《2023年点线面位置关系知识点总结归纳梳理及经典例题带解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年点线面位置关系知识点总结归纳梳理及经典例题带解析.pdf（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师总结 优秀知识点【知识梳理】（1）四个公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：,Al BlABl 且。公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。三个推论：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 经过两条相交直线，有且只有一个平面 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。符号语言：,PPl Pl 且。公理 4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：/,/alblab且。（2）空间中直线
2、与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。已知两条异面直线,a b，经过空间任意一点 O作直线/,/aa bb，我们把a与b所成的角（或直角）叫异面直线,a b所成的夹角。（易知：夹角范围090 ）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面的位置关系有三种：/llAl直线在平面内（）有无数个
3、公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：/l 两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线 名师总结 优秀知识点 直线、平面平行的判定及其性质 1.内容归纳总结（1）四个定理 定理 定理内容 符号表示 分析解决问题的常用方法 直线与平面 平行的判定 平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行,/ababa且 在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面 平行的判定 一个平面内的两条相交直
4、线与另一个平面平行，则这两个平面平行,/,/ababP ab 判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面 平行的性质 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行/,/aabab 平面与平面 平行的性质 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行/,/abab 直线、平面平垂直的判定及其性质 1.内容归纳总结（一）基本概念 1.直线与平面垂直：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面垂直，记作l。直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面。直线与平面的公共点P
5、叫做垂足。2.直线与平面所成的角：角的取值范围：090 。3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法：二面角的取值范围：0180 ；两个平面垂直：直二面角。（二）四个定理 定理 定理内容 符号表示 分析解决问题的常用方法 直线与平面 垂直的判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。,mnmnPam ana、且 在已知平面内“找出”两条相交直线与已知直线垂直就可以判定直线与平面垂直。即将“线面垂直”转化为“线线垂直”平面与平面 一个平面过另一平面的垂,aa （满判定的关键：在一个已知平面
6、内“找过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 垂直的判定 线，则这两个平面垂直。足条件与垂直的平面有无数个）出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面 垂直的性质 同垂直与一个平面的两条直线平行。,/abab 平面与平面 垂直的性质 两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线与另一个平面垂直。,l aala 解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线 【经典例题】典型例题
7、一 例 1 简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线a平面，直线Aab，则b和的位置关系如何？（2）直线a，直线ab/，则直线b和的位置关系如何？分析：（1）由图（1）可知：b或Ab；（2）由图（2）可知：/b或b 说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法 典型例题二 例 2 P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：/PC平面BDQ 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了 证明：如图所示，连结AC，交BD于点O，四边形ABCD是平行四边形 COAO，连结OQ，则OQ在平面BDQ内，且O
8、Q是APC的中位线，OQPC/PC在平面BDQ外，/PC平面BDQ 过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行 典型例题三 例
9、 3 经过两条异面直线a，b之外的一点P，可以作几个平面都与a，b平行？并证明你的结论 分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论 解：（1）当P点所在位置使得a，P（或b，P）本身确定的平面平行于b（或a）时，过P点再作不出与a，b都平行的平面；（2）当P点所在位置a，P（或b，P）本身确定的平面与b（或a）不平行时，可过点P作aa/，bb/由于a，b异面，则a，b不重合且相交于P由于Pba，a，b确定的平面，则由线面平行判定定理知：/a，/b可作一个平面都与a，b平行 故应作“0 个或 1 个”平面 说明：本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论
10、可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论 典型例题四 例 4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面 已知：直线ba/，/a平面，b 求证：/b 证明：如图所示，过a及平面内一点A作平面 设c，/a，ca/又ba/，cb/b，c，/b 说明：根据判定定理，只要在内找一条直线bc/，根据条件/a，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a作平面与相交，我们常把平面称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为
