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1、名师总结 优秀知识点 学易佳教育中心 八年级上册 第五章 二元一次方程组 基础知识 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。4 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。5、二元一次方程组的解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法 6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：（1）一次函数与二元一次方程的关系：直线 y=kx+
2、b 上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程 kx-y+b=0 的解（2）一次函数与二元一次方程组的关系：二元一次方程组 的解可看作两个一次函数 和 的图象的交点。当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。222111cybxacybxa11111bcxbay22122bcxbay名师总结 优秀知识点【基础训练】1、下列方程是二元一次方程的有：_（只填序号）093 yx 012232 yx 202yx 113yx 3A-4B=70 x2+10=0 2、甲种物品每个 4kg，乙种物品每个 7kg。现有甲种物品 x 个，乙种
3、物品 y 个，共 76kg.(1)列出关于 x,y 的二元一次方程组_ (2)若 x=12,则 y=_ (3)若有乙种物品 8 个，则甲种物品有_个。3、小明从邮局买了面值 50 分和 80 分的邮票共 9 枚，花了 6.3 元，小明买了 50 分邮票x枚，买了 80 分邮票y枚，则根据题意可列方程组：_ 4、下列四组数值中，哪些是二元一次方程102yx的解_（1）;6,2yx （2）;4,3yx （3）;3,4yx （4）.2,6yx 5、二元一次方程组xyyx2,102的解是（）（A）;3,4yx （B）;6,3yx （C）;4,2yx （D）.2,4yx 6、用代入消元法解下列方程组：1
4、、435,22xyxy 2、103717,831xxy 的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函名师总结 优秀知识点 7、用加减消元法解下列方程组：1、31351434yxyx 2、156356yxyx 3、547965yxyx 4、)5(3)1(55)1(3xyyx 【巩固提高】一、填空题：1已知是关于x,y的二元一次方程，则m 2.如果是一个二元一次方程，那么数=，=.3.如果是同类项，那么=，=.11331yxm1032162312babayx
5、abbaabyxyx4222542与ab的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函名师总结 优秀知识点 4.请写出方程 x+2y=7 的一个正整数解是 .5.中，若则_.6.由_，_.7.如果那么_.8已知二元一次方程当时，y 9是二元一次方程 2xby2 的一个解，则b的值等于 10已知和都是axby7 的解，则a ，b 11已知，则xy 12若方程组的解是，则 13某年级有学生 246 人，其中男生比女生人数的 2 倍少 3 人，问男女学生各多少人
6、，设女生人数为x人，男生人数为y人，可列方程组为 14.购面值各为 20 分，30 分的邮票共 27 枚，用款 6.6 元。购 20 分邮票_枚，30 分邮票_枚.15.如果是关于的一元一次方程，那么=.16.小红有 5 分和 2 分的硬币共 20 枚，共 6 角 7 分，设 5 分硬币有枚，2 分硬币有 枚，则可 列方程组为 二、选择题：1已知是方程的一个解，那么的值是（）A1 B3 C3 D1 2已知代数式与是同类项，那么的值分别是（）21173 xy,213xyyyxyx得表示用,06911xxy得表示,.232,12yxyx3962242yxyx,32yx21x21xy 31xy211
7、xy 0132)2(2yxyx620byxyax21yx_22 ba63)2(1|axaxaa12xy11yx32 ayxa133mxy52nm nx ymn、的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函名师总结 优秀知识点 A B C D 3方程kx3y5 有一组解，则k的值是（）A1 B C0 D2 4方程组的解是（）A B C D 5如图，点O在直线AB上，OC为射线，1 比2 的 3 倍少 10，设1，2 的度数分别为,那么下列求出这两个角的度数
8、的方程是（）Axy180 xy10 Bxy180 x3y10 Cxy180 xy10 D3y180 x3y10 6若关于，的方程组的解是，则为（）A1 B3 C5 D2 7已知x2y1与x3y3是关于二元一次方程ykxb的解，则k,b的值分别是（）Ak1,b2 Bk2,b3 Ck0,b1 Dk1,b2 8关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程 2x3y6 的解，则k的值是（）A B C D 9如图，宽为 50 cm的矩形图案由 10 个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（）A400 cm2 B500 cm2 C600 cm2 D4000 cm2 10.三元一次方程组的解是（）
9、.21mn 21mn 21mn21mn 21xy13xyxy 21xy12xy 32xy12xyxyxynmyxmyx212yxnm59xykxyk 34k 34k 43k 43k 651xzzyyx第5题图21OCBA50cm第9题图的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函名师总结 优秀知识点 A B C D 11某蔬菜公司收购到某种蔬菜 140 吨，准备加工上市销售该公司的加工能力是：每天可以精加工 6 吨或粗加工 16 吨现计划用 15 天完成
10、加 工任务，该公司应按排几天精加工，几天粗加工？设安排天精加工，天粗加工为解决这个问题，所列方程组正确的是（）A B C 三、解答题(解答应写出文字说明、演算步骤)1解方程组：(1)(2)2 解方程组：；(4)501zyx421zyx401zyx014zyxxy14016615x yxy 14061615x yxy1516 6140 x yxy 15616140 x yxy 54032yxyx2y114x2y52x25302510 xyxy 35210 xyxy 422325xyxy672953yxyx的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函
11、数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函名师总结 优秀知识点 3.解方程组（1）（2）ayxay644112x5 （3）(4)的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函名师总结 优秀知识点 （5）(6)(7)4已知方程组的解为，求的值 2,4byaxbyax1,2yxba32 的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数
12、的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函名师总结 优秀知识点 应用问题 行程问题：（1）追击问题：速度差时间=路程差 （2）相遇问题：速度和时间=路程 例 1、甲、乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小时 20 分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？练习：甲、乙两人相距 36 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小时后相遇；的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法
13、代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函名师总结 优秀知识点 如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？数字问题：两位数=十位数字10+个位数字 例 2、两个两位数的和是 68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大 2178，求这两个两位数。练习：一个两位数，减去它的各位数字之和的 3 倍，结果是 23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是 1，这个两
