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1、名师总结 优秀知识点 植树问题的公式知识点：一、植树问题分两种情况，不封闭与封闭路线。不封闭的植树路线.若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多 1.全长、棵数、株距三者之间的关系是：棵数段数1全长株距1 全长株距(棵数1)株距全长(棵数1)如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少 1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长株距棵数；棵数段数全长株距；株距全长棵数.如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比中还少 1 棵.棵数段数1全长株距1.株距全长(棵数1).全长株距(棵数+1)封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两
2、端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.棵数段数周长株距.二、解植树问题的三要素 解决植树问题，首先要牢记三要素：总路线长、间距（棵距）长、棵数只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个 三、方阵问题 明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.名师总结 优秀知识点 每边的个数总数41”；每向里一层每边棋子数减少2；掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。板块一、非封闭的植树问题【例 1】大头儿子的学校旁边的一条路长 400 米，在路的一边从头到尾每隔 4 米种一棵树，一共能种几棵树？从图上可以看出，每隔 4 米种一棵树，如果 20 米长的路的一边共种了 6 棵树，这是
3、因为我们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多 1，所以列式为：400 4+1=101（棵）.【例 2】从小熊家到小猪家有一条小路，每隔 45 米种一棵树，加上两端共 53 棵；现在改成每隔 60 米种一棵树求可余下多少棵树?【解析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.从小熊家到小猪家的距离是：45(53-1)=2340(米)，间隔距离变化后，两地之间种树：2340 60+1=40(棵)，所以可余下树：53-40=13(棵)，综合算式为：53-45(53-1)60+1=13(棵).【例 3】马路的一边，相隔 8 米有一棵杨树，小强乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到第
4、153 棵树共花了 4 分钟，小强从家到学校共坐了半小时的汽车，问：小强的家距离学校多远？【解析】第一棵树到第 153 棵树中间共有 153-1=152（个）间隔，每个间隔长 8 米，所以第一棵树到第 153 棵树的距离是：152 8=1216（米），汽车经过 1216 米用了 4 分钟，1 分钟汽车经过：1216 4=304（米）,半小时汽车经过：304 30=9120（米），即小明的家距离学校 9120米.【例 4】一位老爷爷以匀速散步，从家门口走到第 11 棵树用了 11 分钟，这位老爷爷如果走 24 分钟，应走到第几棵树？（家门口没有树）【解析】从家门口走到第 11 棵树是走了 11
5、个间隔，走一个间隔所用时间是：11 11=1（分钟），那么走24 分钟应该走了：24 1=24（个）间隔，所以老爷爷应该走到了第 24 棵树.【例 5】晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走 36 级台阶如果从第一层走到第六层需要走多少级台阶?(各层楼之间的台阶数相同)【解析】题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系线段示意图如下：解：每相邻两层楼之间有多少级台阶?全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的数全长株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点 36(31)18
6、(级)从第一层走到第六层共多少级台阶?18(61)90 (级)【例 6】元宵节到了，实验中学学校大门上挂了红绿两种颜色的彩灯，从头到尾一共挂了 21 只，每隔 30 分米挂一只红灯，相邻的 2 只红灯之间挂了一只绿灯，问实验中学学校的大门有多宽？【解析】一共挂了 21 只彩灯说明彩灯中间的间距有：21-1=20（个），每隔 30 分米挂一只红灯，相邻的 2只红灯之间挂了一只绿灯，说明每个间距的长是：30 2=15（分米），所以学而思学校的大门宽度为：15 20=300（分米）【例 7】有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续 3 秒如果敲响 6 下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要
