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1、二元一次方程组考点解析 考点一 二元一次方程(组)的解的概念【例 1】已知2,1xy是二元一次方程组8,1mxnynxmy的解,则 2m-n的算术平方根为()A.4 B.2 C.2 D.2【解析】把2,1xy代入方程组8,1mxnynxmy得28,21.mnnm 解得3,2.mn 所以 2m-n=4,4的算术平方根为 2.故选 B.【方法归纳】方程(组)的解一定满足原方程(组),所以将已知解代入含有字母的原方程(组),得到的等式一定成立,从而转化为一个关于所求字母的新方程(组),解这个方程(组)即可求得待求字母的值.变式练习 1.若方程组,axybxbya 的解是1,1.xy求(a+b)2-(
2、a-b)(a+b)的值.考点二 二元一次方程组的解法【例 2】解方程组：128.xyxy ，【分析】可以直接把代入，消去未知数 x，转化成一元一次方程求解.也可以由变形为 x-y=1，再用加减消元法求解.【解答】方法一：将代入到中，得 2(y+1)+y=8.解得 y=2.所以 x=3.因此原方程组的解为3,2.xy 方法二：1,28.xyxy 对进行移项，得 x-y=1.+得 3x=9.解得 x=3.将 x=3 代入中，得 y=2.所以原方程组的解为3,2.xy【方法归纳】二元一次方程组有两种解法，我们可以根据具体的情况来选择简便的解法.如果方程中有未知数的系数是 1 时，一般采用代入消元法；
3、如果两个方程的相同未知数的系数相同或互为相反数时，一般采用加减消元法；如果方程组中的系数没有特殊规律，通常用加减消元法.变式练习 2.方程组 25,7213xyxy 的解是_.3.解方程组：3419,4.xyxy 考点三 由解的关系求方程组中字母的取值范围【例 3】若关于 x、y 的二元一次方程组31,33xyaxy 的解满足 x+y2,则 a 的取值范围为()A.a4 C.a-4【分析】本题运用整体思想，把二元一次方程组中两个方程相加，得到 x、y 的关系，再根据 x+y2,求得本题答案；也可以按常规方法求出二元一次方程组的解，再由 x+y2求出 a 的取值范围，但计算量大.【解答】由+，得
4、 4x+4y=4+a,x+y=1+4a,由 x+y2，得 1+4a2，解得 a4.故选 A.【方法归纳】通过观察两个方程，运用整体思想解题，这是中考中常用的解题方法.变式练习 4.已知 x、y 满足方程组25,24,xyxy 则 x-y的值为_.考点四 二元一次方程组的应用【例 4】某中学拟组织九年级师生去黄山举行毕业联欢活动.下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“平安客运公司有 60 座和 45 座两种型号的客车可供租用，60 座客车每辆每天的租金比 45 座的贵 200元.”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了 4 辆 60 座和 2 辆 45 座的
5、客车到韶山参观，一天的租金共计 5 000 元.”小明：“我们九年级师生租用 5 辆 60 座和 1 辆 45 座的客车正好坐满.”根据以上对话，解答下列问题：(1)平安客运公司 60 座和 45 座的客车每辆每天的租金分别是多少元？(2)按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？【分析】（1）根据题目给出的条件得出的等量关系是 60 座客车每辆每天的租金-45座客车每辆每天的租金=200 元，4 辆 60 座一天的租金+2 辆 45 座的一天的租金=5 000 元；由此可列出方程组求解；（2）可根据“我们九年级师生租用 5 辆 60 座和 1 辆 45 座的客车正好坐
6、满”以及（1）的结果来求出答案.【解答】（1）设平安公司 60 座和 45 座客车每辆每天的租金分别为 x 元，y 元.由题意，得 200,425000.xyxy 解得900,700.xy 答：平安客运公司 60 座和 45 座的客车每辆每天的租金分别为 900 元和 700 元.（2）5900+1700=5 200(元）.答：九年级师生租车一天共需资金 5 200 元.【方法归纳】列方程解决实际问题的解题步骤是：1.审题：弄清已知量和未知量；2.列未知数，并根据相等关系列出符合题意的方程；3.解这个方程；4.验根并作答：检验方程的根是否符合题意，并写出完整的答.变式练习 5.如图是一个正方体
7、的展开图,标注了字母“a”的面是正方体的正面.如果正方体相对两个面上的代数式的值相等,求 x,y 的值.6.在某次亚运会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽.车间 70 名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾 1 800 条或者脖子的丝巾 1 200 条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾.为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？复习测试 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)1.下列方程组中，是二元一次方程组的是()A.212xyyz B.53323xyyx C.512xyxy D.2371xyxy 2.方程 2x+
8、y=9的正整数解有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4 组 3.方程组32,3211xyxy 的最优解法是()A.由得 y=3x-2，再代入 B.由得 3x=11-2y，再代入 C.由-，消去 x D.由2+，消去 y 4.已知21xy，是方程组4,0axbyaxby 的解,那么 a，b 的值分别为()A.1,2 B.1，-2 C.-1,2 D.-1,-2 5.A、B两地相距 6 km，甲、乙两人从 A、B两地同时出发，若同向而行，甲 3 h 可追上乙；若相向而行，1 h 相遇，求甲、乙两人的速度各是多少？若设甲的速度为 x km/h，乙的速度为 y km/h，则得方程组为()A.6336
9、xyxy B.636xyxy C.6336xyxy D.6336xyxy 6.足球比赛的记分为：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，一队打了 14 场比赛，负 5 场，共得 19 分，那么这个队胜了()A.3场 B.4 场 C.5场 D.6 场 7.(2014抚州)已知 a、b 满足方程组22,26,abab 则 3a+b 的值为()A.8 B.4 C.-4 D.-8 8.方程组24,31,7xyxzxyz 的解是()A.221xyz B.211xyz C.281xyz D.222xyz 9.某车间有 90 名工人,每人每天平均能生产螺栓 15 个或螺帽 24 个,已知一个螺
10、栓配套两个螺帽,应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为()A.50 人，40 人 B.30 人，60 人 C.40人，50 人 D.60 人，30 人 10.甲、乙二人收入之比为 43，支出之比为 85，一年间两人各存 5 000 元(设两人剩余的钱都存入银行)，则甲、乙两人年收入分别为()A.15 000 元，12 000 元 B.12 000 元，15 000 元 C.15 000 元，11 250 元 D.11 250 元，15 000 元 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分)11.已知 a、b 是有理数，观察下表中的运算，并在空格内填上相
11、应的数.a 与 b 的运算 a+2b 2a+b 3a+2b 运算的结果 2 4 12.已知2,1xy是二元一次方程组7,1mxnynxmy的解，则 m+3n 的立方根为_.13.孔明同学在解方程组,2ykxbyx 的过程中,错把 b 看成了 6,他其余的解题过程没有出错,解得此方程组的解为1,2,xy 又已知 3k+b=1,则 b 的正确值应该是_.14.已知|x-8y|+2(4y-1)2+|8z-3x|=0，则 x=_，y=_，z=_.15.一个两位数的十位数字与个位数字的和为 8，若把这个两位数加上 18，正好等于将这个两位数的十位数字与个位数字对调后所组成的新两位数，则原来的两位数为_.
