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1、学习必备 欢迎下载 第一章 概率论的基本概念 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象 随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象 随机试验：具有下述三个特点的试验：1.可以在相同的条件下重复地进行 2.每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果 3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 样本空间：将随机试验 E的所有可能出现的结果组成的集合称为E的样本空间，记为 S 样本点：样本空间的元素，即 E的每个结果，称为样本点 样本空间的元素是由试验的目的所确定的。随机事件：一般，我们称试验 E的样本空间 S 的子集为 E的随机事件，简
2、称事件 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。必然事件：样本空间 S 包含所有的样本点，它是 S 自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。不可能事件：空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。事件间的关系与运算：设试验 E的样本空间为 S，而 A,B,kA（k=1,2,)是 S 的子集。1.若BA，则称事件 B包含事件 A，这指的是事件 A发生必然导致事件 B发生。若BA且AB,即 A=B，则称事件 A与事件 B相等。2.事件xBAAx或Bx称为事件 A与事件 B的和事
3、件。当且仅当 A,B中至少有一个发生时，事件BA发生。类似地，称nkU1kA为事件,21AAnA,的和事件；称kkAU 1为可列个事件,21AA的和事件。3.事件BA=xAx且Bx称为事件 A与事件 B的积事件。当且仅当 A,B同时发生时，事件BA发生。BA记作 AB。学习必备 欢迎下载 类似地，称InkkA1为 n 个事件,21AAnA,的积事件；称I 1kkA为可列个事件,21AA的积事件。4.事件xBAAx且Bx称为事件A与事件B的差事件。当且仅当 A发生、B不发生时事件BA发生。5.若BA，则称事件 A与 B 是互不相容的，或互斥的。这指的是事件 A与事件 B不能同时发生。基本事件是两
4、两互不相容的。6.若SBA且BA,则称事件 A与事件 B互为逆事件。又称事件 A与事件B互为对立事件。这指的是对每次试验而言，事件 A,B 中必有一个发生。A的对立事件A.A.AS 设CBA,为事件，则有 交换律：.;ABBAABBA 结合律：.)()(;)()(CBACBACBACBA 分配律：).()()();()()(CABACBACABACBA 德摩根律：.;BABABABA 频率与概率 频率：在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A发生的次数An，称为事件 A发生的频数，比值An/n 称为事件 A发生的频率，并记成 Afn 频率的基本性质：1.0 Afn1 的
5、条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个且能事先明确试验的即的每个结果称为样本点样本空间的元素是由试验的目的所确定的随机成的单点集称为基本事件必然事件样本空间包含所有的样本点它是自身学习必备 欢迎下载 2.Sfn=1 3.若,21AAkA,是两两互不相容的事件，则 nf(21AAkA）=nf（1A)+nf（kA）概率：设 E是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E的每一事件 A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件 A的概率，如果集合函数 P()满足下列条件：1.非负性 2.规范性：对于必然事件 S，有 P(S)=1 3.可列可加性：P(21AA）=P（1A）+P(2A)+概率的性质：1.P(
6、)=0 2.(有限可加性）若1A，2A，nA,是两两互不相容的事件，则有 P（21AAnA）=P(1A)+P(2A)+P(nA)3.设 A,B 是两个事件，若BA，则有 P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)P(A)4.对于任一事件 A，P(A)1 5.对于任一事件 A，有)(AP=1-P(A)6.对于任意两事件 A,B 有 P(BA)=P(A)+P(B)-P(AB)一般地，对于任意 n 个事件,21AAnA,，可以用归纳法得出 P(21AAnA）=)(1niiAP-)(1jnjiiAAP+kjnkjiiAAA1+)()1(211nnAAAP 等可能概型（古典概型）定义：具有以下两个特点的
7、试验称为等可能概型：1.试验的样本空间只包含有限个元素 2.试验中每个基本事件发生的可能性相同 事件概率计算公式：若事件 A包含 k 个基本事件，即 A jiiieee21 P(A)=)(1kjijeP=nk=（A包含的基本事件数）/（S 中基本事件的总数）的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个且能事先明确试验的即的每个结果称为样本点样本空间的元素是由试验的目的所确定的随机成的单点集称为基本事件必然事件样本空间包含所有的样本点它是自身学习必备 欢迎下载 实际推断原理：人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”条件概率 事件 A已发生的条件下事件 B发生的
8、概率 设 A,B 是两个事件，且 P(A)0，称 P(BA)=P(AB)/P(A)为在事件 A发生的条件下事件 B发生的条件概率.条件概率 P(A)的性质：1.非负性:P(B A)0 2.规范性：对于必然事件S，有 P(SA)=1 3.可列可加性：设,21BB是两两互不相容的事件，则有 iiBP 1(U1()iiBPA)A 对于任意事件 B,C,有 P(BCA)=P(BA)+P(CA)-P(BCA)乘法定理：设 P(A)0，则有 P(AB)=P(BA)P(A)一般，设,21AAnA,为 n 个事件，n2,且)(121nAAAP0,则有 nnAPAAAP()(211121()nnAPAAA222
9、1()APAAAn)()11APA 划分：设 S 为试验 E的样本空间，nBBB,21为 E的一组事件，若 1.njijiBBji,2,1,2.SBBBn21,则称nBBB,21为样本空间 S 的一个划分 全概率公式：设试验 E 的样本空间为 S，A 为 E 的事件，nBBB,21为 S 的一个划分，且),2,1(0)(niBPi，则 APAP()(APBPB()()11APBPB()()22)()nnBPB 的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个且能事先明确试验的即的每个结果称为样本点样本空间的元素是由试验的目的所确定的随机成的单点集称为基本事件必然事件样本空间包含所有的样本点它是自身
10、学习必备 欢迎下载 贝叶斯公式：设试验 E的样本空间为 S，A为 E的事件，nBBB,21为 S 的一个划分，且 P(A)0，),2,1(0)(niBPi,则 iBP()AAP()()iiBPB/njAP1()()jjBPB 先验概率：根据以往数据分析得到的概率 后验概率：在得到信息之后再重新加以修正的概率 独立性：设 A,B 是两事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A,B 相互独立，简称A,B 独立 定理一：设 A,B 是两事件，且 P(A)0，若 A,B 相互独立，则 P(BA)=P(B),反之亦然。定理二：若事件 A与 B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与B
11、,A与 B,A与B 设 A,B,C 是三个事件，如果满足等式：)()()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPBPBCPCPAPACPBPAPABP 则称事件A,B,C相互独立。一般，设,21AAnA,是 n(n2)个事件，如果对于其中任意2 个，任意3 个，任意n 个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件,21AAnA,相互独立。推论：1.若事件,21AAnA,(n 2)相互独立，则其中任意 k(2 kn)个事件也是相互独立；2.若 n 个事件,21AAnA,(n 2)相互独立，则将,21AAnA,中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的 n 各事件仍相互独立 的条件下重复地进行每次试验的可能结果不止一个且能事先明确试验的即的每个结果称为样本点样本空间的元素是由试验的目的所确定的随机成的单点集称为基本事件必然事件样本空间包含所有的样本点它是自身