11、依据来做出辅助平面的 典型例题五 过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 例 5 已知四面体ABCS 的所有棱长均为a求：（1）异面直线ABSC、的公垂线段EF及EF的长；（2）异面直线EF和SA所成的角 分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线ABSC、的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解 解：（1）如图，分别取ABSC、的中点FE、，连结CFSF、由已知，得SABCAB CFSF，E是SC的
12、中点，SCEF 同理可证ABEF EF是ABSC、的公垂线段 在SEFRt中，aSF23，aSE21 22SESFEF aaa22414322（2）取AC的中点G，连结EG，则SAEG/EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线EF和SA所成的角 连结FG，在EFGRt中，aEG21，aGF21，aEF22 由余弦定理，得 22222124142412cos222222aaaaaEFEGGFEFEGGEF 45 GEF 故异面直线EF和SA所成的角为45 说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值 典型例题六 例 6 如果一条直线与一个平面平行，那么
13、过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内 已知：直线/a，B，bB，ab/求证：b 过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 分析：由于过点B与a平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面外，不存在过B与a平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法 证明：如图所示，设b，过直线a和点B作平面，且b/a，/b 这样过B点就有两条直线b和b同时平行于直线a，与平行公理矛盾 b必在内 说明：(1)本例的结论可以直
14、接作为证明问题的依据(2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式 如上图，过直线a及点B作平面，设b/a，/b 这样，b与b都是过B点平行于a的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条，b与b重合b，b 典型例题七 例 7 下列命题正确的个数是（）(1)若直线l上有无数个点不在平面内，则/l；(2)若直线l平行于平面内的无数条直线，则/l；(3)若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线平行；(4)若直线l在平面外，则/l A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平
15、面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类 解：(1)直线l上有无数个点不在平面内，并没有说明是所在点都不在平面内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交解题时要注意“无数”并非“所有”(2)直线l虽与内无数条直线平行，但l有可能在平面内，所以直线l不一定平行(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到当/l时，若m且lm/，则在平面内，除了与m平行的直线以外的每一条直线与l都是异面直线(4)直线l在平面外，应包括两种情况：/l和l与相交，所以l与不一定平行 故选 A 说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面如
16、直线l、m都平行于，则l与m的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线ml/、/l，则m与的位置过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 关系可能是平行，可能是m在内 典型例题八 例 8 如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交 已知：直线ba/，Pa平面求证：直线b与平面相交 分析：利用ba/转化为平面问题来解决，由ba/可确定一辅助平面，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，
17、又将三维降至二维，使得平几知识能够运用 解：ba/，a和b可确定平面 Pa，平面和平面相交于过点P的直线l 在平面内l与两条平行直线a、b中一条直线a相交，l必定与直线b也相交，不妨设Qlb，又因为b不在平面内（若b在平面内，则和都过相交直线b和l，因此与重合，a在内，和已知矛盾）所以直线b和平面相交 说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点，则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）典型例题九 例 9 如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行
18、已知：a与b是异面直线求证：过b且与a平行的平面有且只有一个 分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法解题时要理解“有且只有”的含义“有”就是要证明过直线b存在一个平面，且/a，“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的存在性常用构造法找出（或作出）平过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论 证明：(1)在直线b上任取一点A，由点A和直线a可确定平面 在平面内过点A作直线a，使aa/，
19、则a和b为两相交直线，所以过a和b可确定一平面 b，a与b为异面直线，a 又/aa，a，/a 故经过b存在一个平面与a平行(2)如果平面也是经过b且与a平行的另一个平面，由上面的推导过程可知也是经过相交直线b和a的 由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面与重合，即满足条件的平面是唯一的 说明：对于两异面直线a和b，过b存在一平面且与a平行，同样过a也存在一平面且与b平行而且这两个平面也是平行的（以后可证）对于异面直线a和b的距离，也可转化为直线a到平面的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法 典型例题十 例 10 如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线
