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1、学习必备 欢迎下载 第一单元 分数乘法 （一）、分数乘法的计算法则：1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分）2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。（二）、规律：（乘法中比较大小时）一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。一个数（0 除外）乘小于 1 的数（0 除外），积小于这个数。一个数（0 除外）乘 1，积等于这个数。（三）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。（四）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数
2、乘法也同样适用。乘法交换律：a b =b a 乘法结合律：(a b)c =a (b c)乘法分配律：（a+b）c =a c+b c a c+b c=（a+b）c 二、分数乘法的解决问题（如果单位 1 是已知的,要求它的几分之几，就用乘法）1、找单位“1”：在分率句中分率的前面；或 “占”、“是”、“比”的后面 2、求一个数的几倍：一个数几倍；求一个数的几分之几是多少：一个数几分之几。3、写数量关系式技巧：（1）“的”相当于“”“占”、“是”、“比”相当于“=”（2）分率前是“的”：单位“1”的量分率=分率对应量（3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量（1+-分率）=分率对应量 第二单元
3、位置与方向 1 位置是相对的，要指出一个物体的位置，必须以另一个物体为参照物。以谁为参照物，就以谁为观测点。2 东偏北 30。也可说成北偏东 60。，但在生活中一般先说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。3 确定一个物体的准确位置，只知道方向或距离是不可以的，要同时知道这两个条件才行。4 根据方向和距离确定物体位置的方法：（1）确定好方向并用量角器测量出被测物体所在的方向（角度）；（2）用直尺测量出被测物体和观测点之间的图上距离，结合单位长度计算出实际距离；（3）根据方向（角度）和距离准确判断或描述被测物体的位置。5 要标出物体的位置必须先确定方向，再确定在这一方向上的距离。6 绘制平面
4、图时，要根据实际距离确定好单位长度，即 代表多长距离。7 在平面图上标出物体位置的方法：先确定方向，再以选定的单位长度为基准来确定距离，最后找出物体的具体位置，标上名称。8 描述物体的位置与观测点有关，观测点不同，物体位置的描述就不同。两地的位置具有相对性，方向相反（其夹角度数不变），距离相同。9 两地的位置关系具有相对性，以这；两个不同地点为观测点描述对方所在的方向时，方向正好相反（甲在乙东偏南 30100 米，则乙在甲西偏北 30100 米）10 描述路线图时，要先按行走路线确定每一个观测点，然后以每一个观测点为参照物，再描述到下一个目标所行走的方向和路程。11 在平面图上确定物体的位置与
5、方向关键要做到三点：（1）确定好观测点及单位长度；（2）找准方向；学习必备 欢迎下载（3）线段上每一段的长度要与单位长度统一。12 以谁为观测点就以谁为中心画出方向标，然后判断出另一点所在的方向和距离 13 绘制路线图的步骤 画出北，确定方向标和单位长度比例尺()确定起点的位置。根据描述，从起点出发，找好方向和距离，一段一段地画。画每一段都要以每一段新的起点为观测点 以谁为观测点，就以谁为中心画出“十字”方向标，然后判断下一点的方向和距离。标出数据、名称、角度。(绘制的路线图只有一条线，所作的线是首尾相连的)第三单元 分数除法 1、倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数。强调：互为倒数，即倒
6、数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。（要说清谁是谁的倒数）。2、求倒数的方法：（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是 1 的分数，再交换分子分母的位置。（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。（4）、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。3、1 的倒数是 1；0 没有倒数。因为 11=1；0 乘任何数都得 0，（分母不能为 0）4、对于任意数 a(a0)，它的倒数为1a。非零整数 a 的倒数为1a。分数ba 的倒数是ab 5、真分数的倒数大于 1；假分数的倒数小于或等于 1；带分数的倒数小于 1。一、分数除法 1、分数除法
7、的意义：分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。2、分数除法的计算法则：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。3、规律（分数除法比较大小时）：当除数大于 1，商小于被除数；当 除数小 于 1（不等于 ），商大于 被除数；当除数等于 1，商等于被除数。4、“”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。二、分数除法解决问题（已知单位“1”的几分之几是多少，单位“1”的量是要求的问题。就用除法）1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”：单位“1”的量分率=分率对应量（2）分
