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1、学习必备 欢迎下载 第三章 三角形 3.1 认识三角形 知识导航 1、三角形的有关概念（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形。（2）三角形的基本构造：组成三角形的三条线段叫做三角形的 三条边，两条边相接的点叫做三角形的顶点 相邻两边组成的角叫做三角形的内角 2、三角形的三边关系：（1）三角形任意两边之和大于第三边。（2）三角形任意两边之差小于第三边。3、三角形的角平分线、中线、高（1）、在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线（2）、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。（3）
2、、从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。4：三角形按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形 5、三角形内角和与外角和定理（1）三角形三个内角的和等于 180（2）直角三角形两锐角互余。（3）三角形一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。（4）三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。（5）三角形三个外角的和等于 360.6：认识直角三角形：直角三角形的表示方法、性质：直角三角形两锐角互余。同步练习 一、填空题 1、在ABC中，A40，BC，则C 2、三角形的一边为 5 cm，一边为 7 cm，则第三边的取值范围是 3.三角形三个内角中,最多有（）个直角,
3、最多有（）个钝角,最多有（）个锐角,至少有（）个锐角。4.在ABC中,B,C 的平分线交于点 O,若BOC=132,则A=_度。5.已知,a b c是ABC的三边，2,5ab，且三角形的周长是偶数，求c=_；判断ABC的形状为_。6.三角形中,若最大内角等于最小内角的 2倍,最大内角又比另一个内角大 20,则此三角形的最小内角的度数是_.7.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为 1:2,则这个等腰三角形的顶角为_.8.在ABC中,B,C的平分线交于点 O,若BOC=132,则A=_度.9.已知ABC 为等腰三角形，当它的两个边长分别为 8 cm 和 3 cm 时，它的周长为_；如果它的一边长为
4、 4cm，一边的长为 6cm，则周长为_.10.若 设,a b c是 ABC 的 三 边，则abcabc =二、判断题。1、有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形。（）2、一个等腰三角形的顶角是 80，它的两个底角都是 60。（）3、两个内角和是 90的三角形是直角三角形。（）4、一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角。（）5、在锐角三角形中，任意的两个锐角之和一定要大于 90。（）6、一个三角形，已知两个内角分别是 85和 25，这个三角形一定是钝角三角形。（）三、选择题:1.如果三角形的三个内角的度 学习必备 欢迎下载 数比是 2:3:4,则它是()A.锐角三角形 B.钝角三角形;C.直角三
5、角形 D.钝角或直角三角形 2.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是()A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 3.等腰三角形的底边 BC=8 cm，且|ACBC|=2 cm，则腰长 AC 的长为()A.10 cm 或 6 cm B.10 cm C.6 cm D.8 cm 或 6 cm 4 在下列长度的四根木棒中，能与 4cm、9cm长 的 两 根 木 棒 钉 成 一 个 三 角 形 的 是（）（A）4cm （B）5cm （C）9cm （D）13cm 5已知 ABC的三个内角A、B、C 满足关系式B+C=3A，则此三角（）A、一定有一个内角为 45 B一定有一个
6、内角为 60 C一定是直角三角形 D一定是钝角三角形 6、已知三角形的三边分别为 2，a、4，那么a 的范围是（）A、1a5 B、2a6 C、3a7 D、4a6 三、解答题。1、画一画 如图，在ABC中：（1）.画出C的平分线 CD（2）.画出 BC边上的中线 AE（3）.画出ABC的边 AC上的高 BF 2.(2001 天津)如图所示,在ABC中,B=C,FDBC,DE AB,AFD=158,则EDF=_ 度 .3、如图，已知B40，C59，DEC 47，求F的度数。4、如图所示,已知1=2,3=4,C=32,D=28,求P的度数.6.已知在ABC中，A62，BO、CO分别是ABC、ACB的
7、平分线，且 BO、CO相交于 O，求BOC的度数。7.如图，已知在ABC中，CF、BE分别是 AB、AC 边上的中线，若 AE=2，AF=3，且ABC的周长为 15，求 BC的长。5、如图所示,将ABC沿 EF折叠,使点 C落到点 C处,试探求1,2 与C的关系.B A 1 2 B A O 1 OFECBA角形的顶点相邻两边组成的角叫做三角形的内角三角形的三边关系三角的线段叫做这个三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点与它对边中钝角三角形三角形内角和与外角和定理三角形三个内角的和等于直角三学习必备 欢迎下载 3.2 图形的全等 知识导航 1、两个能够重合的图形称为全等图形。2、全等图形的性质：
8、全等图形的形状和大小都相同。同步练习 一、选择题 1全等图形是指两个图形（）A大小相同 B形状相同 C能够重合 D相等 2下面不是全等图形的性质特征的是（）A大小相同 B形状相同 C颜色相同 D 周长相同 3 两个全等图形中可以不同的是（）A位置 B 长度 C 角度 D 面积 4一个正方形的侧面展开图有（）个全等的正方形.A.2 个 B.3个 C.4个 D.6个 5.下列各组中可能不是全等形的是（）A两条长度相等的线段 B两个大小相等的角 C两条长度相等的圆弧 D两条互相垂直的直线 二、填空题 6 请 你 写 出 生 活 中 的 一 组 全 等 图形 .7两个正方形具有 条件时能成为全等图形.
