2023年精品讲义第二讲直线与平面平行两个平面平行.pdf

《2023年精品讲义第二讲直线与平面平行两个平面平行.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年精品讲义第二讲直线与平面平行两个平面平行.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、学习必备 欢迎下载 第二讲 直线与平面平行、两个平面平行 知识梳理 1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.4.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.5.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.点击双基 1.设有平面、和直线 m、n，则 m的一个充分条件是

2、A.且 m B.=n 且 mn C.mn 且 n D.且 m 答案：D 2.（20XX 年北京，3）设 m、n 是两条不同的直线，、是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 若 m，n，则 mn 若，m，则 m 若 m，n，则 mn 若，则 A.B.C.D.解析：显然正确.中 m 与n 可能相交或异面.考虑长方体的顶点，与可以相交.答案：A 3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定 解析：设=l，a，a，过直线 a 作与、都相交的平面，记=b，=c，则 ab 且 ac，bc.又 b，=l，bl.

3、al.答案：C abcl 4.（文）设平面平面，A、C，B、D，直线 AB 与 CD 交于点 S，且 AS=8，BS=9，CD=34，当 S在、之间时，SC=_，当 S 不在、之间时，SC=_.解析：ACBD，SACSBD，SC=16，SC=272.答案：16 272（理）设 D 是线段 BC 上的点，BC平面，从平面外一定点 A（A 与 BC 分居平面两侧）作 AB、AD、AC 分别交平面于 E、F、G 三点，BC=a，AD=b，DF=c，则 EG=_.解析：解法类同于上题.答案：bacab 5.在四面体 ABCD 中，M、N 分别是面ACD、BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平行

4、的是_.学习必备 欢迎下载 ABCDMN.解析：连结 AM 并延长，交 CD 于 E，连结 BN 并延长交 CD 于 F，由重心性质可知，E、F 重合为一点，且该点为CD 的中点 E，由MAEM=NBEN=21得 MNAB，因此，MN平面 ABC 且 MN平面 ABD.答案：平面 ABC、平面 ABD 1.（20XX 年春季北京，3）下列命题中，正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 答案：C 2.设 a、b 是两条互不垂直的异面直线，过 a、b 分别作平面、，对于

5、下面四种情况：b，b，.其中可能的情况有 A.1 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种 解析：都有可能，不可能，否则有 ba 与已知矛盾.答案：C 3.、是两个不重合的平面，a、b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定的是 A.、都平行于直线 a、b B.内有三个不共线点到的距离相等 C.a、b 是内两条直线，且 a，b D.a、b 是两条异面直线且 a，b，a，b 解析：A 错，若 ab，则不能断定；B 错，若 A、B、C 三点不在的同一侧，则不能断定；C 错，若 ab，则不能断定；D 正确.答案：D 4.a、b、为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：a

6、aacacccbababacbca;其中正确的命题是_.（将正确的序号都填上）答案：典例剖析【例 1】如下图，两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB，MAC，NFB 且 AM=FN，求证：MN平面 BCE.QABCDMPFEN 证法一：过 M 作 MPBC，NQBE，P、Q 为垂足（如上图），连结 PQ.MPAB，NQAB，MPNQ.这条直线与这个平面平行直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行两个平面平行的性质定理如果两个平行平面都与第三个平面相交若则若则若则若则解析显然正确中与可能相交或异面考虑长方体的顶点学习必备 欢迎下载 又 NQ=22 BN=22CM=M

7、P，MPQN 是平行四边形.MNPQ，PQ平面 BCE.而 MN平面 BCE，MN平面 BCE.证法二：过 M 作 MGBC，交 AB于点 G（如下图），连结 NG.GABCDMFEN MGBC，BC平面 BCE，MG平面 BCE，MG平面 BCE.又GABG=MACM=NFBN，GNAFBE，同样可证明 GN平面 BCE.又面 MGNG=G，平面 MNG平面 BCE.又 MN平面 MNG.MN平面 BCE.特别提示 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.【例 2

