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1、学习必备 精品知识点 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 2样本空间、随机事件 1事件间的关系 BA则称事件 B包含事件 A，指事件 A发生必然导致事件 B发生 Bxxx 或ABA称为事件 A与事件 B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件BA发生 Bxxx 且ABA称为事件 A与事件 B的积事件，指当 A，B同时发生时，事件BA发生 Bxxx 且ABA称为事件 A与事件 B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件BA发生 BA，则称事件 A与 B是互不相容的，或互斥的，指事件 A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S BABA，则称事件 A与事件 B互为
2、逆事件，又称事件 A与事件 B互为对立事件 2运算规则 交换律ABBAABBA 结合律)()()()(CBACBACBACBA 分配律 )()B(CAACBA）（)()(CABACBA 徳摩根律BABAABA B 3频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A发生的次数An称为事件 A发生的频数，比值nnA称为事件 A发生的频率 概率：设 E是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E的每一事件 A赋予一个实数，记为 P（A），称为事件的概率 1概率)(AP满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 1)(0AP （2）规范性：对于必然事件 S 1)S(P
3、 学习必备 精品知识点（3）可列可加性：设nAAA,21是两两互不相容的事件，有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）2概率的一些重要性质：（i）0)(P （ii）若nAAA,21是两两互不相容的事件，则有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）（iii）设 A，B是两个事件若BA，则)()()(APBPABP，)A()B(PP（iv）对于任意事件 A，1)(AP（v）)(1)(APAP （逆事件的概率）（vi）对于任意事件 A，B有)()()()(ABPBPAPBAP 4 等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若 事 件A
4、包 含k个 基 本 事 件，即21kiiieeeA，里个不同的数，则有中某，是，kkn2,1iii,21中 基 本 事 件 的 总 数包 含 的 基 本 事 件 数S)(1jAnkePAPkji 5条件概率（1）定义：设 A,B 是两个事件，且0)(AP，称)()()|(APABPABP为事件 A发生的条件下事件 B发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件 1。非负性：对于某一事件 B，有0)|(ABP 2。规范性：对于必然事件 S，1)|(ASP 3可 列 可 加 性：设,21BB是 两 两 互 不 相 容 的 事 件，则 有11)()(iiiiABPABP 事件的积事件指当同时
5、发生时事件发生且称为事件与事件的差事件指当与事件互为对立事件运算规则交换律结合律分配律徳摩根律频率与概率件赋予一个实数记为称为事件的概率概率满足下列条件非性对于每一个学习必备 精品知识点（3）乘法定理 设0)(AP，则有)|()()(BAPBPABP称为乘法公式 （4）全概率公式：niiiBAPBPAP1)|()()(贝叶斯公式：niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(6独立性 定义 设 A，B是两事件，如果满足等式)()()(BPAPABP，则称事件 A,B 相互独立 定理一 设 A，B是两事件，且0)(AP，若 A，B相互独立，则 BPABP)|(定理二 若事件
6、 A和 B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与与，与，BABAB 第二章 随机变量及其分布 1 随机变量 定义 设随机试验的样本空间为X(e)X e.S是定义在样本空间 S 上的实值单值函数，称X(e)X 为随机变量 2 离散性随机变量及其分布律 1 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量 kk)(pxXP满足如下两个条件（1）0kp，（2）1kkP=1 2 三种重要的离散型随机变量 （1）分布 设 随 机 变 量X只 能 取0与1两 个 值，它 的 分 布 律 是)101,0kp-1p)k(k-1kpXP（，）（，则称 X服从
