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1、九年级数学上册知识点归纳北师大版 九年级数学上册知识点归纳(北师大版)第一章 特殊平行四边形 第二章 一元二次方程 第三章 概率的进一步认识 第四章 图形的相似 第五章 投影与视图 第六章 反比例函数(八下前情回顾)平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形就是平行四边形。两组对边分别相等的四边形就是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形就是平行四边形。两条对角线互相平分的四边形就是平行四边形。平行线之间的距离:若两条直
2、线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。第一章 特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。菱形就是轴对称图形,每条对角线所在的直线都就是对称轴。菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形就是菱形。对角线互相垂直的平行四边形就是菱形。四条边都相等的四边形就是菱形。2 矩形的性质与判定 矩形的定义:有一个角就是直角的平行四边形叫矩形。矩形就是特殊的平行四边形。矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个
3、角都就是直角。(矩形就是轴对称图形,有两条对称轴)矩形的判定:有一个内角就是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。对角线相等的平行四边形就是矩形。九年级数学上册知识点归纳北师大版 四个角都相等的四边形就是矩形。推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3 正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形就是轴对称图形,有两条对称轴)正方形常用的判定:有一个内角就是直角的菱形就是正方形;邻边相等的矩形就是正方形;对角线相等的菱形就是正方形;对角线互相垂直的矩形就是正方形。正方形、矩形、菱形与平行边形四者之间的关系(
4、如图 3 所示):梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。一条腰与底垂直的梯形叫做直角梯形。等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等。同一底上的两个内角相等的梯形就是等腰梯形。三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。夹在两条平行线间的平行线段相等。在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半 第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程 只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为02cbxax(a、b、c 为 常数,a 0)的形式,这样的方程叫一元二次方程。把02cbxax(a、b、c 为常数,a 0)称为一元二次方程的一般
5、形式,a 为二次项系数;b 为一次项系数;c 为常数项。2 用配方法求解一元二次方程 配方法 配方法解一元二次方程的基本步骤:把方程化成一元二次方程的一般形式;将二次项系数化成 1;平行四边形 菱形 矩形 正方形 一组邻边相等 一组邻边相等且一个内角为直角(或对角线互相垂直平分)一内角为直角 一邻边相等 或对角线垂直 一个内角为直角(或对角线相等)图 3 九年级数学上册知识点归纳北师大版 把常数项移到方程的右边;两边加上一次项系数的一半的平方;把方程转化成0)(2 mx的形式;两边开方求其根。3 用公式法求解一元二次方程 公式法 aacbbx242 (注意在找 abc 时须先把方程化为一般形式
6、)4 用因式分解法求解一元二次方程 分解因式法 把方程的一边变成 0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。(主要包括“提公因式”与“十字相乘”)5 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系:当 b2-4ac0 时,方程有两个不等的实数根;当 b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根;当 b2-4ac0 时,方程无实数根。如果一元二次方程02cbxax的两根分别为 x1、x2,则有:acxxabxx2121。一元二次方程的根与系数的关系的作用:(1)已知方程的一根,求另一根;(2)不解方程,求二次方程的根 x1、x2的对称式的值,特别注意以下公式:2122122212)(xxxxxx 2
7、1212111xxxxxx 212212214)()(xxxxxx 21221214)(|xxxxxx|22)(|)|(|2121221221xxxxxxxx )(3)(21213213231xxxxxxxx 其她能用21xx 或21xx表达的代数式。(3)已知方程的两根 x1、x2,可以构造一元二次方程:0)(21221xxxxxx(4)已知两数 x1、x2的与与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方程0)(21221xxxxxx 的根 6 应用一元二次方程 在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤:设未知数(在设未知数时,大多数情况只要设问题为 x;但也有时也须根据已知条件及等量关系等
8、诸多方面考虑);寻找等量关系(一般地,题目中会含有一表述等量关系的句子,只须找到此句话即可根据其列出方程)。九年级数学上册知识点归纳北师大版 处理问题的过程可以进一步概括为:解答检验求解方程抽象分析问题 第三章 概率的进一步认识 用树状图或表格求概率 相关知识点链接:频数与频率 频数:在数据统计中,每个对象出现的次数叫做频数,频率:每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。概率的意义与大小:概率就就是表示每件事情发生的可能性大小,即一个时间发生的可能性大小的数值。必然事件发生的概率为 1;不可能事件发生的概率为 0;不确定事件发生的概率在 0 与 1 之间。【知识点 1】频率与概率的含义 在试验
9、中,每个对象出现的频繁程度不同,我们称每个对象出现的次数为频数,而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率,即频数频率总次数 把刻画事件 A发生的可能性大小的数值,称为事件 A发生的概率。【知识点 2】通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率 在进行试验的时候,当试验的次数很大时,某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。我们可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。【知识点 3】利用画树状图或列表法求概率(重难点)第四章 图形的相似 1 成比例线段 一、线段的比 1、如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB,CD 的长度分别就是 m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=