7、 43 秒现在敲响 12 下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间？【解析】每次敲完以后，声音持续 3 秒，那么从敲完第一下到敲完第 6 下，一共经历的时间是43340（秒），而这之间只有615（个）间隔，所以每个间隔时间是4058（秒），现在要敲响 12下，所以一共经历的时间是 11 个间隔和 3 秒的持续时间，一共需要时间是：11 8391 （秒）【例 8】小明家的小狗喝水时间很规律，每隔 5 分钟喝一次水，第一次喝水的时间是 8 点整，当小狗第20 次喝水时，时间是多少？【解析】第 20 次喝水与第 1 次喝水之间有201 19(个)间隔，因为小狗每隔 5 分钟喝一次，所
8、以到第 20次喝水中间间隔的时间是：19595(分钟)，也就是 1 个小时 35 分钟，所以小狗第 20 次喝水时时间是：9 时 35 分【例 9】裁缝有一段 16 米长的呢子，每天剪去 2 米，第几天剪去最后一段？【解析】如果呢子有 2 米，不需要剪；如果呢子有 4 米，第一天就可以剪去最后一段，4 米里有 2 个 2 米，只用 1 天；如果呢子有 6 米，第一天剪去 2 米，还剩 4 米，第二天就可以剪去最后一段，6 米里有 3 个 2 米，只用 2 天；如果呢子有 8 米，第一天剪去 2 米，还剩 6 米，第二天再剪 2 米，还剩 4 米，这样第三天即可剪去最后一段，8 米里有 4个 2
9、 米，用 3 天，我们可以从中发现规律：所用的天数比 2 米的个数少 1因此，只要看 16 米里有几个 2 米，问题就可以解决了 16 米中包含 2 米的个数：1628（个）剪去最后一段所用的天数：8 17（天），所以裁缝第 7 天剪去最后一段【例 10】有一根 180 厘米长的绳子，从一端开始每 3 厘米作一记号，每 4 厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？【解析】每 3 厘米作一记号，共有记号：1803 159 （个）每 4 厘米作一记号，共有记号：1804144 （个）全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的数全长株距株距全长棵数全长株距
10、棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点 其中重复的共有：1 8 01 211（个）所以记号共有：59441489（个）绳子共被剪成了：89190（段）【例 11】在一根长 100 厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一个红色点，同时自右向左每隔 5 厘米也染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，那么长度是 4 厘米的短木棍有多少根？【解析】由于 100 是 5 的倍数，所以自右向左每隔 5 厘米染一个红点相当于自左向右每隔 5 厘米染一个红点而每隔 30 厘米可得到 2 个 4 厘米的短木棍最后10030310（厘米）
11、也可以得一个短木棍，故共有2 3 17 （个）4 厘米的短棍【例 12】同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？【解析】带领学生画图求解 一共有几行？列式：4+6+1=11（行）一共有几列？列式：53 17 （列）一共有多少人？列式：11 777（人）【例 13】北京市国庆节参加游行的总人数有 60000 人，这些人平均分为 25 队，每队又以 12 人为一排列队前进排与排之间的距离为 1 米，队与队之间的距离是 4 米，游行队伍全长多少米？【解析】这道题仍是植树问题的逆解题，它与植树问题中已知树的棵数
12、，树间的距离，求树列的全长相当逆解时要注意段数比树的棵数少 1所以，每队的人数是：60000252400(人)每队可以分成的排数是：2 4 0 01 2(排)200 排的全长米数是：1(2 0 01)1 9(米)25 个队的全长米数是：199254975(米)25 个队之间的距离总米数是：4(251)96(米)游行队伍的全长是：4975965071(米)【例 14】学而思学校三年级运动员参加校运动会入场式，组成66的方块队(即每行每列都是 6 人)，前后每行间隔为 2 米他们以每分钟 40 米的速度，通过长 30 米的主席台，需要多少分钟？全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端
13、植树时的数全长株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点【解析】通过下表理清解题思路 方块队通过主席台需要多少分钟？通过的路程总长方块队行进的速度(40 米分钟)方块队长+主席台长(30 米)？运用植树问题的逆解思路，即前后每行间隔长间隔数=方块队长 方块队长：2(61)10 (米)，方块队通过主席台行进路程总长：103040(米)，方块队通过主席台需要：40401(分钟)，综合算式：2(61)30401 (分钟)【巩固】1 一条公路的一旁连两端在内共植树 91 棵，每两棵之间的距离是 5 米，求公
14、路长是多少米？【解析】根据植树问题得到：91 15450 （米）【巩固】2 从甲地到乙地每隔 40 米安装一根电线杆，加上两端共 51 根；现在改成每隔 60 米安装一根电线杆求还需要多少根电线杆?全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的数全长株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点【解析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.解：从甲地到乙地距离多少米?40(511)2000(米)间隔距离变化后，甲乙两地之间安装多少根电线杆?200020100(根)，1001101（根）还