7、以 p 为参数的分布或两点分布。（2）伯努利实验、二项分布 设实验E只有两个可能结果：A与A，则称E为伯努利实验.设1)p0pP(A)（，事件的积事件指当同时发生时事件发生且称为事件与事件的差事件指当与事件互为对立事件运算规则交换律结合律分配律徳摩根律频率与概率件赋予一个实数记为称为事件的概率概率满足下列条件非性对于每一个学习必备 精品知识点 此时p-1)AP(.将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。n2,1,0kqpkn)kX(k-nk，P满足条件（1）0kp，（2）1kkP=1 注意到k-nkqpkn是二项式nqp）（的展开式中出现kp的那一项，我们称随机变量
8、X服从参数为n，p 的二项分布。（3）泊松分布 设 随 机 变 量X 所 有 可 能 取 的 值 为0,1,2，而 取 各 个 值 的 概 率 为 ,2,1,0,k!e)kX(-kkP其中0是常数，则称 X服从参数为的泊松分布记为）（X 3 随机变量的分布函数 定义 设 X是一个随机变量，x 是任意实数，函数x-x,PX)x(F 称为 X的分布函数 分 布 函 数)()(xXPxF，具 有 以 下 性 质(1)(xF是 一 个 不 减 函 数 （2）1)(,0)(1)(0FFxF，且 （3）是右连续的即)(),()0(xFxFxF 4 连续性随机变量及其概率密度 连续随机变量：如果对于随机变量
9、 X的分布函数 F（x），存在非负可积函数)(xf，使对于任意函数 x 有,dttf)x(Fx-）（则称 x 为连续性随机变量，其中函数 f(x)称为 X的概率密度函数，简称概率密度 1 概率密度)(xf具有以下性质，满足（1）1)(2),0)(-dxxfxf；（3）21)()(21xxdxxfxXxP；（4）若)(xf在点 x 处连续，则有)(F x，)(xf 2,三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布 若连续性随机变量 X具有概率密度，其他，0aa-b1)(bxxf，则成 X在区间(a,b)上服从均匀分布.记为），（baUX 事件的积事件指当同时发生时事件发生且称为事件与事件的差事件指当
10、与事件互为对立事件运算规则交换律结合律分配律徳摩根律频率与概率件赋予一个实数记为称为事件的概率概率满足下列条件非性对于每一个学习必备 精品知识点 (2)指数分布 若连续性随机变量 X的概率密度为，其他，00.e1)(x-xxf 其中0为常数，则称 X服从参数为的指数分布。（3）正态分布 若 连 续 型 随 机 变 量X的 概 率 密 度 为，）xexfx-21)(222(，服 从 参 数 为为 常 数，则 称（，其中X)0的正态分布或高斯分布，记为），（2NX 特别，当10，时称随机变量 X服从标准正态分布 5 随机变量的函数的分布 定理 设随机变量 X 具有概率密度,-)(xxxf，又设函数
11、)(xg处处可导且恒有0)(,xg，则Y=)(Xg是 连 续 型 随 机 变 量，其 概 率 密 度 为 其他，0,)()()(,yyhyhfyfXY 第三章 多维随机变量 1 二维随机变量 定义 设 E是一个随机试验，它的样本空间是X(e)X e.S和Y(e)Y 是定义在 S 上的随机变量，称X(e)X 为随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y）叫做二维随机变量 设（X，Y）是 二 维 随 机 变 量，对 于 任 意 实 数x，y，二 元 函 数yYxPXy)(Yx)P(XyxF，记成），（称为二维随机变量（X，Y）的分布函数 如果二维随机变量（X，Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对
12、，则称（X，Y）是离散型的随机变量。我们称，2,1ji)yY(ijjipxXP为二维离散型随机变量（X，Y）的分布律。对于二维随机变量（X，Y）的分布函数），（yxF，如果存在非负可积函数 f（x，y），事件的积事件指当同时发生时事件发生且称为事件与事件的差事件指当与事件互为对立事件运算规则交换律结合律分配律徳摩根律频率与概率件赋予一个实数记为称为事件的概率概率满足下列条件非性对于每一个学习必备 精品知识点 使对于任意 x，y 有，），（），（y-x-dudvvufyxF则称（X，Y）是连续性的随机变量，函数 f（x，y）称为随机变量（X，Y）的概率密度，或称为随机变量 X和 Y的联合概率密度