8、】如下图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线 AB1、BC1上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F.求证：EF平面 ABCD.ADBCBCD1111E F G M N 证法一：分别过 E、F 作 EMAB 于点 M，FNBC 于点 N，连结 MN.BB1平面 ABCD，BB1AB，BB1BC.EMBB1，FNBB1.EMFN.又 B1E=C1F，EM=FN.故四边形 MNFE 是平行四边形.EFMN.又 MN 在平面 ABCD 中，EF平面 ABCD.证法二：过 E 作 EGAB交 BB1于点 G，连结 GF，则ABEB11=BBGB11.B1E=C1F，B1A=C1B，BCFC

9、11=BBGB11.FGB1C1BC.又EGFG=G，ABBC=B，平面 EFG平面 ABCD.而 EF 在平面 EFG 中，EF平面 ABCD.评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行.这条直线与这个平面平行直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行两个平面平行的性质定理如果两个平行平面都与第三个平面相交若则若则若则若则解析显然正确中与可能相交或异面考虑长方体的顶点学习必备 欢迎下载【例 3】已知正四棱锥 PABCD 的底面边长及侧棱长均为 13，M、N 分别是 PA、BD 上的点，且 PMMA=BNND=58.BCDEOMNP（1

10、）求证：直线 MN平面 PBC；（2）求直线 MN 与平面 ABCD 所成的角.（1）证明：PABCD 是正四棱锥，ABCD 是正方形.连结 AN并延长交 BC 于点 E，连结 PE.ADBC，ENAN=BNND.又BNND=PMMA，ENAN=PMMA.MNPE.又PE 在平面 PBC 内，MN平面 PBC.（2）解：由（1）知 MNPE，MN 与平面 ABCD 所成的角就是 PE 与平面 ABCD 所成的角.设点 P 在底面 ABCD 上的射影为 O，连结 OE，则PEO 为 PE 与平面 ABCD 所成的角.由正棱锥的性质知 PO=22OBPB=2213.由（1）知，BEAD=BNND=

11、58，BE=865.在PEB 中，PBE=60，PB=13，BE=865，根据余弦定理，得 PE=891.在 RtPOE 中，PO=2213，PE=891，sinPEO=PEPO=724.故 MN 与平面 ABCD 所成的角为 arcsin724.思考讨论 证线面平行，一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角.本题若直接求MN 与平面 ABCD 所成的角，计算困难，而平移转化为 PE 与平面 ABCD 所成的角则计算容易.可见平移是求线线角、线面角的重要方法.闯关训练 夯实基础 1.两条直线 a、b 满足 ab，b，则 a 与平面的关系是 A.a B.a 与

12、相交 C.a 与不相交 D.a 答案：C 2.a、b 是两条异面直线，A是不在 a、b 上的点，则下列结论成立的是 A.过 A有且只有一个平面平行于 a、b B.过 A至少有一个平面平行于 a、b C.过 A有无数个平面平行于 a、b D.过 A且平行 a、b 的平面可能不存在 解析：过点 A可作直线 aa，bb，则 ab=A.a、b可确定一个平面，记为.如果 a，b，则 a，b.这条直线与这个平面平行直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行两个平面平行的性质定理如果两个平行平面都与第三个平面相交若则若则若则若则解析显然正确中与可能相交或异面考虑长方体的顶点学习必备 欢迎下载 由于平面可

13、能过直线 a、b 之一，因此，过 A且平行于 a、b 的平面可能不存在.答案：D 3.（20XX 年全国，16）已知 a、b 为不垂直的异面直线，是一个平面，则 a、b 在上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是_.（写出所有正确结论的编号）解析：A1D 与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相平行；AB1与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相垂直；DD1与 BC1在平面 ABCD 上的射影是一条直线及其外一点.ABCDBCD1111 答案：4.已知 RtABC 的直角顶点 C 在平面内，斜边 AB，AB=26，AC、B

