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1、 第1页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 2022-2023 学年南京师范大学附属中学秦淮科技高中高一下五月学年南京师范大学附属中学秦淮科技高中高一下五月月考试月考试卷卷 一选择题（共一选择题（共 8 小题小题，每题，每题 5 分，共分，共 40 分分）1设复数 z，则 的虚部是（）Ai Bi C1 D1 2在ABC 中，内角 A、B 满足 sin2Asin2B，则ABC 的形状是（）A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 3在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 c4，a4，A45，则sinC 等于（）A B C D 4已知向量，且，则 t
2、an（+）（）A B C D 5下列说法正确的是（）A若 与 共线，则 或者 B若 ，则 C若ABC 中，点 P 满足 2+，则点 P 为 BC 中点 D若，为单位向量，则 6已知直线 a、b 是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A若 a，a，则 B若 a，b，则 ab C若 ab，b，a，则 D若，a 与 所成角和 b 与 所成角相等，则 ab 7设 asin250，bcos50，c，则 a，b，c 的大小关系为（）第2页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 Aabc Bcab Cbca Dacb 8如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为 2，ACBC1
3、，ACB90，点 D 是A1B1的中点，F 是侧面 AA1B1B（含边界）上的动点要使 AB1平面 C1DF，则线段 C1F的长的最大值为（）A B C D 二多选题（共二多选题（共 4 小题小题，每题，每题 5 分，共分，共 20 分分）9设 z1，z2，z3为复数，z10，下列命题正确的是（）A若，则 z1z2 B|z1z2|z1|z2|C若，则|z1z2|z1z3|D 10已知向量，则下列命题正确的是（）A的最大值为 B若，则 C若 是与 共线的单位向量，则 D当取得最大值时，11ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，则下列说法正确的是（）A斜三角形 ABC 中，tanA
4、tanBtanCtanA+tanB+tanC B若 A30，b4，a3，则ABC 有两解 C若 acosBbcosAc，则ABC 一定为直角三角形 D若 a4，b5，c6，则ABC 外接圆半径为 第3页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 12如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 B1C 上运动，则（）A直线 BD1平面 A1C1D B三棱锥 PA1C1D 的体积为定值 C异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范围是 D直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为 三填空题（共三填空题（共 4 小题小题，每题，每题 5 分，共分，共 20 分分）13已知
5、复数 z 满足（1+i）z2i（i 为虚数单位），则|z+i|14 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中，直 线 DB1与 平 面 ABCD 所 成 角 的 正 弦 值为 15等边ABC 中，已知 AB1，点 M 在线段 BC 上，且满足 BM2CM，N 为线段 AB 的中点，CN 与 AM 相交于点 P，则 cosMPN 16已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosCccosB，则 ，的最小值为 四解答题（共四解答题（共 6 小题小题，共，共 70 分分）17（10 分）（1）若复数 z（m2+2m3）+（m2+5m+6）i 是纯虚数，求实数 m 的
6、值；（2）若复数 z 满足 z+（z+）i（1+i）（3i），求复数 z 18（12 分）如图所示，PA矩形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点（1）求证：MN平面 PAD（2）求证：MNCD 第4页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 19（12 分）在b+bcosCcsinB，SABC，（3ba）cosCccosA，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足_（1）求 cosC 的值；（2）若点 E 在 AB 上，且2，CE，BC3，求 sinB 20（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中
7、，底面 ABCD 为菱形，BAD60，Q 为 AD的中点（1）若 PAPD，求证：AD平面 PQB；（2）若平面 PAD平面 ABCD，且 PAPDAD2，点 M 在线段 PC 上，且 PM3MC，求三棱锥 PQBM 的体积 21（12 分）某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ABC 和以 BC 为直径的半圆拼接而成，点 P 为半圈上一点（异于 B，C），点 H 在线段 AB 上，且满足 CHAB已知ACB90，AB1dm，设ABC（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABCPCB，且 CA+CP 达到最大 当 为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果