8、率前是“多或少”的意思：单位“1”的量（1+-分率）=分率对应量 2、解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：根据数量关系式设未知量为，用方程解答。（2）算术（用除法）：分率对应量对应分率=单位“1”的量 3、求一个数是另一个数的几分之几：就 一个数另一个数 4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：求多几分之几：大数小数 1 求少几分之几：1-小数大数 或求多几分之几(大数-小数)比后面的数 求少几分之几(大数-小数)比后面的数 求的不是单位“1”单位“1”的量对应分率 单位“1”的量对应分率 求的是单位“1”分率对应量 对应分率 分率对应量 对应分率 注意当带分数进行乘法计算时要先把带分数
9、化成假分数再进行计算二规数的运算顺序相同四整数乘法的交换律结合律和分配律对于分数乘法也求一个数的几倍一个数几倍求一个数的几分之几是多少一个数几分之几学习必备 欢迎下载 第四单元 比和比的应用 （一）、比的意义 1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如 15：10=1510=（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）前项 比号 后项 比值 3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：路程速度=时间。4、区分比和比值 比：表示两个数的关系
10、，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。6、比和除法、分数的联系：联 系 （相当于）不同点 三个性质 比 前项 比号：后项（不为 0）比值 一种关系 比的基本性质 除法 被除数 除号 除数（不为 0）商 一种运算 商不变性质 分数 分子 分数线 分母（不为 0）分数值 一个数量 分数的基本性质 7、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为 0。体育比赛中出现两队的分是 2：0 等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。（二）、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系
11、：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0 除外），分数值不变。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变。2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。4.化简比：化简比和求比值的区别 化简比和求比值是两种不同的运算，它们的区别主要表现在以下三点：意义不同 运算方法不同 结果不同 求比值 求比值就是用比的前项除以比的后项 求比值是前项除以比的后项 求比值的结果是一个数 化简比 化简比把两个数的比化成
12、最简整数比 化简 b 比是根据比的基本性质运算 化简比的结果是一个比（4）、方法 总结归纳：整数比的化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。小数比的化简方法：先把比的前项和后项同时向右移动相同的位数，变成整数比，再进行化简。.分数比的化简方法：A、把比的前项和后项中含有分数的，把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。.B、利用求比值的方法也可以化简分数比，但结果必须写成比的形式。6、路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是 4：5，时间比则为 5：4）注意当带分数进行乘法计算时要先把带分数化成假分数再进行计算二规数的运算顺序相同四整数乘法
13、的交换律结合律和分配律对于分数乘法也求一个数的几倍一个数几倍求一个数的几分之几是多少一个数几分之几学习必备 欢迎下载 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。（如：工作总量相同，工作时间比是 3：2，工作效率比则是 2：3）第五单元 圆 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d 表示。直径是
14、一个圆内最长的线段。5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。7在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的12 用字母表示为：d2r 或 r 12 d 8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。10、只有 1 一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有 2 条对称轴的图形是：长方形
15、只有 3 条对称轴的图形是：等边三角形 只有 4 条对称轴的图形是：正方形;有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 C 表示。2、圆周率实验：在圆形纸片上做个记号，与直尺 0 刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（）。3圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母（pai）表示。（1）、一个圆的周长总是它直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，一般取 3.14。（2）、在判断时，圆周长与它直径的比
