2023年中学数学常用公式大超详细知识汇总全面汇总归纳含初中高中1.pdf-淘文阁

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1、中学数学常用公式大汇总（含初中、高中）初中数学常用公式 1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数如：3，0.231，0.737373，无限不环循小数叫做无理数如：，0.1010010001(两个1之间依次多1个0)有理数和无理数统称为实数 2、绝对值：a0丨a丨a；a0丨a丨a如：丨丨；丨3.14丨3.14 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0 4、把一个数写成a10n的形式(其中1a10，n是整数)，这种记数法叫

2、做科学记数法如：407004.07105，0.0000434.3 105 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：(ab)(ab)a2b2(ab)2a22abb2(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)a3b3；a2b2(ab)22ab，(ab)2(ab)24ab 6、幂的运算性质：amanamn amanamn(am)namn(ab)nanbn()nn an1na，特别：()n()na01(a0)如：a3a2a5，a6a2a4，(a3)2a6，(3a3)327a9，(3)1，52，()2()2，(3.14)1，()01 7、二次根式：()2a(a0)，丨a丨，-(a0，b0

3、)如：(3)2456a0时，-a的平方根4的平方根2（平方根、立方根、算术平方根的概念）8、一元二次方程：对于方程：ax2bxc0：求根公式是x242bbaca，其中b24ac叫做根的判别式当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根注意：当0时，方程有实数根若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2bxc可分解为a(xx1)(xx2)以a和b为根的一元二次方程是x2(ab)xab0 9、一次函数ykxb(k0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)当k0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k0

4、时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)特别：当b0时，ykx(k0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点 10、反比例函数y(k0)的图象叫做双曲线当k0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)因此，它的增减性与一次函丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分解数相反 11、统计初步：（1）概念：所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体从总体中抽取的一部

5、份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数（2）公式：设有 n 个数 x1，x2，xn，那么：平均数为：12.nxxxxn+=；极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；方差：数据1x、2x,nx的方差为2s，则2s=()()()222121.nxxxxxxn轾-+-+-犏臌标准差：方差的算术平方根.数据1x、2x,nx的标准差s，则s=()

6、()()222121.nxxxxxxn轾-+-+-犏臌一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。12、频率与概率：（1）频率=总数频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于 1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。（2）概率如果用 P 表示一个事件 A 发生的概率，则 0P（A）1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实

7、数根和并且二次三项式可分解大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；13、锐角三角函数：设A是RtABC的任一锐角，则A的正弦：sinA，A的余弦：cosA，A的正切：tanA并且sin2Acos2A1 0sinA1，0cosA1，tanA0A越大，A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小余角公式：sin(90 A)cosA，cos(90 A)sinA 特殊角的三角函数值：sin30 cos60 ，sin45 cos45，sin60cos30，tan30，tan45 1，tan60 斜坡的坡度：i铅垂高度水平宽度设坡角为，则itan 14、平面直角坐标系中的有关知识：（1）对称性：若直角

8、坐标系内一点 P（a，b），则 P 关于 x 轴对称的点为 P1（a，b），P 关于 y 轴对称的点为 P2（a，b），关于原点对称的点为 P3（a，b）.（2）坐标平移：若直角坐标系内一点 P（a，b）向左平移 h 个单位，坐标变为 P（ah，b），向右平移 h 个单位，坐标变为 P（ah，b）；向上平移 h 个单位，坐标变为 P（a，bh），向下平移 h 个单位，坐标变为 P（a，bh）.如：点 A（2，1）向上平移 2 个单位，再向右平移 5 个单位，则坐标变为 A（7，1）.15、二次函数的有关知识：1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.

9、2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；h l 丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分解a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0 x.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2axy 当0a时开口向上当0a时开口向下 0 x（y轴）（0,0）kaxy2 0 x（y轴）(0,k)2hxa

10、y hx (h,0)khxay2 hx (h,k)cbxaxy2 abx2(abacab4422，)4.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点12(,)(,)、x yxy（及 y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122xxx 9.抛物线cbxaxy2中，cba,的作用（

11、1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy 中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线 abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分解（0，c）：0c，抛物线经过原点;

12、0c,与y轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.12.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c).（2）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程 02cbxax的

13、两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点(0)抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）(0)抛物线与x轴相切；没有交点(0)抛物线与x轴相离.（3）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（2）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.（4）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组 cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时

14、l与G没有交点.（5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为 0021，xBxA，则12ABxx 1、多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n2)180（n3，n是正丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分解整数），外角和等于360 2、平行线分线段成比例定理：（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：abc，直线 l1与 l2分别与直线 a、b、c 相交与点 A、B、C D、E、F，则