8、；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足PBA60，且 CH+CP 达到最大当 为何值时，CH+CP 取得最大值，并求该最大值 第5页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 22（12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，（1）求的值；（2）若，求 cosA 第6页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 2022-2023 学年南京师范大学附属中学秦淮科技高中高一下五月学年南京师范大学附属中学秦淮科技高中高一下五月月考试月考试卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题）1设复数 z，则 的虚部是（）Ai Bi C1
9、D1【解答】解：zi，故 i，其的虚部是1，故选：D 2在ABC 中，内角 A、B 满足 sin2Asin2B，则ABC 的形状是（）A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形【解答】解：法 1：sin2Asin2B，sin2Asin2Bcos（A+B）sin（AB）0，cos（A+B）0 或 sin（AB）0，A+B90或 AB，则ABC 一定是直角三角形或等腰三角形 法 2：sin2Asin2B，且 A 和 B 为三角形的内角，2A2B 或 2A+2B180，即 AB 或 A+B90，则ABC 一定是等腰或直角三角形 故选：D 3在ABC 中，角 A，B，C 所对的边
10、分别为 a，b，c若 c4，a4，A45，则sinC 等于（）A B C D【解答】解：c4，a4，A45，由正弦定理，可得：sinC 第7页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 故选：A 4已知向量，且，则 tan（+）（）A B C D【解答】解：，3cos4sin0，可得 tan，则 tan（+）tan，故选：D 5下列说法正确的是（）A若 与 共线，则 或者 B若 ，则 C若ABC 中，点 P 满足 2+，则点 P 为 BC 中点 D若，为单位向量，则【解答】解：对于 A，根据共线向量的定义显然不成立，对于 B，令 ，显然不成立，对于 C，根据向量的运算性质，成立，对于 D，根据单位
11、向量的定义，显然不成立，故选：C 6已知直线 a、b 是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A若 a，a，则 B若 a，b，则 ab C若 ab，b，a，则 D若，a 与 所成角和 b 与 所成角相等，则 ab【解答】解：若 a，a，由直线与平面垂直的性质可得，故 A 正确；若 a，b，则 ab 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面，故 B 错误；第8页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 若 ab，b，则 a 或 a，又 a，则 或 与 相交，故 C 错误；若，a 与 所成的角和 b 与 所成的角相等，可得 a 与 所成的角和 b 与 所成的角相等，则 a 与
12、 b 的位置关系可能平行、可能相交、也可能异面，故 D 错误 故选：A 7设 asin250，bcos50，c，则 a，b，c 的大小关系为（）Aabc Bcab Cbca Dacb【解答】解：对于，所以 ba，故：ba，由于，acsin50（sin50cos50）0，故 ac，故：bac 故选：B 8如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为 2，ACBC1，ACB90，点 D 是A1B1的中点，F 是侧面 AA1B1B（含边界）上的动点要使 AB1平面 C1DF，则线段 C1F的长的最大值为（）A B C D【解答】解：取 BB1上靠近 B1的四等分点为 E，连接 DE，当点 F 在
13、DE 上时，AB1平 第9页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 面 C1DF 证明如下：直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为 2，ACBC1，ACB90，点 D 是 A1B1的中点，C1D平面 AA1B1B，C1DAB1，以 C1为坐标原点，C1A1，C1B1，C1C 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，2），B1（0，1，0），D（，0），E（0，1，），（1，1，2），（），此时0，AB1DE，AB1平面 C1DF，由题意得当 E，F 为重合时，线段 C1F 最大，此时 C1F 故选：A 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题）9设 z1，z2，z3为复数，z
14、10，下列命题正确的是（）A若，则 z1z2 B|z1z2|z1|z2|C若，则|z1z2|z1z3|D【解答】解：对于 A：z1|z1|2，知 z1z2z1，z1（z2）0，又 z10，z2，故 A 不正确；对于 B：由复数模的定义可知|z1z2|z1|z2|，故 B 正确；对于 C：，z10，z1z1，|z1|z1z3|，第10页（共21页）学科网（北京）股份有限公司|z1|z1|z1|z2|z1z2|，|z1z2|z1z3|，故 C 正确；对于 D：设 z1a+bi，z2c+di，a，b，c，dR，z1z2acbd+（ad+cb）i，acbd（ad+cb）i，abi，cdi，（abi）（