12、三、解答题(共 50 分)16.(10 分)解方程组：(1)251xyxy，；(2)1151.xyzyzxzxy ，17.(8 分)吉林人参是保健佳品.某特产商店销售甲、乙两种保鲜人参，甲种人参每棵 100 元，乙种人参每棵 70 元.王叔叔用 1 200 元在此特产商店购买这两种人参共 15 棵，求王叔叔购买每种人参的棵数.18.(9 分)已知方程组53,54xyaxy 与方程组25,51xyxby有相同的解,求 a，b 的值.19.(11 分)食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的 A、B 两种饮料
13、均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂 2 克，B饮料每瓶需加该添加剂 3 克，已知 270 克该添加剂恰好生产了 A、B两种饮料共 100 瓶，问 A、B两种饮料各生产了多少瓶？20.(12 分)某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电冰箱，已知该厂家生产三种不同型号的电冰箱，出厂价分别为：甲种每台 1 500 元，乙种每台 2 100 元，丙种每台 2 500 元.(1)某商场同时购进其中两种不同型号电冰箱共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)该商场销售一台甲种电冰箱可获利 150 元，销售一台乙种电冰箱可获利 200 元，销售一台丙种电冰箱可获利25
14、0 元，在同时购进两种不同型号的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？参考答案 变式练习 1.把1,1xy代入方程组,axybxbya，得1,1.abba 整理，得1,1.abab (a+b)2-(a-b)(a+b)=12-(-1)1=2.2.13xy，3.由，得 x=4+y.把代入，得 3(4+y)+4y=19.解得 y=1.把 y=1 代入，得 x=4+1=5.原方程组的解为51.xy，4.1 5.根据题意,得25,51.xyxy 解得3,1.xy 6.设应分配 x 名工人生产脖子上的丝巾，y 名工人生产手上的丝巾，由题意得 70,120021800.xyxy 解得30,40.x
15、y 答：应分配 30 名工人生产脖子上的丝巾，40 名工人生产手上的丝巾.复习测试 1.B 2.D 3.C 4.D 5.D 6.C 7.A 8.C 9.C 10.C 11.6 12.2 13.-11 14.2 14 34 15.35 16.（1）+，得 3x=6.解得 x=2.把 x=2 代入，得 y=1.所以原方程组的解为21.xy，（2）+，得 x+y+z=17.-，得 2z=6,即 z=3.-，得 2x=12,即 x=6.-，得 2y=16,即 y=8.所以原方程组的解是683.xyz，17.设王叔叔购买甲种人参 x 棵，乙种人参 y 棵.根据题意，得 15100701200.xyxy，
16、解得510.xy，答：王叔叔购买甲种人参 5 棵，乙种人参 10 棵.18.解方程组53,25xyxy，得1,2.xy 将 x=1,y=-2代入 ax+5y=4,得 a=14.将 x=1,y=-2代入 5x+by=1,得 b=2.19.设 A饮料生产了 x 瓶，B饮料生产了 y 瓶，依题意得 100,23270.xyxy 解得30,70.xy 答：A饮料生产了 30 瓶，B饮料生产了 70 瓶.20.(1)设购进甲种电冰箱 x 台，购进乙种电冰箱 y 台，根据题意，得 50,1500210090000.xyxy 解得25,25.xy 故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电冰箱各 25 台.设购进甲种电冰箱 x 台，购进丙种电冰箱 z 台，根据题意，得 50,1500250090000.xzxz 解得35,15.xz 故第二种进货方案是购进甲种电冰箱 35 台，丙种电冰箱 15 台.设购进乙种电冰箱 y 台，购进丙种电冰箱 z 台，根据题意，得 50,2100250090000.yzyz 解得87.5,37.5.yz 不合题意，舍去.故此种方案不可行.(2)上述的第一种方案可获利：15025+20025=8 750(元)，第二种方案可获利：15035+25015=9 000(元)，因为 8 7509 000，故应选择第二种进货方案，即购进甲种电冰箱 35 台，乙种电冰箱 15 台.