《2023年八年级下册初二数学《因式分解》精品讲义1.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年八年级下册初二数学《因式分解》精品讲义1.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备 欢迎下载 因式分解【知识梳理】因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式积 例：111()333axbxx ab 因式分解是对多项式进行一种恒等变形，是整式乘法逆过程。(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘；(3)因式分解最后结果应当是“积”形式。【例题】判断下面哪项是因式分解：因式分解方法 提公因式法：定义：如果一个多项式各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式各项都含有相同因式。公因式可以是一个数字或字母
2、，也可以是一个单项式或多项式。-系数取各项系数的最大公约数字母取各项都含有的字母指数取相同字母的最低次幂(指数)【例题】333234221286a b ca b ca b c公因式是 【解析】从多项式系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是 12、8、6，它们最大公约数为 2；字母部分33323422,a b c a b c a b c都含有因式32a b c，故多项式公因式是 232a b c 小结提公因式步骤：第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下另一个因式。学习必备 欢迎下载 注意：提取公因式后，对另一个因式要注意
3、整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号，要先提取符号。【基础练习】1ax、ay、ax 公因式是_；6mn2、2m2n3、4mn 公因式是_ 2下列各式变形中，是因式分解是（）Aa22abb21（ab）21 B)11(22222xxxx C（x2）（x2）x24 Dx41（x21）（x1）（x1）3将多项式6x3y2 3x2y212x2y3分解因式时，应提取公因式是（）A3xy B3x2y C3x2y2 D3x3y3 4多项式 ana3nan2分解因式结果是（）Aan（1a3a2）Ban（a2na2）Can（1a2na2）Dan（a3an）5把下列各式因式分解：5x2y10 xy215
4、xy 3x（mn）2（mn）3（x3）26（3x）y（xy）2（yx）3 2x2n4x n x（ab）2nxy（ba）2n1 6应用简便方法计算：（1）2012201 （2）4.3 199.87.6 199.81.9 199.8 （3）说明 32004 319910 3198能被 7 整除 项式因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘因式分解最后结果应当形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式各项都含有相同因式是解析从多项式系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们最大公学习必备 欢迎下载【提高练习】1把下列各式因式分解：（1）16a2b8ab_；（2）x3（xy）2x2（yx）2_ 2在空
5、白处填出适当式子：（1）x（y1）（）（y1）（x1）；（2）cbab3294278（）（2a3bc）3如果多项式 x2mxn 可因式分解为（x1）（x2），则 m、n 值为（）Am1，n2 Bm1，n2 Cm1，n2 Dm1，n2 4（2）10（2）11等于（）A210 B211 C210 D2 5已知 x，y 满足,13,62yxyx求 7y（x3y）22（3yx）3值 6已知 xy2，,21xy求 x（xy）2（1y）x（yx）2值 7因式分解：（1）axaybxby；（2）2ax3am10bx15bm 项式因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘因式分解最后结果应当形式这个变形就是提公因
6、式法分解因式公因式多项式各项都含有相同因式是解析从多项式系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们最大公学习必备 欢迎下载 运用公式法 定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式方法叫做运用公式法。平方差公式 式子：)(22bababa 语言：两个数平方差，等于这两个数和与这两个数差积。这个公式就是平方差公式。【例题 1】在括号内写出适当式子：025m4（）2；ny294（）2；121a2b6（）2【例题 2】因式分解：（1）x2y2（）（）；（2）m216（）（）；（3）49a24（）（）；（4）2b22（）（）【基础练习】1下列各式中，不能用平方差公式分解因式是（
7、）Ay249x2 B4491x Cm4n2 D9)(412 qp 2下列因式分解错误是（）A116a2（14a）（14a）Bx3xx（x21）Ca2b2c2（abc）（abc）D)l.032)(32l.0(l0.09422nmmnnm 3把下列各式因式分解：（ab）264 m481n4 （2a3b）2（ba）2 4利用公式简算：（1）20082008220092；（2）3.14 5123.14 492 项式因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘因式分解最后结果应当形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式各项都含有相同因式是解析从多项式系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们最大公学习必备
8、 欢迎下载 5已知 x2y3，x24y215，（1）求 x2y 值；（2）求 x 和 y 值 【提高练习】1因式分解下列各式：（1）mm 3161_；（2）x416_；（3）11mmaa_；（4）x（x21）x21_ 2把（3m2n）2（3m2n）2分解因式，结果是（）A0 B16n2 C36m2 D24mn 3下列因式分解正确是（）Aa29b2（2a3b）（2a3b）Ba581ab4a（a29b2）（a29b2）C)21)(21(212212aaa Dx24y23x6y（x2y）（x2y3）4把下列各式因式分解：m2（xy）n2（yx）3（xy）227 （3m2n2）2（m23n2）2 5已
9、知,4425,7522yx求（xy）2（xy）2值 6分别根据所给条件求出自然数 x 和 y 值：（1）x、y 满足 x2xy35；（2）x、y 满足 x2y245 项式因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘因式分解最后结果应当形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式各项都含有相同因式是解析从多项式系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们最大公学习必备 欢迎下载 完全平方公式（1）式子：222222)(2)(2babababababa 拓展：)()(22332233babababababababa【例题】分解因式：22222222)2(22244)7(7724914aaaaaxxxxx【