15、需要下多少根电线杆?1015150(根)综合算式：40(511)2015150 (根)【巩固】3 马路的一边每相隔 9米栽有一棵柳树.张军乘汽车 5分钟共看到 501 棵树.问汽车每小时走多少千米？【解析】张军 5 分钟看到 501 棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.解：5 分钟汽车共走了：9(5011)4500(米)，汽车每分钟走：45005900(米)，汽车每小时走：9 0 06 05 4 0 0(米)54(千米)列综合式：9(5 0 11)56 01 0 0 0 (千米)【巩固】5 丁丁和爸爸两个人比赛跑楼梯，从一层开始比赛，丁丁到四层时，爸爸到三层
16、，如此算来，丁丁到 16 层时，爸爸跑到了几层？【解析】丁丁实际跑了三层的距离，爸爸跑了两层的距离，到 16 层需要跑 15 层的距离，所以丁丁跑了1535（个）三层的距离，爸爸同时跑了 5 个两层的距离所以爸爸跑到了521 11 （层）【巩固】7 有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，六点时，5 秒钟敲完，那么十二点时，几秒钟才能敲完？【解析】六点时敲 6 下，中间共有 5 个间隔，所以每个时间间隔是551（秒），十二点要敲 12 下，中间有 11 个时间间隔，所以十二点要用：11 1 11（秒）才能敲完 【巩固】8 科学家进行一项试验，每隔 5 小时做一次记录，做第 12 次记录时，
17、挂钟时针恰好指向 9，问全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的数全长株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点 做第一次记录时，时针指向几？【解析】我们先要弄清楚从第一次记录到第十二次记录中间经过的时间是多少第 1 次到第 12 次有 11个间隔：5 1155（小时）然后我们要知道 55 小时，时针发生了怎样的变化时针每过 12小时就会转一圈回到原来的状态，所以时针转了 4 圈以后，又经过了 7 个小时55 1247（小时）而这时时针指向 9 点，所以原来时针指向 2 点 【
18、巩固】9 一根木料在 24 秒内被锯成了 4 段，用同样的速度锯成 5 段，需要多少秒？【解析】锯的次数总比锯的段数少 1因此，在 24 秒内锯了 4 段，实际只锯了 3 次，这样我们就可以求出锯一次所用的时间了，又由于用同样的速度锯成 5 段；实际上锯了 4 次，这样锯成 5 段所用的时间就可以求出来了所以锯一次所用的时间：24(41)8 （秒），锯 5 段所用的时间：85132 （）（秒）【巩固】11 一群小猴排成整齐的队伍做操，长颈鹿站在队伍旁边，一下子看到了他的好朋友金丝猴长颈鹿数了数，金丝猴的左边有4只猴，右边也有4只猴，前面有5只猴，后面也有5只猴小朋友，你能算出有多少只猴子在做操
19、吗？【解析】一共有多少行？列式：5+5+1=11（行）【解析】一共有多少列？列式：4+4+1=9（列）【巩固】12 一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？【解析】车队间隔共有30129(个)，每个间隔 5 米，所以，间隔的总长为(301)5145 (米)，而车身的总长为304120(米)，故这列车队的总长为(301)5304265 (米)由于车队要行265535800(米)，且每秒行 2 米，所以车队通过检阅场地需要，(265535)2400(秒)6分 40
20、秒 13 有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5 分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要 15 分钟有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上，他又遇到了 10 辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候，恰好又有一辆车从甲站开出，问：他从乙站到甲站用了多少分钟？这个人前后一共看见了 12 辆电车，每两辆车的间隔是 5 分钟，开出 12 辆电车共有121 11（个）间隔，这样可以计算出从第 1 辆电车开出到第 12 辆电车开出所用的时间，共经了5 1155（分钟），由于他出发的时候，第 1 辆电车巳到达乙站，所以这个人从乙站到甲站用了5515
21、40（分钟）全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的数全长株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点 植树问题练习题一 1 一条公路的一旁连两端在内共植树 91 棵，每两棵之间的距离是 5 米，求公路长是多少米？2 从甲地到乙地每隔 40 米安装一根电线杆，加上两端共 51 根；现在改成每隔 60 米安装一根电线杆求还需要多少根电线杆?全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的数全长株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只
22、要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点 3 马路的一边每相隔 9 米栽有一棵柳树.张军乘汽车 5 分钟共看到 501 棵树.问汽车每小时走多少千米？4 丁丁和爸爸两个人比赛跑楼梯，从一层开始比赛，丁丁到四层时，爸爸到三层，如此算来，丁丁到 16层时，爸爸跑到了几层？5 有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，六点时，5 秒钟敲完，那么十二点时，几秒钟才能敲完？6 科学家进行一项试验，每隔 5 小时做一次记录，做第 12 次记录时，挂钟时针恰好指向 9，问做第一次记录时，时针指向几？7 一根木料在 24 秒内被锯成了 4 段，用同样的速度锯成 5 段，需要多少秒？全长