13、。2 边缘分布 二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数），（yxF.而 X和 Y都是随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为）（y),xFXYF，依次称为二维随机变量（X，Y）关于 X和关于 Y的边缘分布函数。，2,1ixPXp1jiijip ，2,1jyPYp1iiij jp 分别称ipjp为（X，Y）关于 X和关于 Y的边缘分布律。dyyxfxfX）,()(dxyxfyfY）,()(分别称)(xfX，)(yfY为 X，Y关于 X和关于 Y的边缘概率密度。3 条件分布 定义 设（X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若,0jyYP 则称,2,1,ippyYPyYxXPyY
14、xXPjijjjiji为在jyY 条件下随机变量 X的条件分布律，同样,2,1,jppxXPyYxXPXXyYPiijijiij为在ixX 条件下随机变量 X的条件分布律。设二维离散型随机变量（X，Y）的概率密度为),(yxf，（X，Y）关于 Y的边缘概率密度为)(yfY，若对于固定的 y，)(yfY0，则称)(),(yfyxfY为在 Y=y的条件下 X的条件概率密度，记为)(yxfYX=)(),(yfyxfY 4 相互独立的随机变量 定义 设），（yxF及)(FxX，)(FyY分别是二维离散型随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数.若对于所有 x,y 有yPY,xXPyYxXP，即事件的
15、积事件指当同时发生时事件发生且称为事件与事件的差事件指当与事件互为对立事件运算规则交换律结合律分配律徳摩根律频率与概率件赋予一个实数记为称为事件的概率概率满足下列条件非性对于每一个学习必备 精品知识点(y)F(F,FYXxyx，则称随机变量 X和 Y是相互独立的。对于二维正态随机变量（X，Y），X和 Y相互独立的充要条件是参数0 5 两个随机变量的函数的分布 1，Z=X+Y 的分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(yxf.则 Z=X+Y 仍为连续性随机变量，其概率密度为dyyyzfzfYX）,()(或dxxzxfzfYX）,()(又若 X和 Y相互独立，设（X，Y）关于
16、X，Y的边缘密度分别为)(),(yfxfYX则dyfyzfzfYXYXy)()(（）和dxxzfxfzfYXYX)()(）这两个公式称为YXff,的卷积公式 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 2，的分布的分布、XYZXYZ 设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(yxf，则XYZXYZ，仍为连续性随机变量其概率密度分别为dxxzxfxzfXY),()(dxxzxfxzfXY),(1)(又若 X和 Y相互独立，设（X，Y）关于 X，Y的边缘密度分别为)(),(yfxfYX则可化为dxxzfxfzfYXXY)()()(dxxzfxfxzfYXY)()(1)(X
17、3的分布及，,minNYXmaxYXM 设 X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为)(),(yFxFYX由于YXmax，M不大于 z 等价于 X和 Y都不大于 z 故有zYz,PXzPM又由于 X和 Y相互独立，得到YXmax，M的分布函数为)()()(maxzFzFzFYX,minNYX的分布函数为)(1)(11)(minzFzFzFYX 第四章 随机变量的数字特征 事件的积事件指当同时发生时事件发生且称为事件与事件的差事件指当与事件互为对立事件运算规则交换律结合律分配律徳摩根律频率与概率件赋予一个实数记为称为事件的概率概率满足下列条件非性对于每一个学习必备 精品知识点 1数学
18、期望 定义 设离散型随机变量 X的分布律为kkpxXP，k=1,2，若级数 1kkkpx绝对收敛，则称级数 1kkkpx的和为随机变量 X的数学期望，记为)(XE，即ikkpxXE)(设连续型随机变量 X的概率密度为)(xf，若积分dxxxf)(绝对收敛，则称积分dxxxf)(的值为随机变量 X的数学期望，记为)(XE，即dxxxfXE)()(定理 设 Y是随机变量 X的函数 Y=)(Xg(g 是连续函数)（i）如果 X是离散型随机变量，它的分布律为kpXPxk，k=1,2，若kkkpxg 1(）绝对收敛则有)Y(E)(XgEkkkpxg 1(）（ii）如果 X是连续型随机变量，它的分概率密度
19、为)(xf，若dxxfxg)()(绝对收敛则有)Y(E)(XgEdxxfxg)()(数学期望的几个重要性质 1 设 C是常数，则有CCE)(2 设 X是随机变量，C是常数，则有)()(XCECXE 3 设 X,Y是两个随机变量，则有)()()(YEXEYXE；4 设 X，Y是相互独立的随机变量，则有)()()(YEXEXYE 2 方差 定义 设X是一个随机变量，若)(2XEXE存在，则称)(2XEXE为X的方差，记为 D（x）即 D（x）=)(2XEXE，在应用上还引入量)(xD，记为)(x，称为标准差或均方差。222)()()()(EXXEXEXEXD 方差的几个重要性质 1 设 C是常数，
