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1、精品资料 欢迎下载 1.二元函数极限概念分析 定义 1 设函数f在2DR上有定义，0P是D的聚点，A是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数，总存在某正数,使得00(;)PUPD时，都有 ()f PA,则称f在D上当0PP时，以A为极限，记0lim()PPP Df PA.上述极限又称为二重极限.2二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y在点00(,)xy处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x yxyf x yf xy.例 1 求2(,)2f x yxxy 在点(1,2)的极限.解：因为2(,)2f x yxxy在点(1,2)处连续，所以 122
2、122lim(,)lim(2)12 1 25.xyxyf x yxxy 例 2 求极限 221,1,21limyxyx 解：因函数在1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 221,1,21limyxyx=31 精品资料 欢迎下载 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等.例 3 求 0024limxyxyxy 解：0024limxyxyxy 00(24)(24)lim(24)xyxyxyxyxy 00lim(24)xyxyxyxy 001lim241.4xyxy 例 4 22220,0,321)31)(21(limyxyxyx 解：原式 2222,0,022
3、221213112131lim2312131x yxyxyxyxy 22,0,022222216lim121312312131x yx yxyxyxy 11022 的连续性命题若函数在点处连续则例求在点的极限解因为在点处连续所原式精品资料欢迎下载利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概形法计算如精品资料欢迎下载利用两个重要极限它们分别是一元函数中精品资料 欢迎下载 2.3 利用等价无穷小代换 一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的等价无穷小(,)0)u x y，有 sin(,)(,)u x yu x y；2(,)1 cos(,)2ux yu x y；ln 1(,)(
4、,)u x yu x y；tan(,)(,)u x yu x y；arcsin(,)(,)u x yu x y；arctan(,)(,)u x yu x y；(,)1(,)1nu x yu x yn；(,)1(,)u x yeu x y；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例 5 求 0011limxyxyxy 解：当 0 x，0y 时，有0 xy.111()2xyxy ，所以 000011lim1()2lim1.2xyxyxyxyxyxy 这个例子也可以用恒等变形法计算，如：00000011lim11lim(11)(11)1lim111.2xyxyxyxyxyxyxyxyx
5、y 的连续性命题若函数在点处连续则例求在点的极限解因为在点处连续所原式精品资料欢迎下载利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概形法计算如精品资料欢迎下载利用两个重要极限它们分别是一元函数中精品资料 欢迎下载 2.4 利用两个重要极限(,)0sin(,)lim1(,)u x yu x yu x y，1(,)(,)0lim1(,)u x yu x yu x ye 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.例 6 求极限 21lim(1)xx yxyaxy.解：先把已知极限化为 22()11lim(1)lim(1)xxxy x yxyx yxxyayaxyxy，而 211limlim,()(1)xx
6、yayaxyxy xyayx 当,xya时1,0 xyxy，所以 1lim(1).xyxyaexy 故原式=2()11lim(1).xxy x yxyxyaaxye 例 7 求 0sin()limxyaxyx极限.解：因为 sin()sin().xyxyyxxy，当0,xya时，0 xy，所以 sin()1xyxy，再利用极限四则运算可得：000sin()sin()sin()limlim.lim.lim.xxyaxyyayaxyxyxyyyaxxyxy1=a.这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如：当 0 x，ya时，0 xy ，sin()xyxy.的连续性命题若函数在点处连续则例求在点的极限
