行探索和证明 图 图 FEDCBAOAB 轨迹形式的概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心线到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离圆上点在圆上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关
18、系直线与圆相离无优秀学习资料 欢迎下载 24如图 12，在直角梯形 ABCD 中，AD BC，B=90，AB=8，AD=24，BC=26，AB为O的直径。动点 P 从 A点开始沿 AD边向点 D以 1 cm/s 的速度运动，动点 Q从点 C开始沿 CB边向点 B以 3cm/s 的速度运动，P、Q 两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t s,求：（1）t 分别为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形、等腰梯形？（2）t 分别为何值时，直线 PQ与O相交、相切、相离？轨迹形式的概念圆到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心线到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离圆上点在圆上点在圆外点在圆外三直线与圆的位置关系直线与圆相离无