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1、精品资料 欢迎下载 直线的参数方程及应用 目标点击：1掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；2熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；基础知识点击：1、直线参数方程的标准式(1)过点 P0(00,yx)，倾斜角为的直线l的参数方程是 s inc o s00tyytxx （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段PP0的数量，P(yx,)P0P=t P0P=t 为直线上任意一点.(2)若 P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为 t1、t2，则 P1P2=t2t1 P1P2=t 2t 1 (3)若 P1、
2、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为 t1、t2、t3 则 P1P2中点 P3的参数为 t3221tt,P0P3=221tt (4)若 P0为 P1P2的中点，则 t1t20，t1t20 时，点 P在点 P0的上方；当 t 0 时，点 P与点 P0重合；当 t0 时，点 P在点 P0的右侧；当 t 0 时，点 P与点 P0重合；当 t0 时，点 P在点 P0的左侧；问题 2：直线l上的点与对应的参数 t 是不是一 对应关系？我们把直线l看作是实数轴，以直线l向上的方向为正方向，以定点P0 为原点，以原坐标系的单位长为单位长，这样参数 t 便和这条实数轴上的点P建立了 一一对应关系.问题
3、3：P1、P2为直线l上两点所对应的参数分别为t1、t2，则 P1P2？，P1P2=？P1P2P1P0P0P2t1t2t2t1，P1P2=t2t1 问题 4：若 P0为直线l上两点 P1、P2的中点，P1、P2所对应的 参数分别为 t1、t2，则 t1、t2之间有何关系？根据直线l参数方程 t 的几何意义，P1Pt1，P2Pt2，P0为直线l 上两点 P1、P2的中点，|P1P|P2P|P1PP2P，即 t1t2,t1t20,设这个二次方程的两个根为t1、t2,由韦达定理得 t1t2815,t1t2425，由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得|PM|221tt 1615 中点
4、M 所对应的参数为t M=1615,将此值代入直线的标准参数方程*，M 点的坐标为4316155416411615532yx 即 M（1641，43）A B M P(2,0)x y 0 识点击为参数的几何意义表示有向线段直线参数方程的标准式过点倾斜线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为参数点击直线参线过作轴的平行线两条直线相交于点当与直线同方向或和重合时则当与精品资料 欢迎下载(3)|AB|t 2t 1 222114)(tttt7385 点拨：利用直线l的标准参数方程中参数 t 的几何意义，在解决诸如直线l上两点间的距离、直线l上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l的普通
5、方程来解决显得比较灵活和简捷.例 7：已知直线l经过点 P（1,33）,倾斜角为3，(1)求直线l与直线l：32xy的交点 Q 与 P 点的距离|PQ|；(2)求直线l和圆22yx 16 的两个交点 A，B 与 P 点的距离之积.解：(1)直线l经过点 P（1,33）,倾斜角为3,直线l的标准参数方 程为3sin333cos1tytx，即tytx2333211（t 为参数）代入直线l：32xy 得032)2333()211(tt 整理，解得t=4+23 t=4+23即为直线l与直线l的交点 Q 所对应的参数值，根据参数 t 的几 何意义可知：|t|=|PQ|,|PQ|=4+23.(2)把直线l
6、的标准参数方程为tytx2333211（t 为参数）代入圆的方程 22yx 16，得16)2333()211(22tt,整理得：t28t+12=0，=82-4120,设此二次方程的两个根为 t1、t2 则 t1t2=12 根据参数 t 的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆22yx 16 的两个交点 A,B 所对应的参数值，则|t1|=|PA|,|t2|=|PB|,所以|PA|PB|=|t1 t2|=12 点拨：利用直线标准参数方程中的参数 t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例 8：设抛物线过
7、两点 A(1,6)和 B(1,2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线 y=2x+7 被抛物线截得的线段长是 410，求抛物线方程.解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（a，2）方程为(y2)2=2P(x a)(P0)点 B(1,2)在抛物线上，(22)2=2P(1a)aP=8P 代入 得(y2)2=2Px2P+16 将直线方程 y=2x+7 化为标准的参数方程 tg=2,为锐角，识点击为参数的几何意义表示有向线段直线参数方程的标准式过点倾斜线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为参数点击直线参线过作轴的平行线两条直线相交于点当与直线同方向或和重合时则当与精品资料
8、 欢迎下载 cos=51,sin=52 得tytx525511（t 为参数）直线与抛物线相交于 A，B,将代入并化简得：75212542tPt0，由=355)6(42P0,可设方程的两根为 t1、t2，又|AB|=t 2t 1 222114)(tttt410 43544)212(52 P=(410)2 化简，得(6 P)2=100 P=16 或 P=-4(舍去)所求的抛物线方程为(y2)2=32x48 点拨：(1)（对称性）由两点 A(1,6)和 B(1,2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含 P一个未知量，由弦长 AB的值求得 P）.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题