16、值是倍，而不是 3.14 倍。（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。4、圆的周长公式：C=d 或 C=2r d=C r=C2 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。6、区分周长的一半和半圆的周长：（1）周长的一半：等于圆的周长2 计算方法：2r 2 即 r （2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：r2r 三、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母 S 表示。2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。注意当带分数进行乘法计
17、算时要先把带分数化成假分数再进行计算二规数的运算顺序相同四整数乘法的交换律结合律和分配律对于分数乘法也求一个数的几倍一个数几倍求一个数的几分之几是多少一个数几分之几学习必备 欢迎下载 3、圆面积公式的推导：（1）、用逐渐逼近的转化思想：体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。圆的半径=长方形的宽 圆的周长的一半=长方形的长 因为：长方形面积=长 宽 所以：圆的面积=圆周长的一半 圆的半径 S圆=r r 圆的面积公式:S圆=r 4、环形的面积：一个
18、环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r。（Rr环的宽度）S环=R 或 S环 =（R ）5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如：在同一个圆里，半径扩大 3 倍，那么直径和周长就都扩大 3 倍，而面积扩大 9 倍。6、两个圆：半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。例如：两个圆的半径比是 23，那么这两个圆的直径比和周长比都是 23，而面积比是 49 7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4 8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的
19、周长最长，正方形居中，圆周长最短。三、圆的面积 1、在硬纸上画一个圆，把圆分成若干(偶数)等份,解开后用这些近似于等腰三角形的小纸片拼一拼，分得分数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近一个长方形。这个长方形的长近似于 1/2C，宽近似于 r。因为长方形的面积等于长 宽，所以圆的面积等于1/2C r=r2。如果用 S 表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是：=r2 2、C半圆=r+2r 3、环形=（R2-r2）4、部分环形=（R2-r2）/360（表示圆心角度数）、S 扇形=r2/360（表示圆心角度数）、外方内圆：S 圆:S 正方形=157:200 S 正方形=4 r2、外圆内方：S 圆
20、:S 正方形=157:100 S 正方形=2 r2、周长相等的长方形、正方形、圆形中，S 圆S 正S 长、两个圆甲和乙：甲 ：乙 半径比 ：b 直径比 ：b 周长比 ：b 面积比 a2：b2 四、确定起跑线 相邻跑道起跑线相差=跑道宽2 圆周率倍数表 注意当带分数进行乘法计算时要先把带分数化成假分数再进行计算二规数的运算顺序相同四整数乘法的交换律结合律和分配律对于分数乘法也求一个数的几倍一个数几倍求一个数的几分之几是多少一个数几分之几学习必备 欢迎下载 1=3.14 2=6.28 3=9.42 4=12.56 5=15.7 6=18.84 7=21.98 8=25.12 9=28.26 10=
21、31.4 11=34.54 12=37.68 14=43.96 15=47.1 16=50.24 18=56.52 19=59.66 20=62.8 24=75.36 25=78.5 24=75.36 28=87.92 36=113.04 64=200.96 12=3.14 22=12.56 32=28.26 42=50.24 52=78.5 62=113.04 72=153.86 82=200.96 92=254.34 102=314 152=706.5 202=1256 252=1962.5 1.52=7.065 2.52=19.625 3.52=38.465 C 长=(a+b)2 a=C
22、2-b b=C2-a C 正=a4 a=C4 S 长=ab a=Sb b=Sa S 正=aa S 圆=r C 圆=d C 圆=2r r=d2 d=C r=C2 圆周长的一半=r r=圆周长的一半 半圆周长=(+2)r r=半圆周长(+2)S 环=(R )L 弧=rn180 C 扇=rn180+2r S 扇=n360 r 12、常用平方数结果 11 =121 12 =144 13 =169 14 =196 15 =225 16 =256 17 =289 18 =324 19 =361 20=400 第六单元 百分数（一）一、百分数的意义和写法 1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百
23、分数是指两个数的比，因此也叫百分率或百分比。2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。3、百分数和分数的主要联系与区别：（1）联系：都可以表示两个量的倍比关系。（2）区别：、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；分数的分子不能是小数，只能是除 0 以外的自然数。4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“”来表示。二、百分数和分数、小数的互化（一）百分数与小数的互化：1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号