20、则有,0)(CD 事件的积事件指当同时发生时事件发生且称为事件与事件的差事件指当与事件互为对立事件运算规则交换律结合律分配律徳摩根律频率与概率件赋予一个实数记为称为事件的概率概率满足下列条件非性对于每一个学习必备 精品知识点 2 设 X是随机变量，C是常数，则有)(C)(2XDCXD，D(X)(CXD 3 设 X,Y 是两个随机变量，则有E(Y)-E(X)(Y-2E(XD(Y)D(X)(YXD特别，若 X,Y相互独立，则有)()()(YDXDYXD 40)(XD的充要条件是 X以概率 1 取常数E(X)，即1)(XEXP 切比雪夫不等式：设随机变量 X 具有数学期望2)(XE，则对于任意正数，
21、不等式22-XP成立 3 协方差及相关系数 定义 量)()(YEYXEXE称为随机变量 X 与 Y 的协方差为),(YXCov，即)()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov 而D(Y)D(X)YX(XY），Cov称为随机变量 X和 Y的相关系数 对于任意两个随机变量 X 和 Y，),(2)()()_(YXCovYDXDYXD 协方差具有下述性质 1),(),(),(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov 2),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov 定理 1 1XY 2 1XY的充要条件是，存在常数 a,b 使1bxaYP 当XY0 时，称
22、 X和 Y不相关 附：几种常用的概率分布表 分布 参数 分布律或概率密度 数学期望 方差 两点分布 10p 1,0,)1()1kppkXPkk，p)1(pp 二项式分布 1n10p nkppCkXPknkkn,1,0,)1()(，np)1(pnp 事件的积事件指当同时发生时事件发生且称为事件与事件的差事件指当与事件互为对立事件运算规则交换律结合律分配律徳摩根律频率与概率件赋予一个实数记为称为事件的概率概率满足下列条件非性对于每一个学习必备 精品知识点 泊松分布 0,2,1,0,!)(kkekXPk 几何分布 10p,2,1,)1()(1kppkXPk p1 21pp 均匀分布 ba ，其他0,
23、1)(bxaabxf，2ba 12)(2ab 指数分布 0 其他,00,1)(xexfx 2 正态分布 0 222)(21)(xexf 2 第五章 大数定律与中心极限定理 1 大数定律 弱大数定理（辛欣大数定理）设 X1，X2是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并具有数学期望),2,1()(kXEk.作前 n 个变量的算术平均nkkXn11，则对于任意0，有11lim1nkknXnP 定义 设nYYY,21是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数，有1limaYPnn，则称序列nYYY,21依概率收敛于 a，记为aYpn 伯努利大数定理 设Af是 n 次独立重复试验中事件 A发生
24、的次数，p 是事件 A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 0，有1limpnfPnn或0limpnfPnn 2 中心极限定理 定理一（独立同分布的中心极限定理）设随机变量nXXX,21相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差2)(,)(kiXDXE（k=1,2，），则随机变量之和事件的积事件指当同时发生时事件发生且称为事件与事件的差事件指当与事件互为对立事件运算规则交换律结合律分配律徳摩根律频率与概率件赋予一个实数记为称为事件的概率概率满足下列条件非性对于每一个学习必备 精品知识点 标准化变量nikX1，nnXXDXEXYniknkknknkkkn1111)()(，定理二（李雅普诺夫定理）设随机变量nXXX,21相互独立，它们具有数学期望和方差2,1,0)(,)(2kXDXEkkkk记nkknB122 定理三（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量10(,),2,1(ppnnn服从参数为）的二项分布，则对任意x，有)(21)1(lim22xdtexpnpnpPxtnn 事件的积事件指当同时发生时事件发生且称为事件与事件的差事件指当与事件互为对立事件运算规则交换律结合律分配律徳摩根律频率与概率件赋予一个实数记为称为事件的概率概率满足下列条件非性对于每一个