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1、九年级数学下册图形的相似和比例线段(教师版)知识点+详细答案 2 作者：日期：让更多的孩子得到更好的教育 图形的相似和比例线段【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、比例线段 1线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m
2、:n，或写成ambn 2成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段 3比例的基本性质：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（2）若a:b=b:c，则2b=ac（b称为a、c的比例中项）要点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；要点三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相
3、等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形 要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质（2）相似多边形对应边的比称为相似比【典型例题】类型一、比例线段 1.下列四组线段中，成比例线段的有()A3cm、4cm、5cm、6cm B 4cm、8cm、3cm、5cm C5cm、15cm、2cm、6cm D8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选 C.2.求证：如果，那么.让更多的孩子得到更好的教育 【答案】，在等式两边同加上 1，【总结】比例有合比性质如果，；分比性质如果，abcdbd；更比性质如果，abcd.举一反三：1、判断下列线段 a、b、c、d
4、是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=【答案】(1)，线段 a、b、c、d 不是成比例线段 (2)，线段 a、b、c、d 是成比例线段 2、已知线段a、b、c、d，满足acbd ，求证：acabdb.【答案】证明：设acbd=k=,=a bk c dk+=+=(b+d)a c bk dk k+c(+)=b+d+ak b dakb db 让更多的孩子得到更好的教育 类型二、相似图形 3.指出下列各组图中，哪组肯定是相似形_：(1)两个腰长不等的等腰三角形 (2)两个半径不等的圆 (3)两个面积不等的矩形 (4)两个边长不等的正方形【答案】(2)(
5、4).【解析】(1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.举一反三：如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是 1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型三、相似多边形 4.如图，已知四边形相似于四边形，求
6、四边形的周长.【答案】四边形相似于四边形 ，即 四边形的周长.5.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2AD，线段 EF=10，在 EF上取一点 M，分别以 EM、MF为一边作矩形 EMNH、MFGN，使矩形 MFGN 与矩形 ABCD 相似.令 MN=x，当 x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最大值？最大值是多少？让更多的孩子得到更好的教育 【答案】解：矩形 MFGN 与矩形 ABCD 相似 当时，S 有最大值，最大值为.举一反三：1、已知四边形与四边形相似，且.四边形的周长为 26.求四边形的各边长.【答 案】四 边 形与 四 边 形相 似，且 .又四边形的周长为 26 即四边形的
7、四边长为：.2、如图所示的相似四边形中，求未知边 x、y 的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得 ，解得 .3、某小区有一块矩形草坪长 20 米，宽 10 米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小 让更多的孩子得到更好的教育 路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.【答案】设小路宽为 x 米，则小路的外边缘围成的矩形的长为(20+2x)米，宽为(10+2x)米，将两个矩形的长与宽分别相比，得长的比为，而宽的比为，很明显，所以做不到.4、等腰梯形与等腰梯形相似，求出的长及梯形各角的度数.【答案】等腰梯形与等腰梯形相似 【巩固练习一】
8、一选择题 1.在比例尺为 11 000 000 的地图上，相距 3 cm的两地，它们的实际距离为（）A.3 km B.30 km C.300 km D.3 000 km 2.下列四条线段中，不能成比例的是 （）A.a2，b4，c3，d6 B.a，b，c1，d C.a6，b4，c10，d5 D.a，b2，c，d2 3.下列命题正确的是()A所有的等腰三角形都相似 B所有的菱形都相似 C所有的矩形都相似 D所有的等腰直角三角形都相似 4.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点()A(-2a，-2b)B(-a，-2b)C(-2b，-2
9、a)D(-2a，-b)让更多的孩子得到更好的教育 5.一个三角形三边的长分别为 3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是 21，则此三角形其它两边的和是（）A19 B17 C24 D21 6.ABC与A1B1C1相似且相似比为，A1B1C1与A2B2C2相似且相似比为，则ABC与A2B2C2的相似比为()A B C或 D 二.填空题 7.两地实际距离为 1 500 m，图上距离为 5 cm，这张图的比例尺为_.8.若，则_ 9判定两个多边形相似的方法是：当两个多边形的对应边_,对应角_时，两个多边形相似.10.已知2=,3xy则_,_,_.xyxxyyxyxy 11.两个三角形相似，其中一
10、个三角形两个内角分别是 40，60，则另一个三角形的最大角为_,最小角为_.12.如图：梯形 ADFE 相似于梯形 EFCB,若 AD=3，BC=4，则_.AEBE 三 综合题 13.已知357abc，求23abcac的值.14.如图，依次连接一个正方形各边的中点所形成的四边形与正方形相似吗？若相似，求出相似比；若不相似，说明理由.让更多的孩子得到更好的教育 15.市场上供应的某种纸有如下特征：每次对折后，所得的长方形均和原长方形相似，则纸张(矩形)的长与宽应满足什么条件？【答案与解析】一、选择题 1【答案】B【解析】图上距离实际距离比例尺 2【答案】C【解析】求出最大与最小的两数的积，以及余