24、。2.百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。注意当带分数进行乘法计算时要先把带分数化成假分数再进行计算二规数的运算顺序相同四整数乘法的交换律结合律和分配律对于分数乘法也求一个数的几倍一个数几倍求一个数的几分之几是多少一个数几分之几学习必备 欢迎下载（二）百分数的和分数的互化 1、百分数化成分数：先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否 100 的分数，能约分要约成最简分数。2、分数化成百分数：用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是 100 的分数，再写成百分数形式。先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。（三）常见的分数与小数、百分数之间
25、的互化 12=0.5=50%14=0.25=25%34=0.75=75%15=0.2=20%25=0.4=40%35=0.6=60%45=0.8=80%18=0.125=12.5%38=0.375=37.5%58=0.625=62.5%78=0.875=87.5%116=0.0625=6.25%120=0.05=5 125=0.04=4 150=0.02=2 三、用百分数解决问题（一）一般应用题 1、常见的百分率的计算方法：合格率=合格产品数/产品总数100%发芽率=发芽种子数/种子总数100%出勤率=出勤人数/总人数100%达标率=达标人数/总人数100%成活率=成活数量/总数量100%出粉
26、率=粉的重量/出粉物的重量100%出米率=米的数量/出米物的重量 出油率=油的重量/出油物的重量数100%烘干率=烘干后的重量/烘干前的重量100%含水率=(烘干前的重量-烘干后的重量)/烘干前的重量100%含水率=(水的质量/水与物体的总质量)100%含糖率=糖的重量/糖水的重量100%含盐率=盐的重量/盐水的重量100%近视率=近视人数/总人数100%命中率=命中的次数/投篮次数100%百分率表示两个数的比，是没有单位名称的 一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%，出米率、出油率达不到 100%，完成率、增长了百分之几等可以超过 100%。（一般出粉率在 70、80%，出
27、油率在 30、40%。）2、已知单位“1”的量，求单位“1”的百分之几是多少的问题（用乘法）：数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”：单位“1”的量分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量（1+-分率）=分率对应量 3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：根据数量关系式设未知量为，用方程解答。（2）算术（用除法）：分率对应量对应分率=单位“1”的量 4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：两个数的相差量单位“1”的量 100%求多几分之几(大数-小数)比后面的
28、数 求少几分之几(大数-小数)比后面的数 第七单元 扇形统计图 一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。二、常用统计图的优点：1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。注意当带分数进行乘法计算时要先把带分数化成假分数再进行计算二规数的运算顺序相同四整数乘法的交换律结合律和分配律对于分数乘法也求一个数的几倍一个数几倍求一个数的几分之几是多少一个数几分之几学习必备 欢迎下载 2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部
29、分数量同总数之间的关系。三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）补充：高级单位化低级单位：高级单位的数它们之间的进率 低级单位聚高级单位：低级单位的数它们之间的进率 长度单位换算 km m dm cm mm 1 千米=1000 米 1 米=10 分米 1 分米=10 厘米 1 米=100 厘米 1 厘米=10 毫米 面积单位换算 km m dm cm mm 1 平方千米=100 公顷 1 公顷=10000 平方米 1 平方米=100 平方分米 1 平方分米=1
30、00 平方厘米 1 平方厘米=100 平方毫米 体(容)积单位换算 L mL m dm cm 1 立方米=1000 立方分米 1 立方分米=1000 立方厘米 1 升=1000 毫升 1 立方米=1000 升 1 立方分米=1 升 1 立方厘米=1 毫升 质量单位换算 t k 1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克 1 千克=1 公斤 人民币单位换算 1 元=10 角 1 角=10 分 1 元=100 分 时间单位换算 h min s 1 世纪=100 年 1 年=12 月 大月(31 天)有:135781012 月 小月(30 天)的有:46911 月 平年 2 月 28 天,闰年 2 月 29 天 平年全年 365 天,闰年全年 366 天 1 日=24 小时 1 时=60 分 1 分=60 秒 1 时=3600 秒 注意当带分数进行乘法计算时要先把带分数化成假分数再进行计算二规数的运算顺序相同四整数乘法的交换律结合律和分配律对于分数乘法也求一个数的几倍一个数几倍求一个数的几分之几是多少一个数几分之几