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1、学习必备 精品知识点 二次函数知识点汇总 1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数2axy 的性质(1)抛物线2axy）（0a的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数2axy 的图像与a的符号关系.当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点 3.二次函数 cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二 次 函 数cbxaxy2用 配 方 法 可 化 成：khxay2的 形 式，其 中abackabh4422，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2axy；kaxy2；2hx
2、ay；khxay2；cbxaxy2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴(或重合)的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0 x.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为 khxay2的形式，得到顶点为(h,k
3、)，对称轴是hx.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 9.抛物线cbxaxy2中，cba,的作用 学习必备 精品知识点(1)a决定开口方向及开口大小，这与2axy 中的a完全一样.(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2,故：0b时，对称轴为y轴；0ab(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧；0ab(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的
4、位置.当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点(0，c)：0c，抛物线经过原点;0c,与y轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy 当0a时 开口向上 当0a时 开口向下 0 x(y轴)(0,0)kaxy2 0 x(y轴)(0,k)2hxay hx (h,0)khxay2 hx (h,k)cbxaxy2 abx2(abacab4422，)其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的
5、开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精品知识点 11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.12.直线与抛物线的交点 (1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(c,0)(2)与y轴平行的直线hx 与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).(3)抛物线与x轴的交点 二次函数
6、cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程 02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.(5)一次函数 0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组 cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组
7、不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.(6)抛 物 线 与x轴 两 交 点 之 间 的 距 离：若 抛 物 线cbxaxy2与x轴 两 交 点 为 0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故 acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121 13二次函数与一元二次方程的关系：其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精
8、品知识点(1)一元二次方程cbxaxy2就是二次函数cbxaxy2当函数 y 的值为 0 时的情况(2)二次函数cbxaxy2的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当0y时自变量x的值，即一元二次方程02cbxax的根(3)当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程cbxaxy2有两个不相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程02cbxax有两个相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程02cbxax没有实数根 1
9、4.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值 15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等 二次函数知识点 一、二次函数概念：1 二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数
10、0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数 2.二次函数2yaxbxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2yax的性质：其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精品知识点 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.2yaxc的性质：上加下减。3.2ya xh的性质：左加右减。4.2ya xh
11、k的性质：三、二次函数图象的平移 1.平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，；保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 00，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y有最小值0 0a 向下 00，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随x的增大而减小；0
12、x 时，y有最小值c 0a 向下 0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值c a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0h，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0 0a 向下 0h，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 hk，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k 0a 向下 hk，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y
13、随x的增大而增大；xh时，y有最大值k 其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精品知识点 向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cb
14、xaxy2变成 mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）四、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较 从解析式上看，2ya xhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，五、二次函数2yaxbxc图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与
15、y轴的交点 0c，、以及 0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10 x，20 x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数2yaxbxc的性质 1.当0a 时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa 时，y随x的增大而减小；当2bxa 时，y随x的增大而增大；当2bxa 时，y有最小值其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将
16、抛物线的解析式化为学习必备 精品知识点 244acba 2.当0a 时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa 时，y随x的增大而增大；当2bxa 时，y随x的增大而减小；当2bxa 时，y有最大值244acba 七、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；2.顶点式：2()ya xhk（a，h，k为常数，0a）；3.两根式：12()()ya xxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即2
17、40bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a 二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a 时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当0a 时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小 2.一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a 的前提下，当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b 时，02ba，即抛物
18、线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于
19、轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精品知识点 当0c 时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之，只要abc，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或
20、对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于x轴对称 2ya xb xc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；2.关于y轴对称 2ya xb xc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；3.关于原点对称 2ya xb xc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yax
21、hk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）2ya xb xc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca ；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 5.关于点mn，对称 2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后
22、再写出其对称抛物线的表达式 十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精品知识点 一元二次方程20axbxc 是二次函数2yaxbxc当函数值0y 时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：当240bac时，图象与x轴交于两点 1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca 的两根这两点间的距离2214bacABxxa.当0
23、时，图象与x轴只有一个交点；当0时，图象与x轴没有交点.1 当0a 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2 当0a 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 2.抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3.二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或
24、已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：0 抛物线与x轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与x轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记