14、C 分别和平面成 45和 30角，则 AB 到平面的距离为_.解析：分别过 A、B 向平面引垂线 AA、BB，垂足分别为 A、B.AABBC 设 AA=BB=x，则 AC2=（45sinx）2=2x2，BC2=（30sinx）2=4x2.又 AC2+BC2=AB2，6x2=（26）2，x=2.答案：2 5.如下图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，侧面 PBC 内有 BEPC 于 E，且 BE=36 a，试在 AB 上找一点 F，使 EF平面 PAD.ABCDEPGF 解：在面 PCD 内作 EGPD 于 G，连结 AG.PA平面 ABCD，CDAD，

15、CDPD.CDEG.又 ABCD，EGAB.若有 EF平面 PAD，则 EFAG，四边形 AFEG 为平行四边形，得 EG=AF.CE=22)36(aa=33a，PBC为 直 角 三 角 形，BC2=CE CPCP=3a，这条直线与这个平面平行直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行两个平面平行的性质定理如果两个平行平面都与第三个平面相交若则若则若则若则解析显然正确中与可能相交或异面考虑长方体的顶点学习必备 欢迎下载 ABAF=CDEG=PCPE=aaa3333=32.故得 AFFB=21 时，EF平面 PAD.6.如下图，设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点，M、N 分别为 AB

16、、PD 上的点，且MBAM=NPDN，求证：直线 MN平面 PBC.ABCDMNPQR 分析：要证直线 MN平面 PBC，只需证明 MN平面 PBC 内的一条直线或 MN 所在的某个平面平面 PBC.证法一：过 N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连结 RB，依题意得NRNRDC=NPDN=MBAM=MBMBAB=MBMBDC NR=MB.NRDCAB，四边形 MNRB 是平行四边形.MNRB.又RB平面 PBC，直线 MN平面 PBC.证法二：过 N 作 NQAD 交 PA 于点 Q，连结 QM，MBAM=NPDN=QPAQ，QMPB.又 NQADBC，平面MQN平面 PBC.直线 MN平

17、面 PBC.证法三：过 N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连结 RB，依题意有ABBM=PDPN=DCNR，NR=MB，BR=BM+MN+NR=MN.MNRB.又RB平面 PBC，直线 MN平面 PBC.培养能力 7.已知 l 是过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点的平面 AB1D1与下底面 ABCD 所在平面的交线，（1）求证：D1B1l；（2）若 AB=a，求 l 与 D1间的距离.AADBCBCD1111l（1）证明：ADCBBCDG1111l D1B1BD，D1B1平面 ABCD.又平面 ABCD平面 AD1B1=l，D1B1l.（2）解：D1D平面 ABCD，在平面 ABCD

18、 内，由 D 作 DGl 于 G，连结 D1G，则 D1Gl，D1G 的长即等于点 D1与 l 间的距离.这条直线与这个平面平行直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行两个平面平行的性质定理如果两个平行平面都与第三个平面相交若则若则若则若则解析显然正确中与可能相交或异面考虑长方体的顶点学习必备 欢迎下载 lD1B1BD，DAG=45.DG=22a，D1G=212DDDG=2221aa=26a.探究创新 8.如下图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1=21AB，点 E、M 分别为 A1B、C1C 的中点，过点 A1、B、M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1于点 N.AADD

19、BBCC1111M N E（1）求证：EM平面 A1B1C1D1；（2）求二面角 BA1NB1的正切值；（3）设截面 A1BMN 把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为 V1、V2（V1V2），求 V1V2的值.（1）证明：设 A1B1的中点为 F，连结 EF、FC1.E 为 A1B 的中点，EF21B1B.AABBCCDDEFNMPH1111 又 C1M21B1B，EFMC1.四边形 EMC1F 为平行四边形.EMFC1.EM平面 A1B1C1D1，FC1平面 A1B1C1D1，EM平面 A1B1C1D1.（2）解：作 B1HA1N 于 H，连结 BH.BB1平面 A1B1C1D1，BHA

