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1、精品资料 欢迎下载 求二次函数解析式的基本方法及练习题 二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax2+bx+c (a0)。2、顶点式：y=a(x h)2+k (a 0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为 x=h。3、交点式：y=a(x x1)(x x2)(a0)，其中 x1,x2是抛物线与 x 轴的交点的横坐标。求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，
2、通常可设顶点式。3、若给出抛物线与 x 轴的交点或对称轴或与 x 轴的交点距离，通常可设交点式。探究问题，典例指津：例 1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(和)1,1(求这个二次函数的解析式 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式 y=ax2+bx+c (a0)。解：设这个二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c (a0)依题意得：145cbaccba 解这个方程组得：432cba 这个二次函数的解析式为 y=2x2+3x4。例 2、已知抛物线cbxaxy2的顶点坐标为)1,4(，与y轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。分析：此题给出抛物线cbxaxy2的顶点坐
3、标为)1,4(，最好抛开题目给出的cbxaxy2，重新设顶点式 y=a(x h)2+k (a 0)，其中点(h,k)为顶点。解：依题意，设这个二次函数的解析式为 y=a(x 4)21 (a 0)又抛物线与y轴交于点)3,0(。a(0 4)21=3 a=41 这个二次函数的解析式为 y=41(x 4)21，即 y=41x22x+3。精品资料 欢迎下载 例 3、如图，已知两点 A（8，0），（2，0），以 AB为直径的半圆与 y 轴正半轴交于点C。求经过 A、B、C三点的抛物线的解析式。分析：A、B两点实际上是抛物线与 x 轴的交点，所以可设交点式 y=a(x x1)(x x2)(a0)，其中 x
4、1,x2是抛物线与 x 轴的交点的横坐标。解：依题意，设这个二次函数的解析式为 y=a(x+8)(x2)又连结 AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推论易得：OC2=ACBC=82 OC=4 即 C(0,4)。a(0+8)(0 2)=4 a=41 这个二次函数的解析式为 y=41(x+8)(x 2)，即 y=41x223x+4。变式练习，创新发现 1、在图的方格纸上有A、B、C三点（每个小方格的边长为 1 个单位长度）（l）在给出的直角坐标系中分别写出点A、B、C的坐标；（2）根据你得出的A、B、C三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数 的解析式 2、已知抛物线的顶点坐标为)1,2(，与y轴
5、交于点)5,0(，求这条抛物线的解析式。3、已知抛物线过 A（2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）4.根据下列条件求二次函数解析式(1)若函数有最小值-8，且abc=12(-3)(2)若函数有最大值 2，且过点 A(-1，0)、B(3，0)(3)若函数当 x-2 时 y 随 x 增大而增大(x-2 时，y 随 x 增大而减小)，且图象过点(2，4)在 y轴上截距为-2 顶点式其中点为顶点对称轴为交点式其中是抛物线与轴的交点的横坐标通常可设顶点式若给出抛物线与轴的交点或对称轴或与轴的交点距离通数的解析式为依题意得解这个方程得这个二次函数的解析式为例已知抛精品资料 欢
6、迎下载 参考答案：1、（1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)。（2）y=21x24x+9。2、y=(x 2)2+1，即 y=x24x+5。3、y=(x+2)(x 1)，即 y=x2x+2。4.分析：(1)由 abc=12(-3)可将三个待定系数转化为求一个 k即设 a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是 x=-2 解：(1)设 y=ax2bx+c abc=12(-3)设 a=k，b=2k，c=-3k 有最小值-8 解析式 y=2x2+4x-6 (2)图象过点 A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在 x 轴上，由对称性得对称
7、轴为x=1又函数有最大值 2，顶点坐标为(1，2)，设解析式为 y=a(x-1)22 (3)函数当 x-2 时 y 随 x 增大而增大，当 x-2 时 y 随 x 增大而减小 对称轴为 x=-2 设 y=a(x+2)2+n 过点(2，4)在 y 轴上截距为-2，即过点(0，-2)顶点式其中点为顶点对称轴为交点式其中是抛物线与轴的交点的横坐标通常可设顶点式若给出抛物线与轴的交点或对称轴或与轴的交点距离通数的解析式为依题意得解这个方程得这个二次函数的解析式为例已知抛精品资料 欢迎下载 说明：题(3)也可设成 y=ax2bxc，得：题(2)充分利用对称性可简化计算 顶点式其中点为顶点对称轴为交点式其中是抛物线与轴的交点的横坐标通常可设顶点式若给出抛物线与轴的交点或对称轴或与轴的交点距离通数的解析式为依题意得解这个方程得这个二次函数的解析式为例已知抛