14、位数是多少？的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函名师总结 优秀知识点 工程问题：工作效率工作时间=工作量.例 3：一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共 3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可完成，需付两组费用共 3480 元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需 12 天完成，乙组单独做需 24 天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？练习：小
15、明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函名师总结 优秀知识点 商品销售利润问题：标价成本(进价)(1利润率)；实际售价标价打折率；(1)利润实际售价成本(进价)；(2)；(3)利润成本（进价）利润率
16、；例 4：3有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为 5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利 46 元。价格调整后，甲商品的利润率为 4%，乙商品的利润率为 5%，共可获利 44 元，则两件商品的进价分别是多少元？练习：（2011 湖南衡阳）李大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 18000 元，其中甲种蔬菜每亩获利 2000 元，乙种蔬菜每亩获利 1500 元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当
17、函名师总结 优秀知识点 储蓄问题：利息本金利率期数 （利率问题）本息和本金利息本金本金利率期数本金(1利率期数)利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。例 5：小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱，一种是年利率为 2.25 的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25 的一年定期存款，一年后可取出 2042.75 元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20%，教育储蓄没有利息所得税）练习：李明以两种形式分别储蓄了 2000 元和 1000 元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息 43.92元.已知两种储蓄年利率的和为 3.24%，问这两
18、种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额20%）的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函名师总结 优秀知识点 配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。例 6：某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5 只.现计划用 132 米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？练习：某工厂有工人 60 人
19、，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓 14 个或螺母20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量(1增长率)增长后的量；的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函名师总结 优秀知识点 原量(1减少率)减少后的量.例 7：某工厂去年的利润（总产值总支出）为 200 万元，今年总产值比去年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780
20、 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？练习：某城市现有人口 42 万，估计一年后城镇人口增加 0.8%，农村人口增加 1.1%，这样全市人口增加 1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。综合问题 1小波买了 10 支钢笔和 15 本笔记本，共花费 95 元已知每支钢笔比每本笔记本贵 2 元，那么钢笔和笔记本的单价各是多少元？的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函名师总结 优秀知识点 2一个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是 9把它的十位数字与个
21、位数字对调，得到了一个新的两位数，这个新的两位数恰好也比原来的两位数大 9求原来的两位数。3某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅经过测试：同时开放 1 个大餐厅、2 个小餐厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐求 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐 4教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由 4 支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格 的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含
22、有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函名师总结 优秀知识点 5.（2011 济南，24，8 分)某小学在 6 月 1 日组织师生共 110 人到趵突泉公园游览趵突泉公园规定：成人票价每位 40 元，学生票价每位 20 元该校购票共花费 2400 元在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？6济南市某玻璃制品销售公司今年 1 月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额销售的件数）下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：职
23、工 甲 乙 月销售件数（件）200 180 月工资（元）1800 1700（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？（2）若职工丙今年六月份的工资不低于 2000 元，那么丙该月至少应销售多少件产品？的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函名师总结 优秀知识点 7(2013 济南，24，8 分)某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共 50 间，大宿舍每间可住 8 人，小宿舍每间可住 6 人该校 360 名住宿生恰好住满 50 间宿舍求大、小宿舍各有多少间？8(2014 山东济南，24，8 分)2014 年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共 10 张，总价为 5800 元其中小组赛球票每张 550 元，淘汰赛球票每张 700 元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？的值叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程组含有两个未知数的解法代入消元法加减消元法一次函数与二元一次方程组的关系一次函数的图象的交点当函数图象有交点时说明相应的二元一次方程组有解当函