20、1N.BHB1为二面角 BA1NB1的平面角.EM平面 A1B1C1D1，EM平面 A1BMN，平面 A1BMN平面 A1B1C1D1=A1N，EMA1N.又EMFC1，A1NFC1.又A1FNC1，四边形 A1FC1N 是平行四边形.NC1=A1F.设 AA1=a，则 A1B1=2a，D1N=a.在 RtA1D1N 中，A1N=21211NDDA=5 a，sinA1ND1=NADA111=52.在 RtA1B1H 中，B1H=A1B1sinHA1B1=2a52=54 a.在 RtBB1H 中，这条直线与这个平面平行直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行两个平面平行的性质定理如果两个平

21、行平面都与第三个平面相交若则若则若则若则解析显然正确中与可能相交或异面考虑长方体的顶点学习必备 欢迎下载 tanBHB1=HBBB11=aa54=45.（3）解：延长 A1N 与 B1C1交于 P，则 P平面 A1BMN，且 P平面 BB1C1C.又平面 A1BMN平面 BB1C1C=BM，PBM，即直线 A1N、B1C1、BM 交于一点 P.又平面 MNC1平面 BA1B1，几何体 MNC1BA1B1为棱台.（没有以上这段证明，不扣分）S11BBA=212aa=a2，S1MNC=21a21a=41 a2，棱台 MNC1BA1B1的高为 B1C1=2a，V1=312a（a2+2241aa+41

22、a2）=67 a3，V2=2a2aa67a3=617 a3.21VV=177.思悟小结 1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外.2.辅助线（面）是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）.【例 1】设平面平面，AB、CD 是两条异面直线，M、N 分别是 AB、CD 的中点，且 A、C，B、D，求证：MN平面.ABCDEMN 剖析：因为 AB 与 CD 是异面直线，故 MN 与 AC、BD 不平行.在平面、中不易找到与 MN 平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转

23、而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过 MN 且与平行的平面.根据 M、N 是异面直线上的中点这一特征，连结 BC，则此时 AB、BC 共面，即 BC 为沟通 AB、CD 的桥梁，再取 BC 的中点 E，连结 ME、NE，用中位线知识可证得.证明：连结 BC、AD，取 BC 的中点 E，连结 ME、NE，则 ME 是BAC 的中位线，故 MEAC，ME，ME.同理可证，NEBD.又，设 CB 与 DC 确定的平面 BCD 与平面交于直线 CF，则 CFBD，NECF.而NE平面，CF，NE.又ME NE=E，平面 MNE，而 MN平面 MNE，MN平面.【例 2】如下图，在空间六边形（

24、即六个顶点没有任何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于 a，并且 AA1CC1.求证：平面 A1BC1平面 ACD1.A A B C C D 111 证法一：作正方形 BCC1B1和 CC1D1D，并连结 A1B1和 AD.AA1CC1BB1DD1，且 AA1AB，AA1A1D1，ABB1A1和 AA1D1D 都是正方形，且 ACC1A1是平行四边形.故它们的对应边平行且相等.ABCA1B1C1，A1B1B1C1.这条直线与这个平面平行直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行两个平面平行的性质定理如果两个平行平面都与第三个平面相交若则若则若则若则解析显然正确中

25、与可能相交或异面考虑长方体的顶点学习必备 欢迎下载 同理，ADCD.BB1AB，BB1BC，BB1平面 ABC.同理，DD1平面 ACD.BB1DD1，BB1平面 ACD.A、B、C、D 四点共面.ABCD 为正方形.同理，A1B1C1D1也是正方形.DDAACCBB1111 故 ABCDA1B1C1D1是正方体.易知 A1C1AC，A1C1平面 ACD1.同理，BC1平面 ACD1，平面 A1BC1平面 ACD1.证法二：证 ABCDA1B1C1D1是正方体，同上.连结 B1D、B1D1，则 B1D1是 B1D 在底面 ABCD 上的射影，由三垂线定理知 B1DA1C1，同理可证 B1DBA

