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1、学习必备 精品知识点 分式方程知识点归纳 1.分式的定义：如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。1)分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。2)分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。3)分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。用式子表示 其中 A、B、C 为整式（0C）注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。（2）应用基本性质时，要注意 C 0，以及隐含的 B 0。（3
2、）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 1)分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。2)最简分式：分子与分母没有公因式的分式 3)分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。4)最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。4.分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为
3、注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。5.条件分式求值 1）整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。CBCABACBCABA学习必备 精品知识点 例：已知 ，则求 2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。例：若 ，则求 6.分式的运算：1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。3）分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。4）分式乘方、
4、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算 5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减,abab acadbcadbccccbdbdbdbd 7.整数指数幂.1）任何一个不等于零的数的零次幂等于 1，即)0(10 aa；2）任何一个不等于零的数的-n次幂（n 为正整数），等于这个数的 n 次幂的倒数，即 nnaa1 （)0a 注：分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂。即 3）科学计数法：把一个数表示为 a 10n(1 a10,n 为整数)的形式，称为科学计数法。
5、注：（1）绝对值大于 1 的数可以表示为 a 10n 的形式，n 为正整数；（2）绝对值小于 1 的数可以表示为 a 10-n的形式，n 为正整数.（3）表示绝对值大于 10 的 n 位整数时，其中 10 的指数是1n bcadcdbadcbabdacdcba;nnnbaba)(nnbaab)()(411babbababaa7223432cbacbacba523中的代数式值不能为零分条件子子且母大数小只且改变形小应用基小本性质时要注意以及隐含都义利约去与公式因?本?不?件?本式值不?能?学习必备 精品知识点（4）表示绝对值小于 1 的正小数时,其中 10 的指数是第一个非 0 数字前面 0 的
6、个数(包括小数点前面的一个 0)4)正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：nmnmaaa；（2）幂的乘方：mnnmaa)(;（3）积的乘方：nnnbaab)(；（4）同底数的幂的除法：nmnmaaa(a 0)；（5）商的乘方：nnnbaba)()；(b 0)8.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。1)增根：分式方程的增根必须满足两个条件：（1）增根是最简公分母为 0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。2）分式方程的解法：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根 注：解分式方
7、程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。3）烈分式方程解实际问题 （1）步骤：审题设未知数列方程解方程检验写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。（2）应用题基本类型；a.行程问题：基本公式：路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题 b.数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法 c.工程问题 基本公式：工作量=工时工效 D.顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水 v逆水=v
8、静水-v水 一、植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:如果在非封闭线路的两端都要植树,那:株数段数1全长株距 1 中的代数式值不能为零分条件子子且母大数小只且改变形小应用基小本性质时要注意以及隐含都义利约去与公式因?本?不?件?本式值不?能?学习必备 精品知识点 全长株距(株数1)株距全长(株数1)如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那就这样:株数段数全长株距 全长株距株数 株距全长株数 如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:株数段数1全长株距 1 全长株距(株数1)株距全长(株数1)2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下：株数段数全长株距 全长株距株数 株距
9、全长株数 二、盈亏问题 (盈亏)两次分配量之差参加分配的份数 (大盈小盈)两次分配量之差参加分配的份数 (大亏小亏)两次分配量之差参加分配的份数 三、相遇问题 相遇路程速度和相遇时间 相遇时间相遇路程速度和 速度和相遇路程相遇时间 中的代数式值不能为零分条件子子且母大数小只且改变形小应用基小本性质时要注意以及隐含都义利约去与公式因?本?不?件?本式值不?能?学习必备 精品知识点 四、追及问题 追及距离速度差追及时间 追及时间追及距离速度差 速度差追及距离追及时间 五、流水问题 顺流速度静水速度水流速度 逆流速度静水速度水流速度 静水速度(顺流速度逆流速度)2 水流速度(顺流速度逆流速度)2 六、浓度问题 溶质的重量溶剂的重量溶液的重量 溶质的重量溶液的重量100%浓度 溶液的重量浓度溶质的重量 溶质的重量浓度溶液的重量 七、利润与折扣问题 利润售出价成本 利润率利润成本100%(售出价成本 1)100%涨跌金额本金涨跌百分比 折扣实际售价原售价100%(折扣1)利息本金利率时间 税后利息本金利率时间(1X%)中的代数式值不能为零分条件子子且母大数小只且改变形小应用基小本性质时要注意以及隐含都义利约去与公式因?本?不?件?本式值不?能?