15、有,ABDEABDEBCEFBCEFACDFACDF（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。如图：ABC 中，DEBC，DE 与 AB、AC 相交与点 D、E，则有：,ADAE ADAEDE DBECDBECABACBCABAC 3、直角三角形中的射影定理：如图：RtABC 中，ACB90o，CDAB于 D，则有：（1）2CDAD BD（2）2ACAD AB（3）2BCBD AB 4、圆的有关性质：（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：经过圆心；垂直弦；平分弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性

16、质注：具备，时，弦不能是直径（2）两条平行弦所夹的弧相等（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半（6）同弧或等弧所对的圆周角相等（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的CABDacABCDEFl1bl2ABCDECEABD丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分解弧相等（8）90 的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90，直径是最长的弦（9）圆内接四边形的对

17、角互补 5、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心就是三内角角平分线的交点三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心就是三边中垂线的交点常见结论：（1）RtABC 的三条边分别为：a、b、c（c 为斜边），则它的内切圆的半径2abcr；（2）ABC 的周长为l，面积为 S，其内切圆的半径为 r，则12Slr 6、弦切角定理及其推论：（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：PAC 为弦切角。（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。如果 AC 是O 的弦，PA是O 的切线，A 为切点，则1122PACA

18、CAOC 推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）如果 AC 是O 的弦，PA是O 的切线，A 为切点，则PACABC 7、相交弦定理、割线定理、切割线定理：相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。如图，即：PAPB=PC PD 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图，即：PAPB=PC PD 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与O P B C A 丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数

19、根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分解圆交点的两条线段长的比例中项。如图，即：PC2=PAPB 8、面积公式：S正(边长)2 S平行四边形底高 S菱形底高(对角线的积)，1()2S梯形上底下底高中位线高 S圆R2 l圆周长2R 弧长L 213602n rSlr扇形 S圆柱侧底面周长高2rh，S全面积S侧S底2rh2r2 S圆锥侧底面周长母线rb，S全面积S侧S底rbr2 POCABDPOCBADPOCAB丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分

20、解高中数学常用公式及常用结论 1.元素与集合的关系 UxAxC A,UxC AxA.2.德摩根公式 ();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B.3.包含关系 ABAABB UUABC BC A UAC B UC ABR 4.容斥原理()()card ABcardAcardBcard AB()()card ABCcardAcardBcardCcard AB()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC.5集合12,na aa的子集个数共有2n 个；真子集有2n1 个；非空子集有2n 1 个；非空的真子集有2n2 个.6.二次函数的解析式的三种形式(1

21、)一般式2()(0)f xaxbxc a;(2)顶点式2()()(0)f xa xhk a;(3)零点式12()()()(0)f xa xxxxa.7.解连不等式()Nf xM常有以下转化形式()Nf xM()()0f xMf xN|()|22MNMNf x()0()f xNMf x 11()f xNMN.8.方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根,与0)()(21kfkf不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程)0(02acbxax有且只有一个实根在),(21kk内,等价于0)()(21kfkf,或0)(1kf且22211kka

22、bk,或0)(2kf且22122kabkk.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间 qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当 a0 时，若 qpabx,2，则m i nm a xm a x()(),()(),()2bf xff xf p fqa；qpabx,2，maxmax()(),()f xf pf q，minmin()(),()f xf pf q.丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式

23、可分解(2)当 a0)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()()f x af x ()0)f x,或21()()(),()0,1)2f xfxf xaf x,则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212()1()()1,0|2)f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a；(5)()()(2)(3)(4)f xf x af xa f xaf xa ()()(2)(3)(4)f x

24、f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a.30.分数指数幂 (1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）.(2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）.31根式的性质（1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分解当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a.32有理指数幂的运算性质(1)(0,)rsrsaaaar

25、sQ.(2)()(0,)rsrsaaar sQ.(3)()(0,0,)rrraba babrQ.注：若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式 logbaNbaN(0,1,0)aaN.34.对数的换底公式 logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论 loglogmnaanbbm(0a,且1a,0m n,且1m,1n,0N).35对数的四则运算法则若 a0，a1，M 0，N0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)logl

26、og()naaMnM nR.36.设函数)0)(log)(2acbxaxxfm,记acb42.若)(xf的定义域为R,则0a，且0;若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广若0a,0b,0 x,1xa,则函数log()axybx (1)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为增函数.，(2)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为减函数.推论:设1nm，0p，0a，且1a，则（1）log()logmpmnpn.（2）2logloglog2aaamnmn.38.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为