15、cdi）acbd（ad+bc）i，故故 D 正确 故选：BCD 10已知向量，则下列命题正确的是（）A的最大值为 B若，则 C若 是与 共线的单位向量，则 D当取得最大值时，【解答】解：对 A 选项，|（cos2，sin1）|，其中 tan2，R，当 sin（+）1 时，|取得最大值，A 选项正确；对 B 选项，若，等式两边平方整理得，2cos+sin0，tan2，B 选项错误；对 C 选项，与 共线的单位向量 或，C 选项错误；对 D 选项，f（）2cos+sin，其中 tan2，R，当，（kZ）时，sin（+）1，f（）取得最大值，第11页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 此时，kZ
16、，其中 tan2，tan，D 选项正确 故选：AD 11ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，则下列说法正确的是（）A斜三角形 ABC 中，tanAtanBtanCtanA+tanB+tanC B若 A30，b4，a3，则ABC 有两解 C若 acosBbcosAc，则ABC 一定为直角三角形 D若 a4，b5，c6，则ABC 外接圆半径为【解答】解：对于 A，在斜ABC 中，tanA+tanB+tanCtanA+tanBtan（A+B），选项 A 正确；对于 B，由于 A 为锐角，且，则ABC 有两解，选项 B 正确；对于 C，由于 acosBbcosAc，则 sinAcos
17、BsinBcosAsinC，即 sin（AB）sin（A+B），2cosAsinB0，又 A，B 为ABC 内角，则 cosA0，即，选项 C 正确；对于 D，由余弦定理可得，在ABC 中，有，ABC 外接圆半径为，选项 D 错误 故选：ABC 12如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 B1C 上运动，则（）第12页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 A直线 BD1平面 A1C1D B三棱锥 PA1C1D 的体积为定值 C异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范围是 D直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为【解答】解：以 D 为坐标原点，建立空间
18、直角坐标系，设 AB1，如图，B（1，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），C1（0，1，1），D（0，0，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），A（0，1，1），设 P（x，y，z），设（x1，y1，z1）（1，0，1），0，1，解得，P（1，1，1），对于 A，（1，1，1），（1，0，1），（0，1，1），11+110，11+110，BD1DA1，BD1DC1，DA1DC1D，直线 BD1平面 A1C1D，故 A 正确；第13页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 对于 B，侧面 BCC1B1的对角线交于点 O，CB1OC1，A1B1平面 BCC1B1，OC1平面 B
19、CC1B1，A1B1OC1，A1B1CB1B1，OC1平面 A1B1CD，为定值，故 B 正确；对于 C，（，1，1），（1，0，1），设异面直线 AP 与 A1D 所成角为（），则 cos，当时，cos0，解得，当时，cos，0，）（，（21）2（0，1，1，1+4，2，0，0，），综上，故 C 错误；对于 D，设平面 A1C1D 的法向量为（x0，y0，z0），（1，0，2），解得（1，1，1），线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值为：第14页（共21页）学科网（北京）股份有限公司，0，1，1 时，有最小值为，直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为，故 D 错
20、误 故选：AB 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题）13已知复数 z 满足（1+i）z2i（i 为虚数单位），则|z+i|【解答】解：由（1+i）z2i 得，z，故|z+i|，故答案为：14正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 DB1与平面 ABCD 所成角的正弦值为 【解答】解：连接 BD，则 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，BB1面 ABCD，D1BD 是直线 DB1与平面 ABCD 所成角 设棱长为 1，则 DB1，直线 DB1与平面 ABCD 所成角的正弦值为 故答案为：15等边ABC 中，已知 AB1，点 M 在线段 BC 上，且满足 BM2CM，N 为线段 AB 的
21、中点，CN 与 AM 相交于点 P，则 cosMPN 【解答】解：以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的中垂线为 y 轴，建立如图所示的坐标系，AB1，B（，0），C（，0），A（0，），第15页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 点 M 在线段 BC 上，且满足 BM2CM，N 为线段 AB 的中点，M（，0），N（，），（，），（，），cosMPN，故答案为：16已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosCccosB，则 2，的最小值为 【解答】解：因为 2bcosCccosB，所以 2sinBcosCsinCcosB，即 2tanBtanC，2，又
