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1、2.1.2 求曲线的方程（2）（教学设计）教学目标：知识目标：1.根据条件，求较复杂的曲线方程.2.求曲线的交点.3.曲线的交点与方程组解的关系.能力目标:1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力.2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质.情感目标：1.渗透数形结合思想.2.培养学生的辨证思维.教学重点 1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y)的关系式 f(x,y)=0.2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题.教学难点 1.寻找“几何关系”.2.转化为“动点坐标”关系.教学方法 启发诱导式教学法.启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径.教学过程 一、
2、复习回顾：求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标(,)x y;2.写出适合条件 P 的几何点集:()PM P M;3.用坐标表示条件()P M,列出方程(,)0f x y;4.化简方程(,)0f x y 为最简形式;5.证明(查漏除杂).说明：回顾求简单曲线方程的一般步骤,阐明步骤(2)、(3)为关键步骤,说明(5)步不要求书面表达,但思维一定要到位,注意等价性即可.二、师生互动，新课讲解：（一）、直接法：由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法 例
3、 1：(1)求和定圆 x2+y2=R2的圆周的距离等于 R 的动点 P 的轨迹方程；(2)过点 A(a，o)作圆 Ox2+y2=R2(aRo)的割线，求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹 对(1)分析：动点 P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点 P 的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0 解：（1）设动点 P(x，y)，则有|OP|=2R 或|OP|=0 即 x2+y2=4R2或 x2+y2=0 故所求动点 P 的轨迹方程为 x2+y2=4R2或 x2+y2=0（2）设弦的中点为 M(x，y)，连结 OM，则 OMAM kOMkAM=-1，其轨迹是以 OA 为直径的圆在圆
4、 O 内的一段弧(不含端点)变式训练 1：.如图，在平面直角坐标系中，已知动点 P(x，y)，PMy 轴，垂足为 M，点 N 与点 P 关于 x轴对称且OP M N4，求动点 P 的轨迹方程。解：x24y221 （二）、代入法（相关点法）：若动点 P(x，y)随已知曲线上的点 Q(x0，y0)的变动而变动，且 x0、y0 可用x、y 表示，则将 Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P 的轨迹方程这种方法称为相关点法(或代入法)例 2：已知ABC，A(2,0)，B(0，2)，第三个顶点 C 在曲线132 xy上移动，求ABC 的重心的轨迹方程 形结合思想培养学生的辨证思维教学重点求曲线方程的
5、实质就是找曲线旧知识点的联系从而发现解决问题的途径教学过程一复习回顾求曲线的说明回顾求简单曲线方程的一般步骤阐明步骤为关键步骤说明步不要求解析：设 ABC 的重心为 G(x，y)，顶点 C 的坐标为(x1，y1)，由重心坐标公式得 x20 x13y02y13，x13x2y13y2，代入 y13x211，得 3y23(3x2)21.y9x212x3 即为所求轨迹方程 题后感悟(1)代入法：像本例将所求点 M 的坐标代入已知曲线方程求得动点 M 的轨迹方程的方法叫代入法(2)代入法求轨迹(曲线)方程的基本步骤为 设点：设所求轨迹上任意点 M(x，y)，设动点(已知轨迹的动点)P(x0，y0)求关系
6、式：求出两个动点的关系式 x0f x，y，y0g x，y.代入：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程 变式训练 2：已知 O 为直角坐标系原点，M 为圆 3222yx上的动点，试求 MO 中点的轨迹方程。（三）、参数法：如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出，也没有明显的相关点，但能发现这个动点受某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的影响，此时，可先建立 x、y 分别与这个变量的关系，然后将该变量(参数)消去，即可得到 x、y 的关系式 例 3：过原点的直线与圆05622xyx相交于 A、B 两点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程。解：设过原点的直线为 y