23、棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的数全长株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点 8 一群小猴排成整齐的队伍做操，长颈鹿站在队伍旁边，一下子看到了他的好朋友金丝猴长颈鹿数了数，金丝猴的左边有4只猴，右边也有4只猴，前面有5只猴，后面也有5只猴小朋友，你能算出有多少只猴子在做操吗？9 一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？10 有一路电车的起
24、点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5 分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要 15 分钟有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上，他又遇到了 10 辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候，恰好又有一辆车从甲站开出，问：他从乙站到甲站用了多少分钟？板块二、封闭的植树问题（方阵）【例 15】小强家附近的公园里有一个圆形池塘，它的周长 1500 是米，每隔 3 米栽种一棵树问：共需树苗多少株？【解析】因为圆形池塘是一个封闭的模型，所以我们直接运用公式棵数段数周长株距，从而有树苗：1500 3500（株）.【例 16】公园内有一个圆形花坛，绕着它走一圈是
25、120 米 如果沿着这一圈每隔 6 米栽一棵丁香花，全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的数全长株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点 再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽 2 株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？两株相邻的丁香花之间的 2 株月季花相距多少米？【解析】在圆周上栽树时，由于开始栽的一棵与依次栽的最后一棵将会重合在一起，所以可栽的株数正好等于分成的段数由于每相邻的两株丁香花之间等距离地栽 2 株月季花，所以栽月季花的株数等于 2 乘以段数的积 要求
26、两株相邻的丁香花之间的 2 株月季花相距多少米？需要懂得两株相邻的丁香花之间等距离地栽 2 株月季花，就是说这 4 株花之间有 3 段相等的距离.以 6 米为一段，圆形花坛一圈可分的段数，即是栽丁香花的株数：120 620(株)，栽月季花的株数是：2 2040(株)，每段上丁香花和月季花的总株数是：224(株)，4 株花栽在 6 米的距离中，有 3 段相等的距离，每两株之间的距离是：6(4-1)2(米).【例 17】大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长他俩的起点和走的方向完全相同，小明的平均步长是 54 厘米，爸爸的平均步长是 72 厘米，由于两人的脚印有重合，并且他们走了一圈后
27、都回到起点，这时雪地上只留下 60 个脚印，这个花圃的周长是多少厘米？【解析】通过画图使学生明白从第一个重合点（起点）到下一个重合点之间的距离是 216 厘米，216544，216723，从而知在两个重合点之间，爸爸留下脚印 3 个，小明留下脚印 4 个，去掉一个重合的脚印，共留下脚印3416 (个)，因为从起点到最后雪地上共留下脚印 60 个，所以花圃的周长是216(606)2160（厘米）【例 18】20 名运动员，骑摩托车围绕体育场的环形跑道头尾相接作表演，每辆车长 2 米，前后两辆车相距 18 米，这列车队长多少米？如果每辆车的车速为每秒 12 米，这个车队经过长为 38 米的主席台需
28、要多长时间？【解析】方法一：头尾相接所以封闭型，有 20 个间隔，车队长即为环形，跑道长：18 202 20400（米），通过时：400381236（秒）。方法二：20 名运动员共有 20 辆摩托车，那么他们之间一共有 19 个间隔，这个车队的长由 20 辆车长加上 19 个间隔组成20 辆车的长度是：20240(米)19 个间隔的总长度为：19 18342(米)所以这个车队的长度为：40342382(米)(当然这一问也可以这样考虑：把一辆车跟一个间隔看成一个整体，那么这个车队长：19202382(米)第二问是一个行程问题，穿过主席台实际上走的路程是主席台长加上车队的长度，所以车队走的总路程为
29、38238420(米)，又因为车队的速度为每秒 12 米，所以用的时间为4201235(秒)全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的数全长株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点 【例 19】一个街心花园如右图所示它由四个大小相等的等边三角形组成已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有 9 棵花问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？【解析】大三角形三条边上共栽花：（9 211）348（棵），中间画斜线小三角形三条边上栽花：（92）321（棵），整个花坛