10、m:n,或写成nmBA、2、四条线段 a、b、c、d 中,如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比,即dcba,那么这四条线段 a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段、3、注意点:a:b=k,说明 a 就是 b 的 k 倍;由于线段 a、b 的长度都就是正数,所以 k 就是正数;比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;九年级数学上册知识点归纳北师大版 除了 a=b 之外,a:b b:a,ba与ab互为倒数;比例的基本性质:若dcba,则 ad=bc;若 ad=bc,则dcba 2 平行线分线段成比例 1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成
11、比例、如图 2,l1/l2/l3,则EFBCDEAB、二、黄金分割 1、如图 1,点 C把线段 AB分成两条线段 AC与 BC,如果ACBCABAC,那么称线段 AB被点 C黄金分割,点 C叫做线段 AB的黄金分割点,AC 与 AB的比叫做黄金比、1:618.0215:ABAC 2、黄金分割点就是最优美、最令人赏心悦目的点、3 相似多边形 1、一般地,形状相同的图形称为相似图形、2、对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形、相似多边形对应边的比叫做相似比、1、在相似多边形中,最为简单的就就是相似三角形、2、对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形、相似三角形对应边的比叫做相似比
12、、3、全等三角形就是相似三角的特例,这时相似比等于 1、注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上、4、相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比、5、相似三角形周长的比等于相似比、6、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方、4 探索三角形相似的条件 1、相似三角形的判定方法:一般三角形 直角三角形 基本定理:平行于三角形的一边且与其她两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似、两角对应相等;两边对应成比例,且夹角相等;三边对应成比例、一个锐角对应相等;两条边对
13、应成比例:a、两直角边对应成比例;b、斜边与一直角边对应成比例、_ 图 1 _ B_ C_ A _ 图 2 _ F _ E _ D _ C _ B _ A _ l _ 3_ l _ 2_ l _ 1九年级数学上册知识点归纳北师大版 2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例、如图 2,l1/l2/l3,则EFBCDEAB、3、平行于三角形一边的直线与其她两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似、5 相似三角形的判定定理的证明 6 利用相似三角形测高 7 相似三角形的性质 8 图形的位似 第五章 投影与视图 A)三视图 主视图从正面瞧到的图 左视图从左
14、面瞧到的图 俯视图从上面瞧到的图 画物体的三视图时,要符合如下原则:大小:长对正,高平齐,宽相等、虚实:在画图时,瞧的见部分的轮廓通常画成实线,瞧不见部分的轮廓线通常画成虚线、B)投影 物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就就是投影现象、太阳光线可以瞧成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。在同一时刻,物体高度与影子长度成比例、物体的三视图实际上就就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影、探照灯,手电筒,路灯,与台灯的光线可以瞧成就是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称 为中心投影 皮影与手影都就是在灯光照射下形成的影子、它们就是中心投影
15、。C)视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。、眼睛所在的位置称为视点,、由视点发出的光线称为视线,、眼睛瞧不到的地方称为盲区 第六章 反比例函数 知识点 1 反比例函数的定义 一般地,形如xky(k 为常数,0k)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解:x 就是自变量,y 就是 x 的反比例函数;自变量 x 的取值范围就是0 x 的一切实数,函数值的取值范围就是0y;比例系数0k 就是反比例函数定义的一个重要组成部分;九年级数学上册知识点归纳北师大版 反比例函数有三种表达式:xky(0k),1kxy(0k),kyx(定值)(0k);函数xky(0k)与ykx(0k)就是等价的,所
16、以当y 就是x 的反比例函数时,x 也就是y 的反比例函数。(k 为常数,0k)就是反比例函数的一部分,当k=0时,xky,就不就是反比例函数了,由于反比例函数xky(0k)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出 k 的值,从而确定反比例函数的表达式。知识点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数xky(0k)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出 k 的值,从而确定反比例函数的表达式。知识点 3 反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像就是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变
17、量函数中自变量0 x,函数值0y,所以它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤:列表;描点;连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点:列表时选取的数值宜对称选取;列表时选取的数值越多,画的图像越精确;连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线;画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。知识点 4 反比例函数的性质 关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表:反比例函数 xky(0k)k的 符号 0k 0k 九年级数学上册知识点归纳北师大版
18、 图像 性质 x的取值范围就是0 x,y的取值范围就是0y 当0k 时,函数图像的两个分支分别在第一、第三象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小。x的取值范围就是0 x,y的取值范围就是0y 当0k 时,函数图像的两个分支分别在第二、第四象限,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大。注意:描述函数值的增减情况时,必须指出“在每个象限内”否则,笼统地说,当0k 时,y 随 x 的增大而减小“,就会与事实不符的矛盾。反比例函数图像的位置与函数的增减性,就是有反比例函数系数 k 的符号决定的,反过来,由反比例函数图像(双曲线)的位置与函数的增减性,也可以推断出 k 的符号。如xky 在第一、第三象限,则可知0k。反比例函数xky(0k)中比例系数 k 的绝对值k的几何意义。如图所示,过双曲线上任一点 P(x,y)分别作 x 轴、y 轴的垂线,E、F分别为垂足,则OEPFSPEPFyxxy矩形k 反比例函数xky(0k)中,k越大,双曲线xky 越远离坐标原点;k越小,双曲线xky 越靠近坐标原点。双曲线就是中心对称图形,对称中心就是坐标原点;双曲线又就是轴对称图形,对称轴就是直线 y=x 与直线 y=x。