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1、预测与决策教程第11章 多目标决策基本概念决策方法多目标风险决策分析模型有限个方案多目标决策问题的分析方法层次分析法网络分析法第11章 多目标决策11.1 基本概念一、问题的提出例13.1 房屋设计某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定选址及总规定总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要求从以下5个目标综合选出最佳的设计方案：低造价（每平方米造价不低于500元，不高于700元）；抗震性能（抗震能力不低于里氏5级不高于7级）；建造时间（越快越好）；结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等）；造型美观（评价越高越好)这三个方案的具体评价表如下:具 体 目 标方案1（A1）方案2（A2）方案3
2、（A3）低造价（元/平方米）500 700 600抗震性能（里氏级）6.5 5.5 6.5建造时间（年）2 1.5 1结构合理（定性）中 优 良造型美观（定性）良 优 中基本特点n 目标不至一个n 目标间的不可公度性n 目标间的矛盾性具 体 目 标方案1（A1）方案2（A2）方案3（A3）低造价（元/平方米）500 700 600抗震性能（里氏级）6.5 5.5 6.5建造时间（年）2 1.5 1结构合理（定性）中 优 良造型美观（定性）良 优 中基本特点目标体系是指由决策者选择方案所考虑的目标组及其结构；备选方案是指决策者根据实际问题设计出的解决问题的方案；决策准则是指用于选择的方案的标准。
3、通常有两类：最优准则，满意准则。多目标问题的三个基本要素1）劣解和非劣解如某方案的各目标均劣于其他目标，则该方案可以直接舍去。这种通过比较可直接舍弃的方案称为劣解。如图中A、B、C、D、E、F、G均为劣解。非劣解：既不能立即舍去，又不能立即确定为最优的方案称为非劣解。如图中 H、I。二、几个基本概念第一目标值第二目标值ABCDEFGHI对于m个目标，一般用m个目标函数，它满足刻划，其中x表示方案。最优解：设最优解为2）选好解在处理多目标决策时，先找最优解，若无最优解，就尽力在各待选方案中找出非劣解，然后权衡非劣解，从中找出一个按某一准则较为满意的解，这个过程称为“选好解”。单目标辨优多目标辨优
4、权衡（反映了决策者的主观价值和意图）11.2 决策方法一、化多目标为单目标的方法二、重排次序法三、分层序列法一、化多目标为单目标的方法1.主要目标优化兼顾其它目标的方法 2.线性加权和法 3.平方和加权法 4.乘除法 设有m个目标f1(x)，f2(x)，fm(x)；均要求为最优，但在这m个目标中有一个是主要目标，例如为f1(x)，并要求其为最大。在这种情况下，只要使其它目标值处于一定的数值范围内，即就可把多目标决策问题转化为下列单目标决策问题：1.主要目标优化兼顾其它目标的方法 设有一多目标决策问题，共有f1(x)，f2(x)，,fm(x)等m个目标，则可以对目标fi(x)分别给以权重系数（i
5、=1，2，,m），然后构成一个新的目标函数如下：2.线性加权和法 计算所有方案的F(x)值，从中找出最大值的方案，即为最优方案。在多目标决策问题中，或由于各个目标的量纲不同，或有些目标值要求最大而有些要求最小，则可首先将目标值变换成效用值或无量纲值，然后再用线性加权和法计算新的目标函数值并进行比较，以决定方案取舍。并要求min F(x)。其中 是第 i(i=1,2,m)个目标的权重系数。3.平方和加权法 设有m个目标的决策问题，现要求各方案的目标值f1(x)，f2(x)，,fm(x)与规定的m个满意值f1*，f2*，,fm*的差距尽可能小，这时可以重新设计一个总的目标函数：4.乘除法 并要求m
6、in F(x)。当有m个目标f1(x)，f2(x)，fm(x)时，其中目标f1(x)，f2(x)，fk(x)的值要求越小越好，目标fk(x)，fk+1(x)，fm(x)的值要求越大越好，并假定fk(x)，fk+1(x)，fm(x)都大于0。于是可以采用如下目标函数，重排次序法是直接对多目标决策问题的待选方案的解重排次序，然后决定解的取舍，直到最后找到“选好解”。举例说明：例13.2 设某新建厂选择厂址共有n个方案m个目标。由于对m个目标重视程度不同，事先可按一定方法确定每个目标的权重系数。若用 fij 表示第 i 方案第 j 目标的目标值，则可列表如下。二、重排次序法（1）无量纲化。为了便于重