7、解因为在点处连续所原式精品资料欢迎下载利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概形法计算如精品资料欢迎下载利用两个重要极限它们分别是一元函数中精品资料 欢迎下载 所以，00sin()limlimlim.xxyayayaxyxyyaxx 2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论 例 8 求 30011lim()sincosxyxyxy 解:因为 300lim()0 xyxy 是无穷小量，11sincos1xy 是有界量，故可知，30011lim()sincos0.xyxyxy 例 9 求 22232(3)(2)lim(3)(2)xyxyxy 解 原式=2232(3)(2)lim(3)
8、(3)(2)xyxyxxy 因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)xyxyxyxy 是有界量，又 32lim(3)0 xyx 是无穷小量，所以，22232(3)(2)lim0(3)(2)xyxyxy.虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一.2.6 利用变量替换法 通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，的连续性命题若函数在点处连续则例求在点的极限解因为在点处连续所原式精品资料欢迎下载利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概形法计算如精品资料欢迎下载利用两个重要极限它们分别是一元函
9、数中精品资料 欢迎下载 从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。定理：函数,f x y点00,xy的取心领域内有定义的且cos a、cos b沿向量0,0 xx yy的方向余弦，若二元函数的极限000limcos,costxta ytbA,则 1若A的值与a、b无关，则 00,lim,x yxyfx yA；2若A的值与a、b有关，则 00,lim,x yxyfx y不存在；例 10 求 22()lim()x yxyxye 解 22222()22()lim()lim2x yx yxxyyxyxyxyeexxyy 因 0,0 xy时，222212xyxxyy，令 xyt，显然满
10、足定理的条件，则22()22limlimlimlim0 x ytttxtttyxytteeee，所以，22()lim()0 x yxyxye .例 11 求极限2222001coslimtanxyxyxy 解：令22uxy 又220000limlim0 xxyyuxy显然满足定理的条件，则 222222222000001cos1cossin1 sin1limlimlimlimcostan2 sec22tanxuuuyxyuuuuuuuuxy 2.7 利用夹逼准则 二 元 函 数 的 夹 逼 准 则：设 在 点000(,)P xy的 领 域 内 有(,)(,)(,)h x yf x yg x y
11、，且 0000(,)(,)(,)(,)lim(,)lim(,)x yxyx yxyh x yg x yA（常数），的连续性命题若函数在点处连续则例求在点的极限解因为在点处连续所原式精品资料欢迎下载利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概形法计算如精品资料欢迎下载利用两个重要极限它们分别是一元函数中精品资料 欢迎下载 则00(,)(,)lim(,)x yxyf x yA.但要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩 例 12 求 2200limxyxyxy 解:因为 222()00(0,0)xyxyxyxyxyxy ，由夹逼准则，得 2200lim0 xyxyxy.例 13 求极限222)si
12、n(limyxyxyx 解:222221)sin(0yxyxyx，又 01lim22yxyx，故 222)sin(limyxyxyx=0 2.8 先估计后证明法 此方法的运用往往是先通过观察推断出函数的极限，然后用定义证明.例 14 求函数2222(,)x yf x yxy在点(0,0)处的极限.解:此例分2 部考虑：的连续性命题若函数在点处连续则例求在点的极限解因为在点处连续所原式精品资料欢迎下载利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概形法计算如精品资料欢迎下载利用两个重要极限它们分别是一元函数中精品资料 欢迎下载 先令ykx，考虑(,)f x y沿ykx(,)(0,0)x y 时的极限，