22、因为 A+B+C，所以 tanAtan（B+C）tan（B+C），所以+tanB+第16页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 2（当且仅当tanB，即 tanB，取“”）故答案为：2；四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题）17（1）若复数 z（m2+2m3）+（m2+5m+6）i 是纯虚数，求实数 m 的值；（2）若复数 z 满足 z+（z+）i（1+i）（3i），求复数 z【解答】解：（1）z（m2+2m3）+（m2+5m+6）i 是纯虚数，解得 m1（2）设 za+bi，a，bR，z+（z+）i（1+i）（3i），a2+b2+2ai4+2i，解得 a1，b或 a1，b，故 z或 z
23、1 18如图所示，PA矩形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点（1）求证：MN平面 PAD（2）求证：MNCD 【解答】证明：（1）取 PD 的中点 E，连接 AE，EN E，N 分别是 C，D 中点，ENCD，又CDAB，M 是 AB 中点，AMCD，AMEN，四边形 AMNE 是平行四边形，MNAE MN平面 PAD，AE平面 PAD，第17页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 MN平面 PAD（6 分）（2）PA平面 ABCD，PACD，又 CDAD，CD平面 PAD，CDAE，又MNAE，CDMN（12 分）19在b+bcosCcsinB，SABC，（3ba）
24、cosCccosA，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足_（1）求 cosC 的值；（2）若点 E 在 AB 上，且2，CE，BC3，求 sinB【解答】解：（1）若选：因为 b+bcosCcsinB，由正弦定理可得 sinB+sinBcosCsinCsinB，因为 sinB0，所以 1+cosCsinC，联立，解得 cosC，sinC，故 cosC 若选：因为 SABC，所以absinCbacosC，即 sinC2cosC0，联立 sinC+cosC1，可得 cosC 若选：因为（3ba）cosCccosA，由正
25、弦定理可得（3sinBsinA）cosCsinCcosA，所以 3sinBcosCsinAcosC+sinCcosAsin（A+C）sinB，因为 sinB0，所以 cosC 第18页（共21页）学科网（北京）股份有限公司（2）由余弦定理可得 cosAEC cosBEC，因为 cosAEC+cosBEC0，所以+0，即 2c+9EC3b6a0，则 2c3b6a9EC69913，同时 cosC，即 bc2b9，联立可得 b+4b50，解得 b1，则 c2，故 cosB，则 sinB 20如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，Q 为 AD 的中点（1）若 PAPD，求
26、证：AD平面 PQB；（2）若平面 PAD平面 ABCD，且 PAPDAD2，点 M 在线段 PC 上，且 PM3MC，求三棱锥 PQBM 的体积 【解答】证明：（1）PAPD，PQAD，又底面 ABCD 为菱形，BAD60，BQAD，PQBQQ，AD平面 PQB 解：（2）平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PQAD，第19页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 PQ平面 ABCD，BC平面 ABCD，PQBC，又 BCBQ，QBQPQ，BC平面 PQB，又 PM3MC，VPQBMVMPQB 21某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺
27、品由直角ABC 和以 BC 为直径的半圆拼接而成，点 P 为半圈上一点（异于 B，C），点 H 在线段 AB 上，且满足 CHAB已知ACB90，AB1dm，设ABC（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABCPCB，且 CA+CP 达到最大 当 为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足PBA60，且 CH+CP 达到最大当 为何值时，CH+CP 取得最大值，并求该最大值 【解答】解：由ABCPCB，在直角ABC 中，ACsin，BCcos；在直角PBC 中，PCBCcoscoscoscos2，PBBCsinsincossincos；（1）AC
28、+CPsin+cos2sin+1sin2sin2+sin+1+，所以当 sin，即 30时，AC+CP 的最大值为；即 30时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）在直角ABC 中，由，可得；在直角PBC 中，PCBCsin（60）cos（sin60coscos60sin），所以 CH+CPsincos+cos（cossin），（0，60），第20页（共21页）学科网（北京）股份有限公司 所 以 CH+CPsin2+cos2 sincos sin2+cos2+sin（2+60）+，所以当 15时，CH+CP 取得最大值，且最大值为+22在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，（1）求的值；（2）若，求 cosA【解答】解：（1）ABC 中，因为，结合余弦定理，得4，化简可得 a2+b22c2，所以（2）由，可得，即，即 a2+c23b2，又 a2+b22c2，所以，所以