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1、学习必备 欢迎下载 第一讲 平面、空间两条直线 知识梳理 1.平面的基本性质，即三个公理及推论.1）公理 1：如果一条直线上两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这条直线上。公理 1 的作用：它是用直线鉴别平面的方法。它是证明直线在平面内的重要依据。2）公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么有且只有一条通过这个点的公共直线。公理 2 的作用：它是辨别两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过交点。它是判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。3）公理 3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论 1：经过一条直线和这条直线外
2、一点，有且只有一个平面。推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论 3：经过两条平行直线有切只有一个平面。公理 3 及推论的作用：它是在空间中确定平面的依据。它是证明两平面重合的依据。它为立体几何问题转化成平面几何问题提供了理论依据和具体方法。2.公理 4 及等角定理.公理 4：平行于同一直线的两直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边平行且方向相同，那么这两个角相等。3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点。点击双基 1.若 a，b 是异面直线，则只需具备的条件是 A.a平面，b平
3、面，a 与 b 不平行 B.a平面，b平面，=l，a 与 b 无公共点 C.a直线 c，bc=A，b 与 a 不相交 D.a平面，b 是的一条斜线 答案：C 2.如下图，直线a、b 相交于点O 且a、b 成60角，过点O 与a、b 都成60角的直线有 O60ab ABCDES ADBCBCD1111 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析：在 a、b 所确定的平面内有一条，平面外有两条.学习必备 欢迎下载 答案：C 3.（20XX 年北京朝阳区模拟题）如图，正四面体 SABC 中，D 为 SC 的中点，则 BD 与 SA 所成角的余弦值是 A.33 B.32 C.63 D.62
4、解析：取 AC 的中点 E，连结 DE、BE，则 DESA，BDE 就是 BD 与 SA所成的角.设 SA=a，则 BD=BE=23 a，DE=21 a，cosBDE=DEBDBEDEBD2222=63.答案：C 4.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，那么 （1）哪些棱所在直线与直线 BA1成异面直线？_.（2）直线 BA1与 CC1所成角的大小为_.（3）直线 BA1与 B1C 所成角的大小为_.（4）异面直线 BC 与 AA1的距离为_.（5）异面直线 BA1与 CC1的距离是_.答案：（1）D1C1、D1D、C1C、C1B1、DC、AD （2）45 （3）60 （4）a
5、 （5）a 5.（20XX 年全国）正六棱柱 ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为 1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线 E1D 与 BC1所成的角是_.解析：连结 FE1、FD，则由正六棱柱相关性质可得 FE1BC1，在EFD 中，EF=ED=1，FED=120，FD=120cos222EDEFEDEF=3.在EFE1和EE1D 中，易得 E1F=E1D=1)2(2=3，E1FD 是等边三角形，FE1D=60.而FE1D 即为 E1D 与 BC1所成的角.答案：60 说明：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成角的求法.典例剖析【例 1】如下图，四面体 ABCD 中，E、G
6、分别为 BC、AB 的中点，F 在 CD 上，H 在 AD 上，且有 DFFC=23，DHHA=23.求证：EF、GH、BD 交于一点.ABCDEFGHO 证明：连结 GE、HF，面内的重要依据公理如果两个平面有一个公共点那么有且只有一条通过线上即证若干个点共线的重要依据公理经过不在同一条直线上的三点有及推论的作用它是在空间中确定平面的依据它是证明两平面重合的依据学习必备 欢迎下载 E、G 分别为 BC、AB 的中点，GEAC.又DFFC=23，DHHA=23，HFAC.GEHF.故 G、E、F、H 四点共面.又EF 与 GH 不能平行，EF 与 GH 相交，设交点为 O.则 O面 ABD，O