13、4242222222220000lim(,)limlimlim0(1)1xxxxy kxx kx kkf x yxxx kxkk.因为路径ykx为特殊方向，因此我们还不能判断出极限为0.所以下面用定义检验极限是否为0：因为222222222222222()(,)002()2()xyxyxyxyx yx yf x yxyxyxyxy 10022xyxy 于是，0,取20,(,):0,0 x yxy 且2222102x yxy=2222，所以222200lim0 xyx yxy.例 15.求 224,xyf x yxy在 0,0的极限.解：若函数 224,xyf x yxy中动点,p x y沿直线
14、ykx趋于原点 0,0，则 2222322424244242,0,0,0,limlimlimlim01x yx ykxxoxoxyxyxk xx kxyxyxk xxk x 即函数 224,xyf x yxy中动点,p x y沿着无穷多个方向趋于原点时，它的极限为0；但根据这个我们不能说它的极限为0；由于动点,p x y沿着其它的路径，比如沿抛物线yx趋于原点时，其极限为 224,0,0limx yxyxy 2224220,0,1limlim2xx yxxyxxyxx从而判断出 224,0,0limx yxyxy不的连续性命题若函数在点处连续则例求在点的极限解因为在点处连续所原式精品资料欢迎下
15、载利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概形法计算如精品资料欢迎下载利用两个重要极限它们分别是一元函数中精品资料 欢迎下载 存在；通过例子我们得出任意方向不能代表任意路径，也就是说，我们沿动点,p x y不仅任何路径而且还必须任意方向；2.9 利用极坐标法 当二元函数中含有22xy项时，考虑用极坐标变换：cos,sinxy通过综合运用恒等变换，不等式放缩等方法将二元函数(,)f x y转化为只含有参量的函数()g，进而求二元函数的极限.例 16 计算 2222(,)(0,0)lim()sinx yxyxyxy 解:极限中的二元函数含有22xy，令cos,sinxy，使得 222222(sin
16、cos)0()sinsinxyxyxy，200lim00,lim0，由夹逼准则得，20(sincos)limsin0 所以，2222(,)(0,0)lim()sin0 x yxyxyxy.例 17 求极限22400limxyxyxy.解：若令 t 为变量，使cos,sinxtyt且,2o，则2222224cossin0cossinxytxyt，当,x y 0,0时，t0.对任意固定的 上式均趋于0，但不能下结论说22400limxyxyxy=0.事实上22400limxyxyxy不存在，这只的连续性命题若函数在点处连续则例求在点的极限解因为在点处连续所原式精品资料欢迎下载利用等价无穷小代换一元
17、函数中的等价无穷小概形法计算如精品资料欢迎下载利用两个重要极限它们分别是一元函数中精品资料 欢迎下载 让,x y沿着任意方向ykx趋于定点(0,0)，此时224200lim1xyxykxyk.=在运用此方法时注意，经过初等变换后的函数满足用迫敛性得函数的极限为a；若化简后的函数为(,)g，但对于某个固定的00,(,)0g，仍不能判断函数的极限为a.2.10 利用累次极限法 一般情况下，累次极限存在并不能保证二重极限存在，但二元函数(,)f x y满足定理 2 的条件，就可以利用累次极限0000lim lim(,)lim lim(,)xxyyyy xxf x yf x y或来计算极限.定理 2
18、若(,)f x y在点00(,)xy存在重极限00(,)(,)lim(,)x yxyf x y与两个累次极限 0000lim lim(,),lim lim(,)xxyyyy xxf x yf x y，则它们必相等.例 18 求极限4422(,)(0,0)limx yxyxy 解:44222222222()xyyyxxyxyxy，对任意4402220(0,),limyxyxUxxy一致的成立；而对4402220(0,),limxxyyUyxy存在，根据定理1，得 444422222(,)(0,0)000limlim limlim0 x yxyxxyxyxxyxy.这道题也可以用上述所说的先估计后
19、证明法和极坐标法来计算，如：（1）用先估计后证明法：解:通过观察可知极限中的二元函数分子是分母的高阶无穷小量，故极限的连续性命题若函数在点处连续则例求在点的极限解因为在点处连续所原式精品资料欢迎下载利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概形法计算如精品资料欢迎下载利用两个重要极限它们分别是一元函数中精品资料 欢迎下载 应为0，定义证明：0,因为 4444222222220 xyxyxyxyxyxy，故要使4422,xyxy只要取4，(,):,x yxy则4422220442xyxyxy ，故 4422(,)(0,0)lim0 x yxyxy.（2）用极坐标法 解 令 cos,sinxy，因为