30、共栽花：482169（棵）.【例 20】正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔 5 米.甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去，甲的速度是乙的 2 倍，乙在拐了一个弯之后的第 5 棵树与甲相遇（把角上的树看作第一棵树）.操场四周栽了多少棵树？【解析】因为甲的速度是乙的两倍，乙走了操场的一条边，甲走了两条边，乙拐了一个弯之后走到第 5 棵树，实际走了 4 个间隔，那么甲应该走了 8 个间隔，相遇的树就是甲拐弯以后走的第 9 棵树，所以这一边有 9+4=13（棵）树.操场周围的树一共有（13-1）4=48（棵）.【巩固】15 周叔叔家有一个长 40 米，宽 30 米的长方形鱼
31、塘，他想沿塘每隔 5 米栽一棵柳树，需要栽多少棵柳树？【解析】40302140（）（米），140528（棵）【巩固】16 一个圆形花坛，周长是 180 米.每隔 6 米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？【解析】在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数=段数.由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每 6 米之中共有 3 棵花，且月季花棵数是芍药的 2 倍.解：共可栽芍药花：180630(棵)共种月季花：2 3060(棵)两种花共：306090(棵)全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的
32、数全长株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点 两棵花之间距离：180902(米)相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是 2 米或 4 米.【巩固】17 园林工人要在周长 300 米的圆形花坛边等距离地栽上树.他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完 30 个坑时，突然接到通知：改为每隔 5 米栽一颗树.这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？【解析】这道题的关键就在之间每 3 米一个，已经挖的坑，和后来改成 5 米挖一个坑，有多少个是重复不需要挖的，那么一步一步
33、分析如下：(1)从第 1 个坑到第 30 个坑，共有多长？(301)387 (米)(2)改为“每 5 米栽一棵树”，有多少坑仍然有用？8 71 551 2 516(个)(3)改为“每 5 米栽一棵树”，一共应挖多少个坑？300560(个)(4)还要挖多少个？6 065 4(个)【巩固】18 周叔叔家有一个长 40 米，宽 30 米的长方形鱼塘，他想沿塘每隔 5 米栽一棵柳树，需要栽多少棵柳树？【解析】40302140（）（米），140528（棵）【巩固】19 一个圆形花坛，周长是 180 米.每隔 6 米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵
34、月季之间的株距是多少米？【解析】在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数=段数.由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每 6 米之中共有 3 棵花，且月季花棵数是芍药的 2 倍.解：共可栽芍药花：180630(棵)共种月季花：2 3060(棵)两种花共：306090(棵)两棵花之间距离：180902(米)全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的数全长株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点 相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是 2
35、米或 4 米.【巩固】20 园林工人要在周长 300 米的圆形花坛边等距离地栽上树.他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完 30 个坑时，突然接到通知：改为每隔 5 米栽一颗树.这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？【解析】这道题的关键就在之间每 3 米一个，已经挖的坑，和后来改成 5 米挖一个坑，有多少个是重复不需要挖的，那么一步一步分析如下：(1)从第 1 个坑到第 30 个坑，共有多长？(301)387 (米)(2)改为“每 5 米栽一棵树”，有多少坑仍然有用？8 71 551 2 516(个)(3)改为“每 5 米栽一棵树”，一共应挖多少个坑？300560(个)(4)还要挖多少个？
36、6 065 4(个)板块二、封闭的植树问题（方阵）【例 21】小强家附近的公园里有一个圆形池塘，它的周长 1500 是米，每隔 3 米栽种一棵树问：共需树苗多少株？【解析】因为圆形池塘是一个封闭的模型，所以我们直接运用公式棵数段数周长株距，从而有树苗：1500 3500（株）.【例 22】公园内有一个圆形花坛，绕着它走一圈是 120 米 如果沿着这一圈每隔 6 米栽一棵丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽 2 株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？两株相邻的丁香花之间的 2 株月季花相距多少米？【解析】在圆周上栽树时，由于开始栽的一棵与依次栽的最后一棵将会重合在一起，所以可栽的