20、平行 已知：l，/a，/a，求证：la/分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力利用线面平行的性质定理，可以先证明直线a分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明a与l平行 证明：在平面内取点P，使lP，过P和直线a作平面交于b/a，a，b，ba/过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 同理过a作平面交于c/a，a，c，ca/cb/b，c，/b 又b，l，lb/又
21、ba/，la/另证：如图，在直线l上取点M，过M点和直线a作平面和相交于直线1l，和相交于直线2l /a，1/la，/a，2/la，但过一点只能作一条直线与另一直线平行 直线1l和2l重合 又1l，2l，直线1l、2l都重合于直线l，la/说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要 典型例题十一 例 11 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各取一点P、Q，且DQAP 求证：/PQ面BCE 过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之
22、直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行关键是在平面BCE中如何找一直线与PQ平行可考察过PQ的平面与平面BCE的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同 证明一：如图，在平面ABEF内过P作ABPM/交BE于M，在平面ABCD内过Q作ABQN/交BC于N，连结MN ABPM/，AEPEABPM 又CDABQN/，BDBQDCQN，即BDBQABQN 正方形ABEF与ABCD有公共边AB，DBAE DQAP，BQPE QNPM 又ABPM/，ABQN/，QNPM/四边形PQNM为平行四边形 M
23、NPQ/又MN面BCE，/PQ面BCE 证明二：如图，连结AQ并延长交BC于S，连结ES 过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 ADBS/，QBDQQSAQ 又正方形ABEF与正方形ABCD有公共边AB，DBAE，DQAP，QBPE QSAQQBDQPEAP ESPQ/，又ES面BEC，/PQ面BEC 说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平
24、行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立？典型例题十二 例 12 三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点 已知：a，b，c 求证：a、b、c互相平行或相交于一点 分析：本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系 证明：a，b，ba、a与b平行或相交 若ba/，如图 b，a，/a 过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且
25、空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 又c，a，ca/cba/若a与b相交，如图，设Oba，aO，bO 又a，b O，O 又c，cO 直线a、b、c交于同一点O 说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体ABCD中，M、N分别是1CC、11BA的中点，画出点D、M、N的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？典型例题十三 例 13 已知空间四边形ABCD，ACAB，AE是ABC的BC边上的高，DF是BCD的BC边上的中线，求证：AE和DF是异面直线 证法一：（定理法）如图 由题设条件可知点E、F不重合
26、，设BCD所在平面 DFEEADFAE和DF是异面直线 证法二：（反证法）若AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面，设过AE、DF的平面为(1)若E、F重合，则E是BC的中点，这与题设ACAB相矛盾(2)若E、F不重合，EFB，EFC，EF，BC 过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 A，D，A、B、C、D四点共面，这与题设ABCD是空间四边形相矛盾 综上，假设不成立 故AE和DF是异面直线 说明：反证法不仅应用于有关数学问
27、题的证明，在其他方面也有广泛的应用 首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？”对于这个问题，同学们可试验做一做 也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的 那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则 9 个单数之和仍为单数，与36 这个双数矛盾只须两句话就解决了这个问题 典型例题十四 例 14 已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，求证：平面EFG和AC平行，也和BD平行 分析：欲证明AC/平面EF
28、G，根据直线和平面平等的判定定理只须证明AC平行平面EFG内的一条直线，由图可知，只须证明EFAC/证明：如图，连结AE、EG、EF、GF 在ABC中，E、F分别是AB、BC的中点 EFAC/于是AC/平面EFG 同理可证，BD/平面EFG 说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：(1)根据直线和平面平行定义；(2)根据直线和平面平行的判定定理 典型例题十五 例 15 已知空间四边形ABCD，P、Q分别是ABC和BCD的重心，求证：ACDPQ平面/分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ与平面ACD中的某条直线平行，根据条件，此直线为AD，如图 过两条相交直线有且只有一个平面
29、经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 证明：取BC的中点E P是ABC的重心，连结AE，则13PEAE，连结DE，Q为BCD的重心，13QEDE，在AED中，ADPQ/又ACDAD平面，ACDPQ平面，ACDPQ平面/说明：(1)本例中构造直线AD与PQ平行，是充分借助于题目的条件：P、Q分别是ABC和BCD的重心，借助于比例的性质证明ADPQ/，该种方法经常使用，望注意把握(2)“欲证线面平行，只须证线线平行”判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法根
30、据问题具体情况要熟练运用 典型例题十六 例 16 正方体1111DCBAABCD 中，E、G分别是BC、11DC的中点如下图 求证：DDBBEG11/平面 分析：要证明DDBBEG11/平面，根据线面平等的判定定理，需要在平面DDBB11内找到与EG平行的直线，要充分借助于E、G为中点这一条件 证明：取BD的中点F，连结EF、FD1 过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 E为BC的中点，EF为BCD的中位线，则DCEF/，且C