26、1，B1D平面 A1BC1.同理可证，B1D平面 ACD1，平面 A1BC1平面 ACD1.思考讨论 证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线.【例 3】如下图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：ADDBBCC1111NPM（1）APMN；（2）平面 MNP平面 A1BD.证明：（1）连结 BC1、B1C，则 B1CBC1，BC1是 AP 在面 BB1C1C 上的射影.APB1C.又 B1CMN，APMN.（2）连结 B1D1，P、N 分别是 D1C1、B1C1的中点，PNB1D1.又 B1D1

27、BD，PNBD.又 PN 不在平面 A1BD 上，PN平面 A1BD.同理，MN平面 A1BD.又 PNMN=N，平面 PMN平面 A1BD.评述：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线.由于M、N、P 都为中点，故添加 B1C、BC1作为联系的桥梁.夯实基础 1.（20XX 年上海）在下列条件中，可判断平面与平行的是 A.、都垂直于平面 B.内存在不共线的三点到的距离相等 这条直线与这个平面平行直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行两个平面平行的性质定理如果两个平行平面都与第三个平面相交若则若则若则若则解析显然正确中与可能相交或异面考

28、虑长方体的顶点学习必备 欢迎下载 C.l、m 是内两条直线，且 l，m D.l、m 是两条异面直线，且 l，m，l，m 答案：D 2.设平面，A、C，B、D，直线 AB与 CD 交于 S，若 AS=18，BS=9，CD=4，则 CS=_.解析：如图（1），由可知 BDAC，SASB=SCSD，即189=SCSC34，SC=68.SSAABBCC(1)(2)DD 如图（2），由知 ACBD，SBSA=SDSC=SCCDSC，即918=SCSC34.SC=368.答案：68 或368 3.如图甲，在透明塑料制成的长方体 ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再

29、将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：AAAABBBBCCCCDDDDEEFFGGHH11111111甲乙 水的部分始终呈棱柱状；水面四边形 EFGH 的面积不改变；棱 A1D1始终与水面 EFGH 平行；当容器倾斜如图乙时，EFBF 是定值.其中正确命题的序号是_.解析：对于命题，由于 BC 固定，所以在倾斜的过程中，始终有 ADEHFGBC，且平面 AEFB平面 DHGC，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且 BC 为棱柱的一条侧棱，命题正确.对于命题，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故不正确.是正

30、确的（请给出证明）.是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是.答案：1.两条直线 a、b 满足 ab，b，则 a 与平面的关系是 A.a B.a 与相交 C.a 与不相交 D.a 答案：C 2.a、b 是两条异面直线，A是不在 a、b 上的点，则下列结论成立的是 A.过 A有且只有一个平面平行于 a、b B.过 A至少有一个平面平行于 a、b C.过 A有无数个平面平行于 a、b D.过 A且平行 a、b 的平面可能不存在 解析：过点 A可作直线 aa，bb，则 ab=A.a、b可确定一个平面，记为.如果 a，b，则 a，b.这条直线与这个平面平行直线与平面平行的性质如果

31、一条直线与一个平面平行两个平面平行的性质定理如果两个平行平面都与第三个平面相交若则若则若则若则解析显然正确中与可能相交或异面考虑长方体的顶点学习必备 欢迎下载 由于平面可能过直线 a、b 之一，因此，过 A且平行于 a、b 的平面可能不存在.答案：D 3.（20XX 年全国，16）已知 a、b 为不垂直的异面直线，是一个平面，则 a、b 在上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是_.（写出所有正确结论的编号）解析：A1D 与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相平行；AB1与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相垂直；DD

32、1与 BC1在平面 ABCD 上的射影是一条直线及其外一点.ABCDBCD1111 答案：4.已知 RtABC 的直角顶点 C 在平面内，斜边 AB，AB=26，AC、BC 分别和平面成 45和 30角，则 AB 到平面的距离为_.解析：分别过 A、B 向平面引垂线 AA、BB，垂足分别为 A、B.AABBC 设 AA=BB=x，则 AC2=（45sinx）2=2x2，BC2=（30sinx）2=4x2.又 AC2+BC2=AB2，6x2=（26）2，x=2.答案：2 4.如下图，两条线段 AB、CD 所在的直线是异面直线，CD平面，AB，M、N 分别是 AC、BD 的中点，且AC 是 AB、