9、8把 2 张纸叠在一起，用剪子随意剪出一个图形，把剪得的 2 个图形摆放在桌面上，比较一下，它们全等吗？能够_的两个图形叫全等图形，由此可知，全等图形的形状一定_，大小一定_ 9请在下图中把正方形分成 2 个、4 个、8个全等的图形 三、解答题 11找出下列图中的全等图形 13把下列各图分成若干个全等图形，请在原图上用虚线标出来 14把一个正方形划分成四个全等的部分，这个问题对于各位同学来说易如反掌，图 1和图 2 是小明和小彬的分划图，但请他们将正方形分成五个全等的部分时，他们一时感到为难，你会吗？15如图，把这个丁字形分成四个全等的部分，试试看 角形的顶点相邻两边组成的角叫做三角形的内角三
10、角形的三边关系三角的线段叫做这个三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点与它对边中钝角三角形三角形内角和与外角和定理三角形三个内角的和等于直角三学习必备 欢迎下载 BAECDBACD3.1 探索三角形全等的条件 知识导航 一、全等三角形 能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“”连接，读作“全等于”。用“”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。1判定和性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SSS）。具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL）性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应
11、角平分线相等 注：判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；全等三角形面积相等 2证题的思路：）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS同步练习 一、填空题:1.如图1,已知AC=BD,要使得ABC DCB,只需增加的一个条件是_.BA0CD(1)2.如 图2,(1)连 结AD后,当AD=_,AB=_,BD=_ 时可用“SSS”得ABD DCA.BACD(2)连 结 BC 后,当AB=_,BC=_
12、,AC=_ 时,可推得ABC DCB.3如图 4,若 AB=CD,AD=CB,B=25,则D=_.BACDO（4）（5）4如图 5,已知 AB BD 于 B,EDBD 于D,AB=CD,BC=DE,则ACE=_.二、选择题:5 在下列各组的三个条件中,不能判定ABC与DEF全等的是()A.AB=DE,B=E,C=F B.AC=DF,BC=DE,BA=EF C.AB=EF,A=E,B=F D.A=F,B=E,AC=DE 6.如图 6 所示,AB=CD,AC=BD,则下列说法正确的是()A.可用“SAS”证AOB DOC B.可用“SAS”证ABC DCB C.可用“SSS”证AOB DOC D.