27、 N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp.39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分解11,1,2nnnsnassn(数列na的前 n 项的和为12nnsaaa ).40.等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN ；其前 n 项和公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n.41.等比数列的通项公式1*11()nnnaaa qqnNq；其前

28、 n 项的和公式为 11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q.42.等比差数列na:11,(0)nnaqad ab q的通项公式为 1(1),1(),11nnnbnd qabqdb qdqq；其前 n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111nnnbn ndqsdqdbn qqqq.43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnabbxb元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).44常见三角不等式（1）若(0,)2x，则sintanxxx.(2)若(0,)2x，则1sincos2xx.(3)|sin|cos|1xx.45.同角三角函数的基本关

29、系式 22sincos1，tan=cossin，tan1cot.46.正弦、余弦的诱导公式 212(1)sin,sin()2(1)s,nnnco 212(1)s,s()2(1)sin,nnconco (n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分解47.和角与差角公式 sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan.22sin()sin()s

30、insin (平方正弦公式);22cos()cos()cossin .sincosab=22sin()ab(辅助角所在象限由点(,)a b的象限决定,tanba).48.二倍角公式 sin 2sincos.2222cos 2cossin2cos112sin .22tantan21tan.49.三倍角公式 3sin33sin4sin4sinsin()sin()33.3cos34cos3cos4coscos()cos()33.323tantantan3tantan()tan()1 3tan33.50.三角函数的周期公式函数sin()yx，xR及函数cos()yx，xR(A,为常数，且 A0，0)

31、的周期2T；函数tan()yx，,2xkkZ(A,为常数，且 A0，0)的周期T.51.正弦定理 2sinsinsinabcRABC.52.余弦定理 2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC.53.面积定理（1）111222abcSahbhch（abchhh、分别表示 a、b、c 边上的高）.（2）111sinsinsin222SabCbcAcaB.丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分解(3)221(|)(

32、)2OABSOAOBOA OB.54.三角形内角和定理在ABC中，有()ABCCAB 222CAB 222()CAB.55.简单的三角方程的通解 sin(1)arcsin(,|1)kxaxka kZa.s2arccos(,|1)co xaxka kZa.tanarctan(,)xaxka kZ aR.特别地,有 sinsin(1)()kkkZ.scos2()cokkZ.tantan()kkZ.56.最简单的三角不等式及其解集 sin(|1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkaka kZ .sin(|1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkaka kZ .cos(|1)(

33、2arccos,2arccos),xaaxkakakZ.cos(|1)(2arccos,22arccos),xaaxkaka kZ.tan()(arctan,),2xa aRxka kkZ.tan()(,arctan),2xa aRxkka kZ.57.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1)结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.58.向量的数量积的运算律：(1)ab=b a（交换律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=a c+b c.59.平面向量基本定理如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线

34、向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2 不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 60向量平行的坐标表示丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分解设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b0，则 a b(b0)12210 x yx y.53.a与 b 的数量积(或内积)ab=|a|b|cos 61.ab 的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向

35、上的投影|b|cos的乘积 62.平面向量的坐标运算(1)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a+b=1212(,)xxyy.(2)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a-b=1212(,)xxyy.(3)设 A11(,)x y，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy.(4)设 a=(,),x yR，则a=(,)xy.(5)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 ab=1212()x xy y.63.两向量的夹角公式 121222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)x y,b=22(,)xy).64.平面两点间的距离公式

36、 ,A Bd=|ABAB AB222121()()xxyy(A11(,)x y，B22(,)xy).65.向量的平行与垂直设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b0，则 A|bb=a 12210 x yx y.ab(a0)ab=012120 x xy y.66.线段的定比分公式设111(,)P x y，222(,)P xy，(,)P x y是线段12PP的分点,是实数，且12PPPP，则 121211xxxyyy121OPOPOP12(1)OPtOPt OP（11t）.67.三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为11A(x,y)、22B(x,y)、33C(x,y),则

37、ABC的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG.68.点的平移公式 xxhxxhyykyyk OPOPPP.注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形F上的对应点为丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分解(,)P x y，且PP的坐标为(,)h k.69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y按向量 a=(,)h k平移后得到点(,)P xh yk.(2)函数()yf x的图象C按向量 a=(,)h k平移后得到图象C,