33、CD 的公垂线段.ABBCDEMN（1）求证：MN；（2）若 AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段 MN 的长.（1）证明：过 B 作 BB，垂足为 B，连结 CB、DB，设 E 为 BD 的中点，连结 NE、CE，则 NEBB且 NE=21BB，又 AC=BB，MCNE，即四边形 MCEN 为平行四边形（矩形）.MNCE.又 CE，MN，MN.（2）解：由（1）知 MN=CE，AB=CB=a=CD，BD=22BBBD=22bc，CE=)(41222bca=2224141cba，这条直线与这个平面平行直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行两个平面平行的性质定理如果两个平行平面都与

34、第三个平面相交若则若则若则若则解析显然正确中与可能相交或异面考虑长方体的顶点学习必备 欢迎下载 即线段 MN 的长为2224141cba.5.如下图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=a.AADDBBCC11111MNOO（1）求证：平面 AD1B1平面 C1DB；（2）求证：A1C平面 AD1B1；（3）求平面 AB1D1与平面 BC1D 之间的距离.（1）证明：D1B1DB，D1B1平面 C1DB.同理，AB1平面 C1DB.又 D1B1AB1=B1，平面 AD1B1平面 C1DB.（2）证明：A1C1D1B1，而 A1C1为 A1C 在平面 A1B1C1D1上的射影，A1C1D

35、1B1.同理，A1CAB1，D1B1AB1=B1.A1C平面 AD1B1.（3）解：设 A1C平面 AB1D1=M，A1C平面 BC1D=N，O1、O 分别为上底面 A1B1C1D1、下底面 ABCD 的中心.则 MAO1，NC1O，且 AO1C1O，MN 的长等于平面 AD1B1与平面 C1DB 的距离，即 MN=A1M=NC=31A1C=33a.5.如下图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，侧面 PBC 内有 BEPC 于 E，且 BE=36 a，试在 AB 上找一点 F，使 EF平面 PAD.ABCDEPGF 解：在面 PCD 内作 EGPD 于

36、 G，连结 AG.PA平面 ABCD，CDAD，CDPD.CDEG.又 ABCD，EGAB.若有 EF平面 PAD，则 EFAG，四边形 AFEG 为平行四边形，得 EG=AF.CE=22)36(aa=33a，PBC为 直 角 三 角 形，BC2=CE CPCP=3a，ABAF=CDEG=PCPE=aaa3333=32.故得 AFFB=21 时，EF平面 PAD.6.如下图，设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点，M、N 分别为 AB、PD 上的点，且MBAM=NPDN，求证：直线 MN这条直线与这个平面平行直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行两个平面平行的性质定理如果两个平行平

37、面都与第三个平面相交若则若则若则若则解析显然正确中与可能相交或异面考虑长方体的顶点学习必备 欢迎下载 平面 PBC.ABCDMNPQR 分析：要证直线 MN平面 PBC，只需证明 MN平面 PBC 内的一条直线或 MN 所在的某个平面平面 PBC.证法一：过 N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连结 RB，依题意得NRNRDC=NPDN=MBAM=MBMBAB=MBMBDC NR=MB.NRDCAB，四边形 MNRB 是平行四边形.MNRB.又RB平面 PBC，直线 MN平面 PBC.证法二：过 N 作 NQAD 交 PA 于点 Q，连结 QM，MBAM=NPDN=QPAQ，QMPB.又 NQADBC，平面MQN平面 PBC.直线 MN平面 PBC.证法三：过 N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连结 RB，依题意有ABBM=PDPN=DCNR，NR=MB，BR=BM+MN+NR=MN.MNRB.又RB平面 PBC，直线 MN平面 PBC.这条直线与这个平面平行直线与平面平行的性质如果一条直线与一个平面平行两个平面平行的性质定理如果两个平行平面都与第三个平面相交若则若则若则若则解析显然正确中与可能相交或异面考虑长方体的顶点