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1、第6章 MATLAB 数据分析与多项式计算本章内容n 6.1 数据统计处理n 6.2 数据插值n 6.3 曲线拟合n 6.4 离散傅立叶变换n 6.5 多项式计算6.1 数据统计处理6.1.1 最大值和最小值MATLAB 提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max 和min，两个函数的调用格式和操作过程类似。1求向量的最大值和最小值求一个向量X 的最大值的函数有两种调用格式，分别是：(1)y=max(X)：返回向量X 的最大值存入y，如果X 中包含复数元素，则按模取最大值。例6-1 求向量x的最大值。命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x)%求向量x中的最大值
2、y,I=max(x)%求向量x中的最大值及其该元素的位置(2)y,I=max(X)：返回向量X 的最大值存入y，最大值的序号存入I，如果X 中包含复数元素，则按模取最大值。求向量X 的最小值的函数是min(X)，用法和max(X)完全相同。2求矩阵的最大值和最小值求矩阵A 的最大值的函数有3种调用格式，分别是：(1)max(A)：返回一个行向量，向量的第i 个元素是矩阵A 的第i 列上的最大值。(2)Y,U=max(A)：返回行向量Y 和U，Y 向量记录A 的每列的最大值，U 向量记录每列最大值的行号。(3)max(A,dim)：dim 取1或2。dim 取1时，该函数和max(A)完全相同；
3、dim 取2时，该函数返回一个列向量，其第i 个元素是A 矩阵的第i 行上的最大值。求最小值的函数是min，其用法和max 完全相同。例6-2 分别求44 魔方矩阵x中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。3两个向量或矩阵对应元素的比较函数max 和min 还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：(1)U=max(A,B)：A,B 是两个同型的向量或矩阵，结果U 是与A,B 同型的向量或矩阵，U 的每个元素等于A,B 对应元素的较大者。(2)U=max(A,n)：n 是一个标量，结果U 是与A 同型的向量或矩阵，U 的每个元素等于A 对应元素和n 中的较大者。min
4、函数的用法和max 完全相同。例6-3 求两个23 矩阵x,y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。6.1.2 求和与求积数据序列求和与求积的函数是sum 和prod，其使用方法类似。设X 是一个向量，A 是一个矩阵，函数的调用格式为：sum(X)：返回向量X 各元素的和。prod(X)：返回向量X 各元素的乘积。sum(A)：返回一个行向量，其第i 个元素是A 的第i 列的元素和。prod(A)：返回一个行向量，其第i 个元素是A 的第i 列的元素乘积。sum(A,dim)：当dim 为1时，该函数等同于sum(A)；当dim 为2时，返回一个列向量，其第i 个元素是A 的第i 行的各元素
5、之和。prod(A,dim)：当dim 为1时，该函数等同于prod(A);当dim 为2时，返回一个列向量，其第i 个元素是A 的第i 行的各元素乘积。例6-4 求矩阵A 的每行元素的乘积和全部元素的乘积。6.1.3 平均值和中值求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为：mean(X)：返回向量X 的算术平均值。median(X)：返回向量X 的中值。mean(A)：返回一个行向量，其第i 个元素是A 的第i 列的算术平均值。median(A)：返回一个行向量，其第i 个元素是A 的第i 列的中值。mean(A,dim)：当dim 为1时，该
6、函数等同于mean(A);当dim 为2时，返回一个列向量，其第i 个元素是A 的第i行的算术平均值。median(A,dim)：当dim 为1时,该函数等同于median(A);当dim 为2时，返回一个列向量，其第i 个元素是A 的第i 行的中值。例6-5 分别求向量x与y的平均值和中值。6.1.4 累加和与累乘积在MATLAB 中，使用cumsum 和cumprod 函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：cumsum(X)：返回向量X 累加和向量。cumprod(X)：返回向量X 累乘积向量。cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i 列是A 的第i 列的累
7、加和向量。cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i 列是A 的第i 列的累乘积向量。cumsum(A,dim)：当dim 为1时，该函数等同于cumsum(A)；当dim 为2时，返回一个矩阵，其第i 行是A 的第i 行的累加和向量。cumprod(A,dim)：当dim 为1时，该函数等同于cumprod(A)；当dim 为2时，返回一个向量，其第i行是A 的第i 行的累乘积向量。例6-6 求X=4 1 3;2 1 3;3 1 4;3 4 5 的累加和及累乘积。6.1.5 标准方差与相关系数1求标准方差在MATLAB 中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量X，std(X)返
8、回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A 各列或各行的标准方差。std 函数的一般调用格式为：Y=std(A,flag,dim)其中dim 取1或2。当dim=1 时，求各列元素的标准方差；当dim=2 时，则求各行元素的标准方差。flag 取0或1，当flag=0时，按1 所列公式计算标准方差，当flag=1 时，按2 所列公式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。例6-7 对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。2相关系数 MATLAB 提供了corrcoef 函数，可以求出数据的相关系数矩阵。corrcoef 函数的调用格式为：corrcoe