13、可用“SSS”证ABC DCB 7.如图 7,已知 AB CF,E 为 DF 的中点,若AB=9cm,CF=5cm,则 BD等于()A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm BAEFCDBAC (7)（8）(9)8.如图8,ABC 是等边三角形,若在它边上的一点与这边所对的角的顶点的连线恰好将ABC分成两个全等三角形,则这样的点共有()A.1 个 B.3个 C.4个 D.9个 10.如图 9,小民用五根木条钉成如图所示的两个三角形,且 AB=AC,BD=CD,若ABD为锐角三角形,则ACD中的最大角 a 的取值范围是()BA0CD角形的顶点相邻两边组成的角叫做三角形的内角三角形的三边关系
14、三角的线段叫做这个三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点与它对边中钝角三角形三角形内角和与外角和定理三角形三个内角的和等于直角三学习必备 欢迎下载 BA43E21CDBAECD A.30 a60 B.45a60 C.45 a90 D.60aAD+AE.EDCBA 四、借助角平分线造全等 5、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O，求证：OE=OD 五、旋转 6、正方形 ABCD 中，E为 BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.7、D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA于点 E,F。（1）当M
15、 D N绕点 D转动时，求证 DE=DF。（2）若 AB=2，求四边形 DECF的面积。CDBA角形的顶点相邻两边组成的角叫做三角形的内角三角形的三边关系三角的线段叫做这个三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点与它对边中钝角三角形三角形内角和与外角和定理三角形三个内角的和等于直角三学习必备 欢迎下载 3.4 用尺规做三角形 知识导航 1、作图题的一般步骤：（1）已知，即将条件具体化；（2）求作，即具体叙述所作图形应满足的条件；（3）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出草图）；（4）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；（5）证明，即验证所作图形的正确性（通常省略不
16、写）。2、熟练以下三种三角形的作法及依据。（1）已知三角形两边及其夹角，作三角形。（2）已知三角形两角及其夹边，作三角形。（3）已知三角形的三边，作三角形。同步练习 一、选择题 1利用尺规作图不能唯一作出三角形的是（）A 已知三边 B 已知两边及其夹角 C 已知两角及其夹边 D 已知两边及其中一边的对角 2用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（）A作一个角等于已知角 B作已知直线的垂线 C作一条线段等于已知线段 D作角的平分线 3 已知线段 a，b 和 m，求作ABC，使 BC=a，AC=b，BC边上的中线 AD=m，作法合理的顺序依次为（）延长 CD到 B，使 BD=CD；连接 A
17、B；作ADC，使 DC=12a，AC=b，AD=m A B C D 二、填空题 4如图，使用直尺作图，看图填空：(1)(2)(3)(4)（1）过点_和_作直线 AB；（2）连接线段_；（3）以点_为端点，过点_作射线_ （4）延长线段_到_，使 BC=2AB 5如图，使用圆规作图，看图填空：(1)在射线 AM上_线段_=_；(2)以点_为圆心，以线段_为半径作弧交_于点_(3)分别以点_和点_为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧分别交于点_和点_；(4)以点_为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AOB两边_，_ 于点_，点_ 三、解答题 6如图所示，已知和线段 a，用尺规作一个三角形，使其
18、一个内角等于，夹这个角的两边分别为 2a 和 a 7如图，已知线段 a，用尺规作ABC，使AB=a，BC=AC=2a 四、作图题 8如图所示，已知和线段 L，求作等腰三角形ABL，使其底角B=，腰长AB=L 角形的顶点相邻两边组成的角叫做三角形的内角三角形的三边关系三角的线段叫做这个三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点与它对边中钝角三角形三角形内角和与外角和定理三角形三个内角的和等于直角三学习必备 欢迎下载 3.5 利用三角形全等测距离 知识导航 1、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量或无法测量的距离转化成已
19、知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离。2、运用全等三角形解决实际问题的步骤：（1）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决；（2）根据实际问题抽象出几何图形；（3）结合图形和题意分析已知条件；（4）找到解决问题的途径。同步练习 一、训练平台 1根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A用尺规作一条线段等于已知线段；B用尺规作一个角等于已知角 C用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D不能确定 2已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A作一条线段等于已知线段 B作一个角等于已知角 C作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角 D
20、先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角 3如图所示，ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，B=36，C=44，请你从中选择适当的数据，画出与ABC全等的三角形，不写画法，但要在所画的三角形中标出用到的数据，并说明符合条件的三角形共有多少个 二、提高训练 4如图所示，要测量河两岸相对的两点 A，B的距离，因无法直接量出 A，B两点的距离，请你设计一种方案，求出 A，B 的距离，并说明理由 二、探索发现 5.为在池塘两侧的 A，B两处架桥，要想测量 A，B两点的距离，有以下两种方法：（1）如图所示，找一处看得见 A，B的点 P，连接AP并延长到 D，使 PA=PD，连接 BP并
21、延长到C，使 PC=PB 测得 CD=35m，就确定了 AB也是 35m，说明其中的理由；中考演练 6.（2005梅州）如图所示，四边形 ABCD是矩形，O 是它的中心，E，F 是对角线 AC上的点 （1）如果_，则DEC BFA；（请你填上能使结论成立的一个条件）（2）说明你的结论的正确性 角形的顶点相邻两边组成的角叫做三角形的内角三角形的三边关系三角的线段叫做这个三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点与它对边中钝角三角形三角形内角和与外角和定理三角形三个内角的和等于直角三学习必备 欢迎下载 角形的顶点相邻两边组成的角叫做三角形的内角三角形的三边关系三角的线段叫做这个三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点与它对边中钝角三角形三角形内角和与外角和定理三角形三个内角的和等于直角三