10、变式练习】1分解因式：41242 xx=；21 44 9aa=2因式分解244aa，正确是()A24(1)aa B2(2)a C(2)(2)aa D2(2)a【注意】公式中字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。【例】223)(9)(6)(nmnmnm 当多项式各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。【例】)2)(2(2)2(2)4(2822223xxxxxxxxx【变式练习】1分解因式：222050 xx 2分解因式：2)(9)(124yxyx 3分解因式：2882x yxyy_ _ 4分解因式：(a+b)34(a+b)=_ 5分解因式：3m(2xy)23mn2_ 6
11、因式分解：2222(1)2(1)(1)xyx yy 【基础练习】项式因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘因式分解最后结果应当形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式各项都含有相同因式是解析从多项式系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们最大公学习必备 欢迎下载 1在括号中填入适当式子，使等式成立：（1）x26x（）（）2；（2）x2（）4y2（）2；（3）a25a（）（）2；（4）4m212mn（）（）2 2若 4x2mxy25y2（2x5y）2，则 m_ 3将 a224a144 因式分解，结果为（）A（a18）（a8）B（a12）（a12）C（a12）2 D（a12）2 4下列各式中
12、，能用完全平方公式分解因式有（）9a21；x24x4；m24mnn2；a2b22ab；;913222nmnm （xy）26z（xy）9z2 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 5下列因式分解正确是（）A4（mn）24（mn）1（2m2n1）2 B18x9x299（x1）2 C4（mn）24（nm）1（2m2n1）2 Da22abb2（ab）2 6把下列各式因式分解：a216a64 x24y24xy （ab）22（ab）（ab）（ab）2 4x34x2x 7计算：（1）2972 （2）10.32 8若 a22a1b26b90，求 a2b2值 项式因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘因式分解
13、最后结果应当形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式各项都含有相同因式是解析从多项式系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们最大公学习必备 欢迎下载【提高练习】1把下列各式因式分解：（1）25（pq）210（pq）1_；（2）an1an12an_；（3）（a1）（a5）4_ 2如果 x2kxy9y2是一个完全平方公式，那么 k是（）A6 B6 C 6 D18 3如果 a2ab4m 是一个完全平方公式，那么 m 是（）A2161b B2161b C281b D281b 4如果 x22axb 是一个完全平方公式，那么 a 与 b 满足关系是（）Aba Ba2b Cb2a Dba2 5把下列各
14、式因式分解：2mx24mxy2my2 x3y2x2y2xy3 2341xxx （m2n2）24m2n2 x22x1y2 x22xyy22x2y1 （a1）2（2a3）2（a1）（32a）2a3 6若,31xx求221xx 值 项式因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘因式分解最后结果应当形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式各项都含有相同因式是解析从多项式系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们最大公学习必备 欢迎下载 7若 a4b4a2b25，ab2，求 a2b2值 8已知 x3y3（xy）（x2xyy2）称为立方和公式，x3y3（xy）（x2xyy2）称为立方差公式，据此，试将下列
15、各式因式分解：（1）a38 （2）27a31 分组分解法(拓展)将多项式分组后能提公因式进行因式分解：(二二分项)形式：bnbmanam、baba22等 步骤：1分组 2提取公因式【例题 1】把多项式1abab 分解因式 解：1abab =()(1)abab =(1)(1)(1)(1)a bbab 【变式练习】因式分解：bcacaba2 321aaa yyxx22 将多项式分组后能运用公式进行因式分解(三一分项)形式：2222cbaba【例题 2】将多项式2221aabb 因式分解 解：2221aabb=222(2)1()1(1)(1)aabbababab 项式因式分解是把一个多项式化为几个因
16、式相乘因式分解最后结果应当形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式各项都含有相同因式是解析从多项式系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们最大公学习必备 欢迎下载【变式练习】因式分解：xyyx22522 19622yxyx 十字相乘法(拓展)形式：)()(2qxpxpqxqpx(二次项系数为 1)2()xpq xpq 分析：常数项拆成两个因数pq和，这两数和pq为一次项系数。【例题 1】分解因式：322 xx 2因式分解：652 xx 形式：).)(22112cxacxacbxax(拓展)2121 22 11 21122()()()()().axbxca x a xa c xa c xc
17、 c xa xca xc 分析：a=21aa；c=21cc，1221cacab 形式如cbxax2式子要进行因式分解，确定其中2121,ccaa是一个尝试过程。【例题 2】分解因式322 xx 1)3(121133122 所以 )1)(32(322xxxx【基础练习】项式因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘因式分解最后结果应当形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式各项都含有相同因式是解析从多项式系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们最大公学习必备 欢迎下载 1将下列各式因式分解：（1）x25x6_；（2）x25x6_；（3）x25x6_；（4）x25x6_ 2将 a210a16 因
18、式分解，结果是（）A（a2）（a8）B（a2）（a8）C（a2）（a8）D（a2）（a8）3因式分解结果是（x3）（x4）多项式是（）Ax27x12 Bx27x12 Cx27x12 Dx27x12 4如果 x2pxq（xa）（xb），那么 p 等于（）Aab Bab Cab Dab 5若 x2kx36（x12）（x3），则 k值为（）A9 B15 C15 D9 6把下列各式因式分解 m212m20 x2xy6y2 x210 xy9y2 （x1）（x4）36 ma218ma40m x35x2y24xy2 7已知 xy0，x3y1，求 3x212xy13y2值 【提高练习】1多项式 x23xyay
