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1、6.4一、平面图形的面积定积分的应用 二、经济应用举例由连续曲线 以及两直线所围成 的曲边梯形面积:一、平面图形的面积(定积分的几何意义)1.设曲线 与直线及 x 轴所围曲则 边梯形面积为 S,所围成图形2.由曲线面积为 所围成图形由曲线面积为 所围成图形由曲线面积为 总结：例1.计算两条抛物线 在第一象限所围图形的面积.解:由得交点所围成图形由曲线3.直线面积为所围成图形面积为由曲线4.直线 轴例2.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选取 y 作积分变量,则有例3.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有设 原积分=原积分=椭圆面积A=二、经济应用举例1、已知总产量变化
2、率求总产量总产量为Q,其变化率是连续函数，（为时间）例1、已知某产品的年销售率为求总量函数解：总量函数为2、已知边际函数求总量函数已知求固定成本；（为产量）例2、已知某产品的边际成本和边际收益函数分 别为且固定成本为100。其中Q为销售量，为总成本，为总收益，求总利润函数.解：总成本函数为总收益函数为总利润函数为6.5广义积分初步 积分区间被积函数无限无界无穷限积分瑕积分广义积分一、无穷限积分1.定义：如果对给定的实数a和任意实数b(ba)，函数f(x)在 上可积，且极限 存在，则称无穷限积分 收敛，并称此极限值为该无穷限积分的积分值，记为若上极限不存在，则称无穷限积分 发散。类似,可定义无穷
3、限积分 的收敛与发散。存在,则称 收敛,否则称其发散。（c为某个常数）若 均收敛，称 收敛,否则称其发散。2.几何意义：表示由曲线 与直线x=a,x轴所围成的向右延伸的平面图形的面积。3.计算 是 的一个原函数）例1.讨论下列无穷限积分的敛散性(1).(2).解：(1)所以，原无穷限积分收敛，且(2).解：与 均收敛，所以也收敛，且例2.讨论下列无穷限积分的敛散性(1).(2).解：(1)所以，原无穷限积分收敛。(2).解：所以，原无穷限积分发散。二、瑕积分称为瑕积分，（或有限个点）处无界。使被积函数无界的点称为瑕点。若被积函数f(x)在 上的某点定义：若对任意小的正数，函数f(x)在区间上皆
4、可积，且 则当 存在时，称瑕积分 收敛，记为若此极限不存在，则称瑕积分 发散。类似的，当f(x)在b或c(acb)点无界时，可定义瑕积分 的敛散性。若 则定义若 则定义例1.计算下列瑕积分(1).(2).解：(1).x=0为瑕点，(2)解：x=1是瑕点作变量替换，令 则当所以原积分=例2：讨论瑕积分 的敛散性。解：为瑕点所以当例3:计算瑕积分 解：第八章8.1预备知识 多元函数微积分学一、空间直角坐标系与空间中的点二、空间曲面与方程三、平面区域的概念一、空间直角坐标系与空间中的点由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一
5、定点 o,坐标面 卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念在空间直角坐标系下坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点 A,B,C点 M特殊点的坐标:有序数组(称为点 M 的坐标)原点 O(0,0,0);坐标平面:2.两点间的距离公式A,B两点间的距离公式:对两点 与定义1.如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F(x,y,z)=0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形.(2)坐标满足此方程的点都在曲面 S 上,二、空间曲面与方程常见的空间曲面有平面、柱面、旋转曲面和二次曲面1.平面空间平
6、面方程的一般形式：其中 为常数，且不全为零。例如，时，就得到（即 yz 平面）定义2.一条平面曲线2、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴例如:建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C:则有则有该点转到思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？3、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在 xoy 面上，表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面在圆C上任取一点 其上所
7、有点的坐标都满足此方程,定义3.平行直线l并沿定曲线 C 移动 形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的椭圆柱面.z 轴的平面.表示母线平行于(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线,l 叫做母线.一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2.母线4、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程.其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为 0)
8、三、平面区域的概念设 为xy平面上一定点，为一正数。以 为圆心 为半径的开圆称为点 的-邻域。D为xy平面上的一点集，点。若存在，使得则称 D为内点；若 为xy 平面上一点，且对任意的，总存在 使得则称 为 D 的边界点，D的全体边界点所成的集合，称为D的边界。若D的任意一点都是内点，则称D为开集；设D为一开集，和 为D内任意两点，若在D内存在一条直线或由有限条直线段组成的折线将 和 连接起来，则称D为连通区域，简称为区域；区域与区域的边界所构成的集合，称为闭区域，如果存正数R，使得，则称D为有界区域；否则，称D为无界区域。这里 表示以圆点（0，0）为中心、R为半径的开圆。例1：D的内点和边界
9、点都是哪些点。例2：试判断 是否为区域，若是区域，是否是有界区域。内点：边界点：为有界区域，为无界区域，不是区域。定义1的一个平面点集，如果对D中 设D是xy平面上任意一点（x,y)，按照某个确定的规则f,变量z总有唯一的数值与点(x,y)对应，则称变量z是变量x和y的二元函数，记为：其中x和y称为自变量，点集D称为函数 的定义域。几何意义：二元函数的几何意义表示空间中的一张曲面，其定义域D为该曲面在xy平面上的投影。第二节 多元函数的概念例1解所求定义域为的定义域求极限，定义1时的 则称 为函数当二、多元函数的极限且 时恒有记为设函数z=f(x,y)在点 的某邻域内有定义（在点 处是否有定义
10、无关紧要），A为某个常数。如果对任意给定的，存在，使（1）定义中 的方式是任意的；（2）二元函数的极限存在 p以任意方式趋于（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似(4)二元函数极限的概念可相应的推广到 n 元函数上去。说明：或也可记为或 时极限都存在且相等。例1.求解:原式=例2 证明 不存在 证 取其值随k的不同而变化，故极限不存在确定极限不存在的方法：（1）若极限值与k有关，则可断言极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，存在，但两者不相等，令P(x,y)沿 y=kx 趋向于使此时也可断言在点处极限不存在处连续。点间断点。三、多元函数的连续性 三、多元函数的连续性定义3 如果则称 元函数
11、 在如果若函数 在 内每一点都连续，函数 在 上连续。则称在点处不连续，则称 是函数 的一元函数中关于连续函数的运算法则，对于多元函数仍适用，积、商（分母不为零）仍连续，复合函数也连续。多元连续函数的注因此多元连续函数的和、差、闭区域上连续函数的性质上有界，（1）有界性与最大值最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，必在D且能取得它的最大值和最小值。在 D 上取得介于最大值和最小值之间的任何值。必定练 习 题一、填空题:1、若yxxy y x y x f tan),(2 2-+=,则),(ty tx f=_.2、若xyy xy x f2),(2 2+=,则=-)3,2(f_;=),1(xyf_.3、若)0()(2 2+=yyy xxyf,则=)(x f_.4、若2 2),(y xxyy x f-=+,则=),(y x f_.5.函数)1 ln(42 22y xy xz-=的定义域是_.二、求下列各极限：1.2.练习题答案