9、也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.例 9：已知椭圆134)1(22yx，AB 是通过左焦点 F1的弦，F2为右焦点，求|F2A|F2B|的最大值.解：由椭圆方程知a2，b=3,c=1,F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的 参数方程为sincostytx（t 为参数）代入椭圆方程整理得 （3sin2）t26 t cos9=0 ，=36cos236（3sin2）0 此方程的解为 t1、t2，分别为 A、B 两点 对应的参数，由韦达定理 t1t2=2sin3cos6 t1 t22sin39 根据参数 t 的几何意义，t1、t2
10、分别为过点 F1的直线和椭圆的两个交点 A,B 所对应的参数值，|F1A|t1|F1B|t2|AB|=t 2t 1 222114)(tttt2sin312|F1A|F1B|t1|t2|=|t1t2|由椭圆的第一定义|F1A|F2A|2a4，|F1B|+|F2B|=2a4|F2A|F2B|=(4-|F1A|)(4-|F1B|)=16-4|AB|+|F1A|F1B|=16-4t 2t 1+|t1t2|=16-42sin312+2sin39 =16-2sin339 识点击为参数的几何意义表示有向线段直线参数方程的标准式过点倾斜线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为参数点击直线参线过作轴的平
11、行线两条直线相交于点当与直线同方向或和重合时则当与精品资料 欢迎下载 当 sin21 时，|F2A|F2B|有最大值425 点拨：求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解 题，此题中两定点 F1(0,0),F2(2,0),显然 F1坐标简单，因此选择过 F1 的直线的参数方程，利用椭圆的定义将|F2A|F2B|转化为|F1A|F1B|.例 10：（黄冈习题册：P155,第 23 题）（2）除书中解法外，补充解法二.解法二：设过点 P(a,0)的直线l的参数方程为sincostytax(t 为参数 ),0(，且2)(1)直线l与圆22yx 5 相交于 B,C 将直线l的方程(
12、1)代入圆的方程 得 t2+2at cos+a250，=(2acos)2-4(a25)0.即 a2 sin2+50 (2)tBtC=2acos tB tC=a25 直线l与抛物线 y2=x+7 相交于 A,D 将直线l的方程(1)代入抛物线的 方程得(sin2)t2t cosa70，=cos2-4(sin2)(-a7)0 即 1+(4a+27)sin20 (3)tAtD=2sincos tB tC=2sin7 a 又|AB|=|CD|线段 AD与线段 BC的中点重合，即 tAtD=tBtC 2sincos=-2acos 即-2a=2sin1，),0(,且2 0sin21 将 sin2a21代入
13、(2)、(3)a必须满足1202272010aaaa -10a21 点拨：此题利用直线参数方程形式比普通方程求a的范围运算量相对要 小，注意使用直线上两个点的中点的参数.方法总结：利用直线l的参数方程sincos00tyytxx （t 为参数），给研究直线与圆锥曲线 C：F(yx,)=0 的位置关系提供了简便的方法.一般地，把l的参数方程代入圆锥曲线 C：F(yx,)=0 后，可得一个关于 t 的一元二次方程，)(tf=0,1、(1)当0 时，识点击为参数的几何意义表示有向线段直线参数方程的标准式过点倾斜线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为参数点击直线参线过作轴的平行线两条直线相交
14、于点当与直线同方向或和重合时则当与精品资料 欢迎下载 l与 C 相交有两个交点；2、当0 时，方程)(tf=0 的两个根分别记为 t1、t2，把 t1、t2分别代入l的参数方程即可求的l与 C 的两个交点 A 和 B 的坐标.3、定点 P0(00,yx)是弦 AB 中点 t1+t2=0 4、l被 C 截得的弦 AB 的长|AB|t1t2|；P0AP0B=t1t2；弦 AB 中点 M点对应的参数为221tt；|P0M|=221tt 基础知识测试 2：7、直线t 21ytx(t 为参数)与椭圆8222 yx交于 A、B两点，则|AB|等于()A 22 B 334 C 2 D 36 8、直线sinc
15、os00tyytxx （t 为参数）与二次曲线 A、B两点，则|AB|等于()A|t1+t2|B|t1|t2|C|t1t2|D 221tt 9、直线t21 1212ytx(t 为参数)与圆122yx有两个交点 A、B，若 P点的坐 标为(2,-1),则|PA|PB|=10、过点 P(6,27)的直线t 2726ytx(t 为参数)与抛物线 y2=2x相交于 A、B 两点，则点 P 到 A,B 距离之积为 .参数方程 1 答案 1、D 2、D 3、D 4、A 5、D 6、（1）actgyatgx （2）3251545154tytx （3）sin2cos2yx或sin2cos2yx 7、D 8、抛物线 x221（y-2）上包含1x1 的一段弧 直线的参数方程答案 1、tytx217236 2、D 3、C 4、112tt 5、B 6、43 7、B 识点击为参数的几何意义表示有向线段直线参数方程的标准式过点倾斜线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为参数点击直线参线过作轴的平行线两条直线相交于点当与直线同方向或和重合时则当与精品资料 欢迎下载 8、C 9、4 10、45 识点击为参数的几何意义表示有向线段直线参数方程的标准式过点倾斜线参数方程的一般式过点斜率为的直线的参数方程是为参数点击直线参线过作轴的平行线两条直线相交于点当与直线同方向或和重合时则当与