9、f(X)：返回从矩阵X 形成的一个相关系数矩阵。它把矩阵X 的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y 是向量，它们与corrcoef(X,Y)的作用一样。例6-8 生成满足正态分布的105 随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。命令如下：X=randn(10,5);M=mean(X);D=std(X);R=corrcoef(X);6.1.6 排序MATLAB 中对向量X 是排序函数是sort(X)，函数返回一个对X 中的元素按升序排列的新向量。sort 函数也可以对矩阵A 的各列或各行重新排序，其调用格式为：Y,
10、I=sort(A,dim)其中dim 指明对A 的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。Y 是排序后的矩阵，而I 记录Y 中的元素在A 中位置。例6-9 对二维矩阵做各种排序。6.2 数据插值6.2.1 一维数据插值在MATLAB 中，实现这些插值的函数是interp1，其调用格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函数根据X,Y 的值，计算函数在X1 处的值。X,Y 是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1 是一个与X1 等长的插值结果。method 是插值方法，允许的取值有linear、neare
11、st、cubic、spline。注意：X1 的取值范围不能超出X 的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。MATLAB 中有一个专门的3次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。例6-11 某观测站测得某日6:00 时至18:00 时之间每隔2小时的室内外温度()，用3次样条插值分别求得该日室内外6:30 至17:30 时之间每隔2小时各点的近似温度()。设时间变量h 为一行向量，温度变量t 为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：h=6:2:18;t=18,20,22,25
12、,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;XI=6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI,spline)%用3次样条插值计算6.2.2 二维数据插值在MATLAB 中，提供了解决二维插值问题的函数interp2，其调用格式为：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)其中X,Y 是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z 是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1 是两个向量或标量，描述欲插值的点。Z1 是根据相应的插值方法得到的插值结果。method 的取值与一维插值函数相同。X,Y,Z 也可以是矩阵形式。同样，X1,Y1 的取值范围不能超出X,
13、Y 的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。例6-13 某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点0:2.5:10(米)，用h 表示测量时间0:30:60(秒)，用T 表示测试所得各点的温度()。试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度TI。命令如下：x=0:2.5:10;h=0:30:60;T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41;xi=0:10;hi=0:20:60;TI=interp2(x,h,T,xi,hi);6.3 曲线拟合在MATLAB 中，用polyfit 函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用
14、polyval 函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。polyfit 函数的调用格式为：P,S=polyfit(X,Y,m)函数根据采样点X 和采样点函数值Y，产生一个m 次多项式P及其在采样点的误差向量S。其中X,Y 是两个等长的向量，P是一个长度为m+1 的向量，P 的元素为多项式系数。polyval 函数的功能是按多项式的系数计算x点多项式的值，将在6.5.3节中详细介绍。例6-14 已知数据表t,y，试求3次拟合多项式p(t)，然后求ti=1.5,2.5,3.5,4.5 各点的函数近似值。t=1 2 3 4 5;y=5.5 43.1 128 290.7 498.4;p=pol
15、yfit(t,y,3);ti=1.5,2.5,3.5,4.5;yi=polyval(p,ti);plot(t,y,-,ti,yi,o);grid on6.4 离散傅立叶变换6.4.1 离散傅立叶变换的实现一维离散傅立叶变换函数，其调用格式与功能为：(1)fft(X)：返回向量X 的离散傅立叶变换。设X 的长度(即元素个数)为N，若N 为2的幂次，则为以2为基数的快速傅立叶变换，否则为运算速度很慢的非2幂次的算法。对于矩阵X，fft(X)应用于矩阵的每一列。(2)fft(X,N)：计算N 点离散傅立叶变换。它限定向量的长度为N，若X 的长度小于N，则不足部分补上零；若大于N，则删去超出N 的那些