7、=kx，弦 AB 的中点 M(x,y)把 y=kx 代入 x2+y2-6x+5=0 得：x2+(kx)2-6x+5=0 即:(1+k2)x2-6x+5=0 消去 k 得：y2=3x-x2 弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为 y2=3x-x2。221k16xx22121k16kkxkxyy221221k13k2yyyk132xxx形结合思想培养学生的辨证思维教学重点求曲线方程的实质就是找曲线旧知识点的联系从而发现解决问题的途径教学过程一复习回顾求曲线的说明回顾求简单曲线方程的一般步骤阐明步骤为关键步骤说明步不要求变式训练 3：-答案:（四）、.两曲线交点问题:例 4：已知抛物线mxxy22及直线
8、xyl2:,当 m 为何值时,(1)有两个交点；(2)仅有一个交点；(3)无交点.分析：抛物线 C 和直线l的交点个数与其方程构成的方程组的解的个数一一对应.解:由xymxxy222消去y得 042mxx (1)抛物线 C 和直线l有两个交点,则方程有两根,所以0442m,.4m 故当4m时,抛物线 C 和直线l有两个交点.(2)同理,4m时,抛物线 C 和直线l仅有一个交点.(3)当时,抛物线 C 和直线l无交点.:小结：1.两条曲线交点的坐标应是两个曲线的方程的公共实数解.即两个曲线方程组成的方程组的实数解.2.两曲线交点个数与方程组的实数解一一对应.3、求曲线方程的几种方法 三、课堂小结
9、，巩固反思：1、求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标(,)x y;2.写出适合条件 P 的几何点集:()PM P M;3.用坐标表示条件()P M,列出方程(,)0f x y;4.化简方程(,)0f x y 为最简形式;5.证明(查漏除杂).2、常用求轨迹方程的方法。四、分层作业：1 ABC 一边的两个端点是 B(0，6)和 C(0，-6)，另两边斜率的积是49，求顶点 A 的轨迹方程。（注：暂不考虑变量的取值范围）的顶点的轨迹方程是二次函数)(1)12()(22Rmmxmxxf043yx形结合思想培养学生的辨证思维教学重点求曲线方程的
10、实质就是找曲线旧知识点的联系从而发现解决问题的途径教学过程一复习回顾求曲线的说明回顾求简单曲线方程的一般步骤阐明步骤为关键步骤说明步不要求解：2213681yx 2点 P 与一定点 F(2，0)的距离和它到一定直线 x=8 的距离的比是 12，求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？解：2211612xy 4、已知点 M 到点 F(0,1)和直线 l：y1 的距离相等，求点 M 的轨迹方程 图 2 解：设点 M 的坐标为(x，y)，点 M 的轨迹就是集合 PM|MF|MQ|，其中 Q 是点 M 到直线 y1 的垂线的垂足 由两点间距离公式及点到直线的距离公式，得x2 y12|y1|，将上式
11、两边平方，得 x2(y1)2(y1)2，化简，得 y14x2.下面证明方程是所求轨迹的方程(1)由求方程的过程，可知曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)设点 M1的坐标(x1，y1)是方程的解，那么 y114x21，即 x21(y11)2(y11)2，x21 y112|y121,(3,1),.CyxABCPABBCP 3.已知曲线：定点为 上任一点 点 为中点 当 在 上运动时求 点的轨迹方程),(yxP令),(11yxB.21,2311yyxx.12,3211yyxx.)12(1)32(2yxP点的轨迹方程是所求，又2111yx解:形结合思想培养学生的辨证思维教学重点求曲线方程的实质就是找曲线旧知识点的联系从而发现解决问题的途径教学过程一复习回顾求曲线的说明回顾求简单曲线方程的一般步骤阐明步骤为关键步骤说明步不要求1|，|M1F|M1Q1|.其中 Q1是点 M1到直线 y1 的垂线的垂足，因此点 M1是曲线上的点 由(1)(2)，可知方程是所求轨迹的方程，图形如图 2 所示 形结合思想培养学生的辨证思维教学重点求曲线方程的实质就是找曲线旧知识点的联系从而发现解决问题的途径教学过程一复习回顾求曲线的说明回顾求简单曲线方程的一般步骤阐明步骤为关键步骤说明步不要求