20、 444442442222(cossin)0(cossin)2xyxy，200lim00,lim 20，由夹逼准则得，2440lim(cossin)0，所以，4422(,)(0,0)lim0 x yxyxy.例 19 求函数,f x y=11sinsinxyyx的极限.解：,0,0001111limsinsinlimlimsinsinx yyxxyxyyxyx 当0 x，以y为常数时，01limsinxx 不存在，从而得原函数极限不存在;很显然，这种计算法是错的；因为 ,0,011limsinsinx yxyyx ,0,0,0,011limsinlimsinx yx yxyyx中，当0 x 时
21、，x为无穷小量；0y 时，1siny为有界量，的连续性命题若函数在点处连续则例求在点的极限解因为在点处连续所原式精品资料欢迎下载利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概形法计算如精品资料欢迎下载利用两个重要极限它们分别是一元函数中精品资料 欢迎下载 从而得 00,1limsinx yxyxy0，同样 00,1limsin0 x yxyyx；所以 ,0,011limsinsinx yxyyx ,0,0,0,011limsinlimsinx yx yxyyx0；此例题我们推出：如果不熟重极限与累次极限的定义反而混乱它们的存在性，所以应该要注意下列三点：一）若累次极限存在且相等，而重极限不一定存在
22、；例：224,0,0limx yxyxy中：2224240000lim limlim lim0yxxyxyxyxyxy但 224,0,0limx yxyxy不存在。二）虽然重极限存在，但不一定两累次极限存在；例：,0,011limsinsinx yxyyx中，,0,011limsinsinx yxyyx00011limlimsinsinyxxyyx，0011limlimsinsinxyxyyx两都不存在；三）两累次极限和重极限中有一个或两个存在不能保证其它的极限的存在性；2.11 利用取对数法 这一方法适合于指数函数求极限.对于二元指数函数，也可以像一元函数那样，先取对数，然后再求极限.例 2
23、0 求 222200lim()x yxyxy 解:设 2222()x yuxy，则 222222222222lnln()()ln()x yux yxyxyxyxy，而 的连续性命题若函数在点处连续则例求在点的极限解因为在点处连续所原式精品资料欢迎下载利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概形法计算如精品资料欢迎下载利用两个重要极限它们分别是一元函数中精品资料 欢迎下载 22220000221limlim011xxyyx yxyyx，令 22xyt，知，222200000021lnlim()ln()lim lnlimlimlim011xttttyttxyxyttttt 故原式=01e；2.12
24、 运用洛必达法则求二元函数的极限 例 21 求)()(sinlim22)0,0(),(xyxyyxyx 解:由第一章定理 7 洛必达法则可知 )()(sinlim22)0,0(),(xyxyyxyx )2)(cos()2)(cos(21lim222222)0,0(),(yyxyxyyxxyxyxyyxxyyx0)(cos(lim2322)0,0(),(yxxyyxyx 2.13 利用定义求二元函数极限 例 22 用定义验证：3lim221,1,yxyxyx 解:11132222xyyxyxyx =111111yyxyyxx=21112111yyyxxyyyxx，的连续性命题若函数在点处连续则例
25、求在点的极限解因为在点处连续所原式精品资料欢迎下载利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概形法计算如精品资料欢迎下载利用两个重要极限它们分别是一元函数中精品资料 欢迎下载 限定0，则.11,11yx 从而 53113111yxyxyx，431312yyy 故 1151415322yxyxyxyx 设为任意正数，取10,1min，则当 1,2,1,1yxyx时，就有1025722yxyx 和一元函数一样，在使用函数定义求极限的时候，也伴随有放缩，这时要注意是对两个自变量的同时限制 在二元函数的定义中，要求),(yxP任意方式趋于),(000yxP时，函数(,)f x y都无限接近于A因此，很容
26、易得到：若在 yxf,的定义域内存在两条不同的连续曲线 xhyxgy,，且当0 xx 时，()()00,g xy h xy，但函数式 yxf,沿着这两条曲线逼近00,yx时的极限却不同，或者一个存在，另一个不存在，则二元函数 yxf,在此点不存在极限 就这样，一道题有几种解法，哪个方法比较简单，比较合适就用哪个方法.的连续性命题若函数在点处连续则例求在点的极限解因为在点处连续所原式精品资料欢迎下载利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概形法计算如精品资料欢迎下载利用两个重要极限它们分别是一元函数中精品资料 欢迎下载 的连续性命题若函数在点处连续则例求在点的极限解因为在点处连续所原式精品资料欢迎下载利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概形法计算如精品资料欢迎下载利用两个重要极限它们分别是一元函数中