37、株数正好全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的数全长株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点 等于分成的段数由于每相邻的两株丁香花之间等距离地栽 2 株月季花，所以栽月季花的株数等于 2 乘以段数的积 要求两株相邻的丁香花之间的 2 株月季花相距多少米？需要懂得两株相邻的丁香花之间等距离地栽 2 株月季花，就是说这 4 株花之间有 3 段相等的距离.以 6 米为一段，圆形花坛一圈可分的段数，即是栽丁香花的株数：120 620(株)，栽月季花的株数是：2 2040(株)，每段
38、上丁香花和月季花的总株数是：224(株)，4 株花栽在 6 米的距离中，有 3 段相等的距离，每两株之间的距离是：6(4-1)2(米).【例 23】大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长他俩的起点和走的方向完全相同，小明的平均步长是 54 厘米，爸爸的平均步长是 72 厘米，由于两人的脚印有重合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只留下 60 个脚印，这个花圃的周长是多少厘米？【解析】通过画图使学生明白从第一个重合点（起点）到下一个重合点之间的距离是 216 厘米，216544，216723，从而知在两个重合点之间，爸爸留下脚印 3 个，小明留下脚印 4 个，去掉一个重合的脚
39、印，共留下脚印3416 (个)，因为从起点到最后雪地上共留下脚印 60 个，所以花圃的周长是216(606)2160（厘米）【例 24】20 名运动员，骑摩托车围绕体育场的环形跑道头尾相接作表演，每辆车长 2 米，前后两辆车相距 18 米，这列车队长多少米？如果每辆车的车速为每秒 12 米，这个车队经过长为 38 米的主席台需要多长时间？【解析】方法一：头尾相接所以封闭型，有 20 个间隔，车队长即为环形，跑道长：18 202 20400（米），通过时：400381236（秒）。方法二：20 名运动员共有 20 辆摩托车，那么他们之间一共有 19 个间隔，这个车队的长由 20 辆车长加上 19
40、 个间隔组成20 辆车的长度是：20240(米)19 个间隔的总长度为：19 18342(米)所以这个车队的长度为：40342382(米)(当然这一问也可以这样考虑：把一辆车跟一个间隔看成一个整体，那么这个车队长：19202382(米)第二问是一个行程问题，穿过主席台实际上走的路程是主席台长加上车队的长度，所以车队走的总路程为全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的数全长株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点 38238420(米)，又因为车队的速度为每秒 12 米，所以用
41、的时间为4201235(秒)【例 25】一个街心花园如右图所示它由四个大小相等的等边三角形组成已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有 9 棵花问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？【解析】大三角形三条边上共栽花：（9 211）348（棵），中间画斜线小三角形三条边上栽花：（92）321（棵），整个花坛共栽花：482169（棵）.【例 26】正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔 5 米.甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去，甲的速度是乙的 2 倍，乙在拐了一个弯之后的第 5 棵树与甲相遇（把角上的树看作第一棵树）.操场四周栽了多少棵树？【解析】
42、因为甲的速度是乙的两倍，乙走了操场的一条边，甲走了两条边，乙拐了一个弯之后走到第 5 棵树，实际走了 4 个间隔，那么甲应该走了 8 个间隔，相遇的树就是甲拐弯以后走的第 9 棵树，所以这一边有 9+4=13（棵）树.操场周围的树一共有（13-1）4=48（棵）.板块三、方阵问题【例 27】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为 60 人问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？【解析】根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数41，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了所以方阵最外层每边人数：6041 16 (人)，整个方阵共有学生人数：
43、16 16256(人)【巩固】某小区要对一块空地进行绿化，把这些树种成方阵的样子最外面一周有 60 棵树问这个方阵外层每边有多少棵树？这块空地一共种了多少棵树？【解析】根据四周棵数和每边棵数的关系：每边棵数四周棵数4 1，可以求出方阵最外层每边棵数 那么整个方阵队列的总人数就可以解出 方阵最外层每边棵数：604 1 16 (棵)整个方阵共有树：16 16256(棵).全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的数全长株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点 【巩固】新学期开始，手