7、面 BCD，而平面 ABD平面 BCD=BD.EF、GH、BD 交于一点.评述：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.【例 2】A是BCD 平面外的一点，E、F 分别是 BC、AD 的中点，ABDEFG（1）求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；（2）若 ACBD，AC=BD，求 EF 与 BD 所成的角.（1）证明：用反证法.设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即AD 与 BC 共面，所以 A、B、C、D 在同一平面内，这与 A 是BCD 平面外的一点相矛盾.故直线 EF与 BD 是异面直
8、线.（2）解：取 CD 的中点 G，连结 EG、FG，则 EGBD，所以相交直线 EF 与 EG 所成的锐角或直角即为异面直线 EF 与 BD 所成的角.在 RtEGF 中，求得FEG=45，即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45.特别提示 证明两条直线是异面直线常用反证法；求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为 90；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）证算”.注意，异面直线所成角的范围是（0，2.【例 3】长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 AB=a，BC=b，AA1=c，且 ab，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB
9、与 CC1；AB与 A1C1；AB 与 B1C.（2）异面直线 D1B 与 AC 所成角的余弦值.（1）解：BC 为异面直线 AB与 CC1的公垂线段，故 AB 与 CC1的距离为 b.AA1为异面直线 AB与 A1C1的公垂线段，故 AB与 A1C1的距离为 c.过 B 作 BEB1C，垂足为 E，则 BE 为异面直线 AB 与 B1C 的公垂线，BE=CBBCBB11=22cbbc，即 AB与 B1C 的距离为22cbbc.面内的重要依据公理如果两个平面有一个公共点那么有且只有一条通过线上即证若干个点共线的重要依据公理经过不在同一条直线上的三点有及推论的作用它是在空间中确定平面的依据它是证
10、明两平面重合的依据学习必备 欢迎下载 A A B B C C D D 1111EFO A A B B C C D GD 1111 （2）解法一：连结 BD 交 AC 于点 O，取 DD1的中点 F，连结 OF、AF，则 OFD1B，AOF就是异面直线 D1B 与 AC 所成的角.AO=222ba，OF=21 BD1=2222cba，AF=2422cb，在AOF 中，cosAOF=OFAOAFOFAO2222=)(2222222cbababa.解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结 BG、D1G，则 ACBG，D1BG（或其补角）为 D1B 与 AC 所成的角.BD1=222
11、cba，BG=22ba，D1G=224ca，在D1BG 中，cosD1BG=BGBDGDBGBD1212212=)(2222222cbababa，故所求的余弦值为)(2222222cbababa.深化拓展 利用中位线平移和利用补形平移是处理长方体中异面直线所成角的重要方法.闯关训练 夯实基础 1.两条相交直线 l、m 都在平面内且都不在平面内.命题甲：l 和 m 中至少有一条与相交，命题乙：平面与相交，则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 解析：若 l 和 m 中至少有一条与相交，不妨设 l=A，则由于 l，A.而 A，与相交.反之，若=a，如
12、果l 和m 都不与相交，由于它们都不在平面内，l且 m.la 且 ma，进而得到 lm，与已知 l、m 是相交直线矛盾.因此 l 和 m 中至少有一条与相交.答案：C 2.（20XX 年天津，6）如下图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是 CC1、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1所成的角的余弦值等于 面内的重要依据公理如果两个平面有一个公共点那么有且只有一条通过线上即证若干个点共线的重要依据公理经过不在同一条直线上的三点有及推论的作用它是在空间中确定平面的依据它是证明两平面重合的依据学习必备 欢迎下载 ADBCBCD11