31、DEF21 G为11DC的中点，CDGD/1且CDGD211，GDEF1/且GDEF1，四边形GEFD1为平行四边形，EGFD/1，而111BBDDFD平面，11BBDDEG平面，11/BBDDEG平面 典型例题十七 例 17 如果直线平面/a，那么直线a与平面内的（）A一条直线不相交 B两条相交直线不相交 C无数条直线不相交 D任意一条直线都不相交 解：根据直线和平面平行定义，易知排除 A、B对于 C，无数条直线可能是一组平行线，也可能是共点线，C也不正确，应排除 C 与平面内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面平行，D正确 应选 D 说明：本题主要考查直线与平面平行的定义 典型例题十
32、八 例 18 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）A一定平行 B一定相交 C一定异面 D相交或异面 解：如图中的甲图，分别与异面直线a、b平行的两条直线c、d是相交关系；如图中的乙图，分别与异面直线a、b平行的两条直线c、d是相交关系 综上，可知应选 D 说明：本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力 典型例题十九 过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 例 19 a、b是两条异面直线，下列结论正确的
33、是（）A过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b平行 B过不在a、b上的任一点，可作一个直线与a、b相交 C过不在a、b上的任一点，可作一个直线与a、b都平行 D过a可以并且只可以作一平面与b平行 解：A错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能使这个平面与平行了 B错，若点与a所确定的平面与b平等时，就不能作一条直线与a，b相交 C错，假如这样的直线存在，根据公理 4 就可有ba/，这与a，b异面矛盾 D正确，在a上任取一点 A，过 A点做直线bc/，则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是惟一的 应选 说明：本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念 典型例题二十 例 20(1
34、)直线ba/，平面/a，则b与平面的位置关系是_(2)A是两异面直线a、b外的一点，过A最多可作_个平面同时与a、b平行 解：(1)当直线b在平面外时，/b；当直线b在平面内时，b 应填：/b或b(2)因为过A点分别作a，b的平行线只能作一条，（分别称a，b）经过a，b的平面也是惟一的所以只能作一个平面；还有不能作的可能，当这个平面经过a或b时，这个平面就不满足条件了 应填：1 说明：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键 典型例题二十一 例 21 如图，/a，A是的另一侧的点，aDCB,，线段AB，AC，AD交于E，F，G，若4BD，4CF，5AF，则EG=_ 解：/a，ABD
35、EG平面 EGa/，即EGBD/，FCAFAFBDEGCDBCFGEFACAFCDFGBCEF 过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 则9204545FCAFBDAFEG 应填：920 说明：本题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力 【课堂练习】1.若直线 a 不平行于平面，则下列结论成立的是（）A.内所有的直线都与 a 异面；B.内不存在与
36、 a 平行的直线；C.内所有的直线都与 a 相交；D.直线 a 与平面有公共点.2.已知两个平面垂直，下列命题 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（）A.3 B.2 C.1 D.0 3.空间四边形 ABCD 中，若ABADACCBCDBD，则AC与BD所成角为 A、030 B、045 C、060 D、090 4.给出下列命题：（1）直线 a 与平面不平行，则 a 与平面内的所有直线都不平行；（2）直线 a
37、与平面不垂直，则 a 与平面内的所有直线都不垂直；（3）异面直线 a、b 不垂直，则过 a 的任何平面与 b 都不垂直；（4）若直线 a 和 b 共面，直线 b 和 c 共面，则 a 和 c 共面 其中错误命题的个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 5正方体 ABCD-A1B1C1D1中，与对角线 AC1异面的棱有（）条 A 3 B 4 C 6 D 8 6.点 P为ABC所在平面外一点，PO 平面 ABC，垂足为 O，若 PA=PB=PC，则点 O是ABC的（）（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心 7.如图长方体中，AB=AD=23，CC1=2，则二面角 C1BD C的大
38、小为（）（A）300 （B）450 （C）600 （D）900 8.直线 a,b,c及平面,下列命题正确的是（）A、若 a，b,c a,c b 则 c B、若 b,a/b 则 a/C、若 a/,=b 则 a/b D、若 a,b 则 a/b 9.平面与平面平行的条件可以是（）A.内有无穷多条直线与平行；B.直线 a/,a/C.直线 a,直线 b,且 a/,b/D.内的任何直线都与平行 10、a,b是异面直线，下面四个命题：过 a 至少有一个平面平行于 b；过 a 至少有一个平面垂直于 b；A B C D A1 B1 C1 D1 过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行
39、与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 至多有一条直线与 a，b 都垂直；至少有一个平面与 a，b 都平行。其中正确命题的个数是（）选择题答题表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）11.已知直线 a/平面，平面/平面，则 a 与的位置关系为 .12已知直线 a直线 b,a/平面,则 b 与的位置关系为 .13 如图，ABC是直角三角形，ACB=90，PA平面 ABC，此图形中有 个直角三角形 14.、是两个不同的平
40、面，m、n 是平面及之外的两条不同直线,给出四个论断：m n m n 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为 正确的一个命题：_.三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）15如图，PA 平面 ABC，平面 PAB 平面 PBC 求证：AB BC 16在三棱锥 S-ABC中，已知 AB=AC，O 是 BC的中点，平面 SAO 平面 ABC 求证：SAB=SAC 17如图，PA 平面 ABC，AE PB，AB BC，AF PC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面 AEF 平面 PBC；（2）求二面角 PBC A的大小；（3）求三棱锥 PAEF的体积.P