44、持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？【解析】先让学生自己思考，待大家都有结果后，让学生思考一个问题：相邻两层差几个人外层134448 人，内外相差8人（教师可举例说明），内层48840 人，共88人 【巩固】明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了40个棋子，求最外层每边有多少棋子？如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子？【解析】有前一题基础，可让学生自己思考解决 首先根据“每边的个数总数41”求出每边的棋子数：4041 11（个），根据每向里一层每边棋子数减少2，求出最外面数第二层中每边各有：112 9（个）棋子，
45、利用求实心方阵总个数的方法就可以求出还需：9 9 81（个）棋子 【例 28】节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外层的一层每边摆了12盆花，一共3层，一共用去多少盆花？【解析】让学生利用上题思考结果加以解决(法1)不论是空心方阵还是实心方阵，每向里一层，每边的花盆就少2个，每层的花盆就少8个，因此可以依次求出每层花盆的个数 最外层有花盆:121444 （）(盆)，第二层有:44836(盆)，第三层有:368=28(盆)，共有:443628=108(盆)(法2)将三层花盆分成四块，形成四个相等的长方形它们的长是123（）个，宽是3个，(123)327 个，即每个长方形中包括27个
46、花盆，再将结果乘以4就得到总数是108个，于是我们可以总结为:空心方阵中点的总个数=(最外层每边的个数-层数)层数4(法3)也可以将这种情况看作从一个大的实心方阵中取出一个小的实心方阵 【例 29】在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共多少人？【解析】根据最外层和最内层人数，可以分别求出内外层每边的人数，一个空心方阵，可以看做从一个最外层有64人的实心方阵中，减去了一个小方阵外层每边人数：6441 17 （人）内层每边全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的数全长株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距
47、棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点 人数：32419 （人），空心方阵人数：17 17(92)(92)240 （人）【例 30】晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，外层每边有 14 个棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？【解析】如图所示，方阵每向里面一层，每边的个数就减少 2 个知道最外面一层每边放 14 个棋子，就可以求出第二层每边的个数知道各层每边的个数，就可以求出总数(141)452 (个)，(142 1)444 (个)524496(个)，一共用了 96 个棋子 【巩固】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子 14
48、个晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？【解析】方阵每向里面一层，每边的个数就减少 2 个知道最外面一层每边放 14 个，就可以求第二层及第三层每边个数知道各层每边的个数，就可以求出各层总数最外边一层棋子个数：(141)452 (个)，第 二 层 棋 子 个 数：(1421)444 (个)，第 三 层 棋 子 个 数：(14221)436 (个)摆这个方阵共用棋子：524436132(个)还可以这样想：中空方阵总个数(外层每边个数一层数)层数4 进行计算，得(143)34132 (个)【例 31】二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是
49、17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？【解析】可先让学生自己画图实践，从 3 乘 3 的方阵变成 4 乘 4 的如何进行，掌握画法后再来思考这题 因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是17人，因有1人是既在他所在的行，又在他所在的列若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，则原来一行或一列的人数可求参加健美操表演的人数可求 列式：(171)21628 (人)，8 864(人)【巩固】四年级一班同学参加了广播操比赛，排成每行8人，每列8人的方阵，问方阵中共有多少学生？如果去掉一行一列还剩多少同学？全长棵数如果题目中要求在路线的一端植树则棵数就比在两端植树时的数全长
50、株距株距全长棵数全长株距棵数封闭的植树路线在圆正方形长方线长间距棵距长棵数只要知道这三个要素中任意两个要素就可以求出第名师总结 优秀知识点【解析】可以根据“实心方阵总人数每边人数每边人数”得到8行8列的实心方阵人数为：8 8 64（人），去掉一行一列后，还剩7行7列，也可通过同样的方法得出总人数为：77=49（人）【巩固】某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共17人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现共有多少战士？【解析】后来的战士加入方阵时，是在原方阵外侧横竖方向各增加一排，那么有一个战士要站在这两排的交界处，计算横排竖排的人数时，对他进行了重复计算，也就是说现在每一排实际人数是1712