19、2可分解为（x5y）（xby），则 a、b 值为（）Aa10，b2 Ba10，b2 Ca10，b2 Da10，b2 2若 x2（ab）xabx2x30，且 ba，则 b 值为（）A5 B6 C5 D6 项式因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘因式分解最后结果应当形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式各项都含有相同因式是解析从多项式系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们最大公学习必备 欢迎下载 3将（xy）25（xy）6 因式分解结果是（）A（xy2）（xy3）B（xy2）（xy3）C（xy6）（xy1）D（xy6）（xy1）4观察下列各式：1 2 3 4152；2 3 4 5111
20、2；3 4 5 61192；判断是否任意四个连续正整数之积与 1 和都是某个正整数平方，并说明理由 【全章巩固练习】1把(xy)2(yx)分解因式为()A(xy)(xy1)B(yx)(xy1)C(yx)(yx1)D(yx)(yx1)2若 a+b=4，则 a2+2ab+b2值是()A8 B16 C2 D4 320062005(8)(8)能被下列数整除是()A3 B5 C7 D9 4下列分解因式结果正确是()A6(x2)+x(2x)=(x2)(6+x)Bx3+2x2+x=x(x2+2x)Ca(ab)2+ab(ab)=a(ab)D3xn+1+6xn=3xn(x+2)5如果 ba=6，ab=7，那么
21、a2bab2值是()A42 B42 C13 D13 6已知 x27xy+12y2=0，那么 x 与 y 关系是_ 7利用因式分解简便计算579944 9999 正确是()A99(5744)99 1019999 B99(57441)99 1009900 C99(57441)99 10210098 D99(574499)992198 8从边长为a大正方形纸板中挖去一个边长为b小正方形后，将其裁成四个相同等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)那么通过计算阴影部分面积可以验证公式_ a b a b 甲 乙 项式因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘因式分解最后结果应当形式这个变形就是提公
22、因式法分解因式公因式多项式各项都含有相同因式是解析从多项式系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们最大公学习必备 欢迎下载 a b(1)b b a a(2)9在边长为a正方形中挖去一个边长为b小正方 形()ab，再沿虚线剪开，如图(1)，然后拼成一个 梯形，如图(2)根据这两个图形面积关系，表明 下列式子成立是()A22()()abab ab B222()2abaabb C222()2abaabb D222()abab 10利用简便方法计算：(1)23 2.718+59 2.718+18 2.718；(2)57.6 1.6+57.6 18.4+57.6(20)11分解多项式：(1)16x2y2
23、z29 (2)81(a+b)24(ab)2 (3)x(xy)y(yx)(4)12x3+12x2y3xy2 (5)(x+y)2+mx+my (6)a(xa)(x+y)2b(xa)2(x+y)12已知 ab2005，ab20082005，求 a2bab2值。13已知(4x2y1)2+2xy=0，求 4x2y4x2y2+xy2值 项式因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘因式分解最后结果应当形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式各项都含有相同因式是解析从多项式系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们最大公学习必备 欢迎下载 14求证：无论 x、y 为何值，3530912422yyxx值恒为正
24、。15用分解因式说明：127525 能被 60 整除。16已知cba、是ABC 三边长，且满足0)(22222cabcba，试判断此三角形形状 17观察下列各式：12+(1 2)2+22=9=32 22+(2 3)2+32=49=72 32+(3 4)2+42=169=132 你发现了什么规律?请用含有 n(n 为正整数)等式表示出来，并说明其中道理 18阅读下列因式分解过程，再回答所提出问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)1+x+x(x+1)=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式方法是 法，共应用了 次。(2)若分解 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+
25、x(x+1)2007，则需要应用上述方法 次，分解因式后结果是 。项式因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘因式分解最后结果应当形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式各项都含有相同因式是解析从多项式系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们最大公学习必备 欢迎下载(3)请用以上方法分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)n(n 为正整数)，必须有简要过程。解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)n 19阅读下列计算过程：99 99+199=992+2 99+1=(99+1)2=100 2=10 4(1)计算：999 999+1999=_=_=_=_；9999 9999+19999=_=_=_=_。(2)猜想 9999999999 9999999999+19999999999 等于多少?写出计算过程。20如图，边长为ab，矩形，它周长为 14，面积为 10，求22a bab值。21如图，有三种卡片，其中边长为a正方形卡片 1 张，边长分别为a，b矩形卡片6张，边长为b正方形卡片9张用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形边长是多少?b a 项式因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘因式分解最后结果应当形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式各项都含有相同因式是解析从多项式系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们最大公