41、A B C A B C P A B C P E F A B O C S 过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点【课后作业】一、选择题 1 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题：若不共面与则点mlmAAlm,；若m、l是异面直线，nmnlnml则且,/,/；若mlml/,/,/,/则；若./,/,/,则点mlAmlml 其中为假命题的是 A B C D 2.设,为两两不重合的平面，nml,为两两不重合的直线，给出
42、下列四个命题：若，则|；若m，n，|m，|n，则|；若|，l，则|l；若l，m，n，|l，则nm|其中真命题的个数是 A1 B2 C3 D4 3已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若/,则mm；若/,则；若/,/,则nmnm；若m、n是异面直线，/,/,/,则nnmm。其中真命题是 A和 B和 C和 D和 4已知直线nml、及平面，下列命题中的假命题是 A若/lm，/mn，则/ln.B若l，/n，则ln.C若lm，/mn，则ln.D若/l，/n，则/ln.5在正四面体 PABC中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是 ABC
43、 平面 PDF BDF平面 PAE C平面 PDF平面 ABC D平面 PAE平面 ABC 6有如下三个命题：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直 其中正确命题的个数为 A0 B1 C2 D3 7下列命题中，正确的是 A经过不同的三点有且只有一个平面 B分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另
44、一名师总结 优秀知识点 D垂直于同一个平面的两个平面平行 8已知直线 m、n 与平面,，给出下列三个命题：若;/,/,/nmnm则 若;,/mnnm则 若.,/,则mm 其中真命题的个数是 A0 B1 C2 D3 9已知a、b、c 是直线，是平面，给出下列命题：若cacbba/,则；若cacbba 则,/；若baba/,/则；若a与 b 异面，且与则ba,/相交；若a与 b 异面，则至多有一条直线与a，b 都垂直.其中真命题的个数是 A1 B2 C3 D4 10过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有 A18 对 B24 对 C30 对 D36 对 11正方体1111ABCDAB
45、C D中，P、Q、R分别是AB、AD、11BC 的中点那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是 A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 12不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 A3 个 B4 个 C6 个 D7 个 13设、为平面，lnm、为直线，则m的一个充分条件是 Alml,B,m C m,Dmnn,14设、为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：若，则lm；若lm，则那么 A是真命题，是假命题 B 是假命题，是真命题 C 都是真命题 D都是假命题 15对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；内有
46、不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l、m，使得l/，l/，m/，m/，过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 其中，可以判定与平行的条件有 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题 1已知平面,和直线 m，给出条件：/m；m；m；/.（i）当满足条件 时，有/m；（ii）当满足条件 时，有m（填所选条件的序号）2在正方形DCBAABCD 中，过对角线BD的一个平面交AA于 E，交CC于 F，则 一、四边形EBFD一
47、定是平行四边形 二、四边形EBFD有可能是正方形 三、四边形EBFD在底面ABCD 内的投影一定是正方形 四、四边形EBFD有可能垂直于平面DBB 以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）3下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 其中，真命题的编号是 _（写出所有真命题的编号）4已知 m、n 是不同的直线，,是不重合的平面，给出下列命题：若/,mn 则/m
48、n 若,/,/,m nmn则/若,/mnmn,则/m、n 是两条异面直线，若/,/,/,/,mmnn则/上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)5 已知 m、n 是不同的直线，,是不重合的平面，给出下列命题：若/m，则m平行于平面内的任意一条直线 若/,mn 则/mn 若,/mnmn,则/若/,m,则/m 上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)6连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线之直线所成的夹角易知夹角范围定理空间中
49、如果一个角的两边分别与另一名师总结 优秀知识点 菱形 有 3 条边相等的四边形 梯形 平行四边形 有一组对角相等的四边形 三、计算题 1 如图 1 所示，在四面体 PABC中，已知 PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F 是线段 PB上一点，341715CF，点 E在线段 AB上，且 EFPB.（）证明：PB平面 CEF；（）求二面角 BCE F的大小.2如图，在五棱锥 SABCDE中，SA 底面 ABCDE，SA=AB=AE=2，3DEBC，120CDEBCDBAE 求异面直线 CD 与 SB 所成的角（用反三角函数值表示）；证明：BC平面 SAB；用反三角函数值表示二
50、面角 BSCD 的大小（本小问不必写出）3 已知三棱锥 PABC 中，E、F 分别是 AC、AB 的中点,ABC，PEF 都是正三角形，PFAB.（）证明 PC平面 PAB；（）求二面角 PABC 的平面角的余弦值；（）若点 P、A、B、C 在一个表面积为 12的球面上，求ABC 的边长.4.已知正三棱锥ABCP 的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为60。（1）证明：BCPA；（2）求底面中心O到侧面的距离.如图 1 PACBFEABCDESEABCPFPBCAO过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面性平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言且空间中直线与直线