16、元素。对于矩阵X，它同样应用于矩阵的每一列，只是限定了向量的长度为N。(3)fft(X,dim)或fft(X,N,dim)：这是对于矩阵而言的函数调用格式，前者的功能与FFT(X)基本相同，而后者则与FFT(X,N)基本相同。只是当参数dim=1 时，该函数作用于X 的每一列；当dim=2 时，则作用于X 的每一行。值得一提的是，当已知给出的样本数N0不是2的幂次时，可以取一个N 使它大于N0且是2的幂次，然后利用函数格式fft(X,N)或fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。这样，计算速度将大大加快。相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是ifft。ifft(F)返回F 的一维离散傅立叶
17、逆变换；ifft(F,N)为N 点逆变换；ifft(F,dim)或ifft(F,N,dim)则由N 或dim 确定逆变换的点数或操作方向。例6-15 给定数学函数x(t)=12sin(210t+/4)+5cos(240t)取N=128，试对t 从01 秒采样，用fft 作快速傅立叶变换，绘制相应的振幅-频率图。在01 秒时间范围内采样128点，从而可以确定采样周期和采样频率。由于离散傅立叶变换时的下标应是从0到N-1，故在实际应用时下标应该前移1。又考虑到对离散傅立叶变换来说，其振幅|F(k)|是关于N/2对称的，故只须使k 从0到N/2即可。程序如下：N=128;%采样点数T=1;%采样时间
18、终点t=linspace(0,T,N);%给出N 个采样时间ti(I=1:N)x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t);%求各采样点样本值xdt=t(2)-t(1);%采样周期f=1/dt;%采样频率(Hz)X=fft(x);%计算x的快速傅立叶变换XF=X(1:N/2+1);%F(k)=X(k)(k=1:N/2+1)f=f*(0:N/2)/N;%使频率轴f 从零开始plot(f,abs(F),-*)%绘制振幅-频率图xlabel(Frequency);ylabel(|F(k)|)6.5 多项式计算6.5.1 多项式的四则运算1多项式的加减运算2多项式
19、乘法运算函数conv(P1,P2)用于求多项式P1 和P2 的乘积。这里，P1、P2 是两个多项式系数向量。例6-16 求多项式x4+8x3-10 与多项式2x2-x+3 的乘积。3多项式除法函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式P1 和P2 作除法运算。其中Q 返回多项式P1 除以P2 的商式，r 返回P1 除以P2 的余式。这里，Q 和r 仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。例6-17 求多项式x4+8x3-10 除以多项式2x2-x+3 的结果。6.5.2 多项式的导函数对多项式求导数的函数是：p=polyder(P)：求多
20、项式P 的导函数p=polyder(P,Q)：求PQ 的导函数p,q=polyder(P,Q)：求P/Q 的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。上述函数中，参数P,Q 是多项式的向量表示，结果p,q 也是多项式的向量表示。例6-18 求有理分式的导数。命令如下：P=1;Q=1,0,5;p,q=polyder(P,Q)6.5.3 多项式的求值MATLAB 提供了两种求多项式值的函数：polyval 与polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量P 和自变量x。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。1代数多项式求值polyval 函数用来求代数多项式的值，其调用格式
21、为：Y=polyval(P,x)若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。例6-19 已知多项式x4+8x3-10，分别取x=1.2 和一个23 矩阵为自变量计算该多项式的值。2矩阵多项式求值polyvalm 函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与polyval 相同，但含义不同。polyvalm 函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设A 为方阵，P 代表多项式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含义是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)而polyval(P,A)的含义是：A.*A.*A-5*A.*
22、A+8*ones(size(A)例6-20 仍以多项式x4+8x3-10 为例，取一个22 矩阵为自变量分别用polyval 和polyvalm 计算该多项式的值。A=2 5;3 6;p=1 8 0 0-10;A1=polyval(p,A);A2=polyvalm(p,A);6.5.4 多项式求根n 次多项式具有n 个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。MATLAB 提供的roots 函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：x=roots(P)其中P 为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的n 个根。例6-21 求多项式x4+8x3
23、-10 的根。命令如下：A=1,8,0,0,-10;x=roots(A)若已知多项式的全部根，则可以用poly 函数建立起该多项式，其调用格式为：P=poly(x)若x为具有n 个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。例6-22 已知 f(x)(1)计算f(x)=0 的全部根。(2)由方程f(x)=0 的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。命令如下：P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P)%求方程f(x)=0 的根G=poly(X)%求多项式g(x)本章内容n 6.1 数据统计处理n 6.2 数据插值n 6.3 曲线拟合n 6.4 离散傅立叶变换n 6.5 多项式计算演讲完毕，谢谢观看！