11、下两数的积，看所得积是否相等来鉴别它们是否成比例 3【答案】D 4【答案】A 【解析】由图可知，小鱼和大鱼的相似比为 1：2，若将小鱼放大 1 倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.5【答案】C【解析】相似三角形对应边的比相等 6【答案】A 【解析】相似比 AB A1B1=，A1B1A2B2=，计算出 AB A2B2.二、填空题 7.【答案】.1：30 000 【解析】比例尺=图上距离实际距离.8.【答案】【解析】由可得，故填.9.【答案】成比例；相等.10.【答案】5 21,.3 55【解析】提示：设2.3,.xk yk即可得 让更多的孩子得到更好的教育 11.【答案】80，40.12.【答案】32
12、.【解析】因为梯形 ADFE 相似于梯形 EFCB，所以ADEFEFBC,即 EF=2 3,所以33.22 3AEADBEEF 三、解答题 13.【解析】设357abc=k 则=3,=5,=7ak bk ck 23abcac=3+10-213+7kkkkk=4-5 14.【解析】要探究正方形是否与四边形相似，需知道四边形是否是正方形，若是正方形，则两正方形一定相似，若不是正方形，则不相似，因为所有的正方形都是相似的.设 正 方 形的 边 长 为，由 题 意 可 知，同理 由，可得 同理45，四边形是正方形 正方形 与正方形相似，即两正方形的相似比是.15.【解析】如图，为了方便分析可先画出草图
13、，根据题意知两个矩形的长边之比应等于短边之比.让更多的孩子得到更好的教育 设矩形的长为，宽为，由相似多边形的特征得 :=2:1a b，即纸张的长与宽之比为2:1.【巩固练习二】一选择题 1.在比例尺为 11 000 000 的地图上，相距 3cm的两地，它们的实际距离为()A3 km B30 km C300 km D3 000 km 2.已知线段a、b、c、d满足=ab cd把它改写成比例式，其中错误的是（）A.:b cd a B.:a bc d C.:c ba d D.:a cd b 3.已知ABC的三边长分别为 6cm、7.5cm、9cm，DEF的一边长为 4cm，当DEF的另两边的长是
14、下列哪一组时，这两个三角形相似()A2cm，3cm B4cm，5cm C5cm，6cm D6cm，7cm 4.ABC与A1B1C1相似且相似比为，A1B1C1与A2B2C2相似且相似比为，则ABC与A2B2C2的相似比为()A B C或 D 5.下列两个图形：两个等腰三角形；两个直角三角形；两个正方形；两个矩形；两个菱形；两个正五边形.其中一定相似的有（）A.2 组 B.3组 C.4组 D.5组 6.一个钢筋三角架三边长分别是 20cm，50cm，60cm，现要做一个与其相似的三角架，只有长 30cm，50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）做为其他两边，则不同
15、的截法有（）A.一种 B.两种 C.三种 D.四种 二.填空题 7.小明有一张的地图，他想绘制一幅较小的地图，若新地图宽为 30cm，则新地图长为_cm.让更多的孩子得到更好的教育 8.ABC的三条边长分别为、2、，ABC的两边长分别为1 和，且ABC与ABC相似，那么ABC的第三边长为 _ 9 如图：梯形 ADFE 相似于梯形 EFCB,若 AD=3，BC=4，则_.AEBE 10.已知若-3=,=_;4x yxyy则若5-4=0,xy则x:y=_.11.如图：AB:BC=_,AB:CD=_,BC:DE=_,AC:CD=_,CD:DE=_.12.用一个放大镜看一个四边形 ABCD，若四边形的
16、边长被放大为原来的 10 倍，下列结论放大后的B是原来B的 10 倍；两个四边形的对应边相等；两个四边形的对应角相等，则正确的有 .三综合题 13.如果abcdkbcdacdabdabc ，一次函数ykxm经过点（-1,2），求此一次函数解析式.14.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2AD，线段 EF=10，在 EF上取一点 M，分别以 EM、MF为一边作矩形 EMNH、MFGN，使矩形 MFGN 与矩形 ABCD 相似.令 MN=x，当 x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最大值？最大值是多少？让更多的孩子得到更好的教育 15.从一个矩形中剪去一个尽可能大的正方形，如图所示，若剩下
17、的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与宽的比.【答案与解析】一、选择题 1.【答案】B【解析】图上距离实际距离=1：1 000 000.2.【答案】B 3【答案】C 【解析】设DEF的另两边的长分别为 xcm，ycm，因为ABC与DEF相似，所以有下列几种情况：当时，解得；当时，解得；当时，解得；所以选 C.4【答案】A 【解析】相似比 AB A1B1=，A1B1A2B2=，计算出 AB A2B2.5【答案】A【解析】只有两个正方形和正五边形相似.6【答案】B 二、填空题 7.【答案】40.【解析】提示：两地图形状相同，是相似形，所以它们对应边的比相等 8.【答案】【解析】提示：ABC已知两边之比
18、为1：，在ABC中找出两边、，它们长度之比也为 1，根据相似三角形对应边的对应关系，求出相似比.9.【答案】32.让更多的孩子得到更好的教育 【解析】因为梯形 ADFE 相似于梯形 EFCB，所以ADEFEFBC,即 EF=2 3,所以33.22 3AEADBEEF 10.【答案】7 4;.4 5 11.【答案】1:3;1:2;1:2;2:1;1:3.12.【答案】三、解答题 13.【解析】abcdkbcdacdabdabc +1=+1=+1=+1=+1+cabcdkb c da c da b da b+=+1+ca b c da b c da b c da b c dkb c da c da b da b 则分两种情况：（1）+=0a b c d，即+1=0k,=-1k (2)+=+=+=+b c d a c d a b d a b c,即=,a b c d1=3k则 所以当=-1k，过点（-1,2）时，=-+1yx 当1=3k，过点（-1,2）时，17=+33yx.14.【解析】矩形 MFGN 与矩形 ABCD 相似 当时，S 有最大值，为.15.【解析】根据矩形相似的性质找出相应的解析式求解.设原矩形的长为 x，宽为 y，则剩下矩形的长为 y，宽为 x-y 由题意，得 令则，让更多的孩子得到更好的教育 .又，原矩形的长与宽之比为.