13、11OEF ABCDEFG A.510 B.515 C.54 D.32 解法一：取面 CC1D1D 的中心为 H，连结 FH、D1H.在FHD1中，FD1=25，FH=23，D1H=22.由余弦定理，得D1FH 的余弦值为515.解法二：取 BC 的中点 G.连结 GC1FD1，再取 GC 的中点 H，连结 HE、OH，则OEH 为异面直线所成的角.在OEH 中，OE=23，HE=45，OH=45.由余弦定理，可得 cosOEH=515.答案：B 3.如图，四面体 ABCD 中，E、F 分别是 AC、BD 的中点，若 CD=2AB=2，EFAB，则 EF 与 CD所成的角等于_.解析：取 AD
14、 的中点 G，连结 EG、FG，易知 EG=1，FG=21.由 EFAB及 GFAB知 EFFG.在 RtEFG 中，求得GEF=30，即为 EF 与 CD 所成的角.答案：30 4.（20XX 年上海）在正四棱锥 PABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为 60，则异面直线 PA与 BC 所成角的大小等于_.（结果用反三角函数值表示）答案：arctan2 5.如下图，设不全等的ABC 与A1B1C1不在同一平面内，且 ABA1B1，BCB1C1，CAC1A1.SAABBCC111 求证：AA1、BB1、CC1三线共点.证明：不妨设 ABA1B1，AA1BB1=S，BCB1C1，BB1面
15、BCC1B1，S面 BBC1B1.同理，S面 ACC1A1.SCC1，即 AA1、BB1、CC1三线共点于 S.6.在三棱锥 ABCD 中，AD=BC=2a，E、F 分别是 AB、CD 的中点，EF=3a，求 AD 与 BC 所面内的重要依据公理如果两个平面有一个公共点那么有且只有一条通过线上即证若干个点共线的重要依据公理经过不在同一条直线上的三点有及推论的作用它是在空间中确定平面的依据它是证明两平面重合的依据学习必备 欢迎下载 成的角.BCDAE F M 解：取 AC 的中点 M，连结 ME、MF，则 MEBC，MFAD，所以EMF（或其补角）是直线AD 与 BC 所成的角.在EMF 中，M
16、E=21BC=a，MF=21AD=a，EF=3a，cosEMF=222223aaaa=21，EMF=120，因此异面直线 AD 与 BC 所成的角为 60.培养能力 7.如下图，在三棱锥 PABC 中，AB=AC，PB=PC，E、F 分别是 PC 和 AB上的点且 PEEC=AFFB=32.EPBFA（1）求证：PABC；（2）设 EF 与 PA、BC 所成的角分别为、，求证：+=90.证明：（1）取 BC 的中点 D，连结 AD、PD.DBCPGFE 则 BC平面 ADP，AP平面 ADP，APBC.（2）在 AC 上取点 G，使 AGGC=32，连结 EG、FG，则 EGPA，FGBC，从
17、而EGF为 PA与 BC 所成的角，由（1）知EGF=90，而GEF、GFE 分别是 EF 与 PA、EF 与 BC 所成的角、，+=90.8.如下图，设ABC 和A1B1C1的三对对应顶点的连线 AA1、BB1、CC1相交于一点 O，且1OAAO=1OBBO=1OCCO=32.试求111CBAABCSS的值.面内的重要依据公理如果两个平面有一个公共点那么有且只有一条通过线上即证若干个点共线的重要依据公理经过不在同一条直线上的三点有及推论的作用它是在空间中确定平面的依据它是证明两平面重合的依据学习必备 欢迎下载 AABBCC111O 解：依题意，因为 AA1、BB1、CC1相交于一点 O，且1
18、OAAO=1OBBO=1OCCO，所以 ABA1B1，ACA1C1，BCB1C1.由平移角定理得BAC=B1A1C1，ABC=A1B1C1，ABC A1B1C1，所以111CBAABCSS=（32）2=94.说明：利用平移定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题.探究创新 9.如下图，已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC=10，BD=6，M、N 分别是 AB、CD 的中点，MN=7，求异面直线 AC 与 BD 所成的角.BCDAM N E 3 5 7 解：取 BC 的中点 E，连结 EN、EM，MEN 是异面直线 AC 与 BD 所成的角或其补角.在EMN 中，EN=2BD=3，EM=2AC=5，MN=7，cosMEN=21，MEN=120.异面直线 AC 与 BD 所成的角是 60.思悟小结 1.本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角.2.证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形.面内的重要依据公理如果两个平面有一个公共点那么有且只有一条通过线上即证若干个点共线的重要依据公理经过不在同一条直线上的三点有及推论的作用它是在空间中确定平面的依据它是证明两平面重合的依据