38、则C的函数解析式为()yf xhk.(3)图象C按向量 a=(,)h k平移后得到图象C,若C的解析式()yf x,则C的函数解析式为()yf xhk.(4)曲线C:(,)0f x y 按向量 a=(,)h k平移后得到图象C,则C的方程为(,)0f xh yk.(5)向量 m=(,)x y按向量 a=(,)h k平移后得到的向量仍然为 m=(,)x y.70.三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC.（2）O为ABC的重心0OAOBOC.（3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC O

39、A.（4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC.（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.71.常用不等式：（1）,a bR222abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（2）,a bR2abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（3）3333(0,0,0).abcabc abc （4）柯西不等式 22222()()(),.abcdacbda b c dR（5）bababa.72.极值定理已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx 时和yx 有最小值p2；（2）若和yx 是定值s，则当yx 时积xy有最大值241s.推广已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22（1）若积

41、212,()()0()xxxxxxxxxx或.74.含有绝对值的不等式当 a 0 时，有22xaxaaxa .22xaxaxa 或xa.75.无理不等式（1）()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x.（2）2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或.（3）2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x.76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a 时,()()()()f xg xaaf xg x;()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x.(2)当01a 时,()

42、()()()f xg xaaf xg x;()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x 77.斜率公式 2121yykxx（111(,)P x y、222(,)P xy）.78.直线的五种方程（1）点斜式 11()yyk xx(直线l过点111(,)P x y，且斜率为k)（2）斜截式 ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距).（3）两点式 112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy(12xx).(4)截距式 1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（5）一般式 0AxByC(其中 A、B 不同时为

43、 0).79.两条直线的平行和垂直丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分解(1)若111:lyk xb，222:lyk xb 121212|,llkk bb;12121llk k .(2)若1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,且 A1、A2、B1、B2都不为零,11112222|ABCllABC；1212120llAAB B；80.夹角公式 (1)212 1tan|1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,1

44、21k k)(2)12211212tan|ABA BAAB B.(1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,12120AAB B).直线12ll时，直线 l1与 l2的夹角是2.81.1l到2l的角公式 (1)2121tan1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k)(2)12211212tanABA BAAB B.(1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,12120AAB B).直线12ll时，直线 l1到 l2的角是2.82四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P xy的直线系

45、方程为00()yyk xx(除直线0 xx),其中k是待定的系数;经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()()0A xxB yy,其中,A B是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC的交点的直线系方程为111222()()0AxB yCA xB yC(除2l)，其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线0AxByC 平行的直线系方程是0AxBy(0)，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线0AxByC (A 0，B0)垂直的直线系方程是0BxAy,是参变量

46、83.点到直线的距离丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分解0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC).84.0AxByC 或0所表示的平面区域设直线:0l AxByC，则0AxByC 或0所表示的平面区域是：若0B，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时

47、，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.85.111222()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域设曲线111222:()()0CAxB yCA xB yC（12120AA B B），则 111222()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域是：111222()()0AxB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分；111222()()0AxB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分.86.圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()xaybr.（2）圆的一般方程 220 xyDxEyF(224DEF0).（3）圆的参数方程 cossi

48、nxarybr .（4）圆的直径式方程 1212()()()()0 xxxxyyyy(圆的直径的端点是11(,)A x y、22(,)B xy).87.圆系方程(1)过点11(,)A x y,22(,)B xy的圆系方程是 1212112112()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx 1212()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc,其中0axbyc 是直线AB的方程,是待定的系数(2)过直线l:0AxByC 与圆C:220 xyDxEyF 的交点的圆系方程是22()0 xyDxEyFAxByC,是待定的系数(3)过圆1C:221110 xyD xE yF

49、与圆2C:222220 xyD xE yF的交点的圆系方程是2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF,是待定的系数 88.点与圆的位置关系点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种若2200()()daxby，则 dr 点P在圆外;dr 点P在圆上;dr 点P在圆内.丨丨一个近似数从左边笫一个不是的数字起到最末一个数字止所有的数公式幂的运算性质特别如二次根式丨丨如时的平方根的平方根平方根立根注意当时方程有实数根若方程有两个实数根和并且二次三项式可分解89.直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:0相离r

50、d;0相切rd;0相交rd.其中22BACBbAad.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21 条公切线外离421rrd;条公切线外切321rrd;条公切线相交22121rrdrr;条公切线内切121rrd;无公切线内含 210rrd.91.圆的切线方程(1)已知圆220 xyDxEyF 若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()()022D xxE yyx xy yF.当00(,)xy圆外时,0000()()022D xxE yyx xy yF 表示过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为00()yy

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