25、法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精品知识点 y=x22y=2x2y=x2 y=-2x2y=-x2y=-x22 y=2x2-4y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2 y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精品知识点 十一、函数的应用 二次函数应用刹车距离何时获得最大利润
26、最大面积是多少 二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数2)2(22mmxmy的图像经过原点，则m的值是 2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数bkxy的图像在第一、二、三象限内，那么函数12bxkxy的图像大致是（）y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0-1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(
27、0,3)，(4,6)两点，对称轴为35x，求这条抛物线的解析式。4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线2yaxbxc（a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是32 （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号 例 1（1）二次函数2yaxbxc的图像如图 1，则点),(acbM在（）A第一象限 B第二象限 C 第三象限 D 第四象限 （2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如
28、图 2 所示，则下列结论：a、b 同号；当 x=1 和 x=3时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精品知识点 (1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键 例 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且 1x12，与 y
29、轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为()A 1个 B.2个 C.3个 D 4 个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D(3，2)答案：C 例 4、（2006 年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形 ABC以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB与CD重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（1）写出 y
30、 与 x 的关系式；（2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例 5、已知抛物线 y=12x2+x-52（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系 例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于)0,(1xA，)0,(2xB两点)(21xx，交 y 轴负半轴于 C点，且满足 3AO=OB (1)
31、求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角MCOA CO?若存在，请你求出 M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1)解：如图抛物线交 x 轴于点 A(x1，0)，B(x2，O)，则 x1x2=30，又x1O，x1O，30A=OB，x2=-3x1 x1x2=-3x12=-3x12=1.x10，x1=-1x2=3 点 A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得 a=2 b=3 二次函数的解析式为 y-2x2-4x-6(2)存在点 M使MC0 ACO (2)解：点 A关于 y 轴的对称点 A(1，O)，直线 A，C解析式为 y=6x-6 直线 AC 与抛物线交
32、点为(0，-6)，(5，24)符合题意的 x 的范围为-1x0或 Ox5 其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精品知识点 当点 M的横坐标满足-1xO或 Ox ACO 例 7、“已知函数cbxxy221的图象经过点 A（c，2），求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能
33、，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。解答 （1）根据cbxxy2
34、21的图象经过点 A（c，2），图象的对称轴是 x=3，得,3212,2212bcbcc 解得.2,3cb 所以所求二次函数解析式为.23212xxy图象如图所示。（2）在解析式中令 y=0，得023212 xx，解得.53,5321xx 所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+)0,5”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是).0,53(令 x=3 代入解析式，得,25y 所以抛物线23212xxy的顶点坐标为),25,3(所以也可以填抛物线的顶点坐标为)25,3(等等。函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过
35、程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图），其中 AF=2，BF=1 试在 AB上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间 其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精
36、品知识点 例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元）15 20 30 y（件）25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则1525,220kbkb 解得 k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+5
37、0 x-400=-（x-25）2+225 产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程 例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的
38、身高是 15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()A15 m B1625 m C166 m D167 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B 知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注
39、意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念 其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精品知识点 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ba 时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限0,0yx 点 P(x,y)在第二象限0,0yx 点
40、P(x,y)在第三象限0,0yx 点 P(x,y)在第四象限0,0yx 2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上0 y，x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上0 x，y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于
41、x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p 关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p 关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 p 关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 P(x,y)到 x 轴的距离等于y（2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x（3）点 P(x,y)到原点的距离等于22yx 其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线
42、的解析式化为学习必备 精品知识点 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法 把自变量 x 的一系
43、列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点四，正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果bkxy（k，b 是常数，k0），那么 y 叫做 x 的一次函数。特别地，当一次函数bkxy中的 b 为 0 时，kxy（k 为常数，k0）。这时，y 叫做 x 的正比例函数。2、一次函数的图像
44、 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数bkxy的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy 的图像是经过原点（0，0）的直线。k 的符号 b 的符号 函数图像 图像特征 k0 b0 y 图像经过一、二、三象限，y 随 x 的其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精品知识点 0 x 增大而增大。b0 y 0 x 图像经过一、三、四象限，y 随 x 的增大而增大。K0 y 0 x 图像经过一、二
45、、四象限，y 随 x 的增大而减小 b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（2）当 k0 k0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y x 的取值范围是 x0，y 的取值范围是 y0；当 k0 a0 y y 其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精品知识点 0 x 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（
46、ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当 x=ab2时，y 有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x=ab2时，y 有最大值，abacy442最大值 2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上 a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0
47、时，图像与 x 轴有一个交点；当0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆-同左上加 异右下减(必须理解记忆)说明 函数中 ab 值同号，图像顶点在 y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在 Y轴右侧异右 向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减 3、直线斜率
48、：1212tanxxyyk b为直线在y轴上的截距4、直线方程：4、两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精品知识点)()(tan112121xxxxxyybxbkxyy 此公式有多种变形 牢记 点斜 )(11xxkxyy 斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式:ykxb(k0)截距 由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1byax 牢记 口诀 -两点斜截距-两点 点
49、斜 斜截 截距 5、设两条直线分别为，1l：11yk xb 2l：22yk xb 若12/ll，则有1212/llkk且12bb。若12121llkk 6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0)的距离:1)1(2002200kbykxkbykxd 7、抛物线cbxaxy2中，a b c,的作用 （1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy 中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线 abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.口诀-同左 异右
50、 （3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：0c，抛物线经过原点;0c,与y轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴.其最高点二次函数的图像是对称轴平行于包括重合轴的抛物线二次函数相等抛物线的开口大小形状相同平行于轴或重合的直线记作特别地轴记法公式法顶点是对称轴是直线配方法运用配方法将抛物线的解析式化为学习必备 精品知识点 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分