7、排次序，可先将不同量纲的目标值 fij 变成无量纲的数值 yij。变换方法：对目标 fj，如要求越大越好，则先从n个待选方案中找出第 j 个目标的最大值确定为最好值，而其最小值为最差值。即：并相应地规定 而其它方案的无量纲值可根据相应的 f 的取值用线性插值的方法求得。对于目标 fi，如要求越小越好，则可先从 n 个方案中的第 j 个目标中找最小值为最好值，而其最大值为最差值。可规定(2)通过对n个方案的两两比较，即可从中找出一组“非劣解”，记作B，然后对该组非劣解作进一步比较。(3)通过对非劣解B的分析比较，从中找出一“选好解”。最简单的方法是设一新的目标函数：若Fi值为最大，则方案 i 为
8、最优方案。分层序列法是把目标按照重要程度重新排序，将重要的目标排在前面，例如已知排成 f1(x)，f2(x)，fm(x)。然后对第1个目标求最优，找出所有最优解集合，用R1表示，接着在集合R1范围内求第2个目标的最优解，并将这时的最优解集合用R2表示，依此类推，直到求出第m个目标的最优解为止。将上述过程用数学语言描述，即三、分层序列法 这种方法有解的前提是R1，R2，Rm-1等集合非空，并且不至一个元素。但这在解决实际问题中很难做到。于是又提出了一种允许宽容的方法。所谓“宽容”是指，当求解后一目标最优时，不必要求前一目标也达到严格最优，而是在一个对最优解有宽容的集合中寻找。这样就变成了求一系列
9、带宽容的条件极值问题，也就是 i=1,2,m-1,设有方案A，自然状态有l个，目标有n个，该方案在第一个自然状态下各目标的后果值为11,12，,1n，第二个自然状态下各目标的后果值分别为21,22，,2n，等等。第 l 个自然状态下各目标的后果值分别为l1,l2，,ln11.3 多目标风险决策分析模型p1p2pll1,l2，,ln21,22，,2n11,12，,1nA该方案第一个目标的期望收益值为一般地，假设有m个备选方案，n个目标，第i个备选方案面临 li 个自然状态。该模型可表述为下图。第二个目标的期望收益值为第n个目标的期望收益值为多目标风险型决策模型各方案中各目标的期望收益值分别为 这
10、样，便把有限个方案的多目标风险型决策问题转化成为有限方案的多目标确定型决策问题：11.4 有限个方案多目标决策问题的分析方法1.基本结构 问题：从现有的m个备选方案 中选取最优方案（或最满意方案），决策者决策时要考虑的目标有n个：。决策者通过调查评估得到的信息可用下表表示这一表式结构可用矩阵表示为称为决策矩阵，是决策分析方法进行决策的基础。这一表式结构可用矩阵表示为称为决策矩阵，是决策分析方法进行决策的基础。决策准则：其中 为第j个目标的权重。第一，在决策矩阵中，各目标采用的单位不同，数值及其量级可能有很大的差异。如果使用原来目标的值，往往不便于比较各目标。第二，权重如何确定？存在两个问题：x
11、y(1,2)xy 把一个向量化为单位向量1）效用值法2）向量规范化2.决策矩阵的规范化 把造价向量（500，700，600）规范化 把造价向量（500，700，600）规范化 一般地，bij 无量纲，在区间(0,1)内。但变换后各属性的最大值和最小值并不是统一的，其最大者不一定是1，最小者不一定是0，有时仍不便比较。还有一个问题，上面例子中的造价是越小越好，而抗震性能是震级越高越好，这样二者不统一，还需作处理。3）线性变换如目标为效益（目标值愈大愈好），可令如目标为成本（目标值愈小愈好），令 如收益向量（20，40，30）如造价向量（500，700，600）3.确定权的方法首先，选聘L个老手（
12、即专家或有丰富经验的实际工作者），请他们各自独立地对n个目标 给出相应的权重。设第 j 位老手所提供的权重方案为：，满足则汇集这些方案可列出如表所示。1)老手法目标权重老手给定允许，若如果检验不通过，则需要和那些对应于方差估值大的老手进行协商，充分交换意见，再让他们重新调整权重，更新权重方案表。重复上述过程，最后得到一组满意的权重均值作为目标的权重。方法实用，但L不能太小。检验：则取各目标的权重为2）环比法这种方法先随意把各目标排成一定顺序，接着按顺序比较两个目标的重要性，得出两目标重要性的相对比率环比比率，然后再通过连乘把此环比比率换算为都以最后一个目标基数的定基比率，最后在归一化为权重。设
13、某决策有五个目标，下面按顺序来求其权重，见下表。目标按环比计算的重要性比率换算为以E为基数的重要性比率权重A2.0 4.5 0.327B0.5 2.25 0.164C3.0 4.50 0.327D1.5 1.50 0.109E 1.00 0.073合计13.75 1.000否则，,即。选择一组权，使比较各目标的相对重要度，（）第 i 个目标对第 j 个目标的相对重要性的估计值；这两个目标的权重和的比；如果决策人对（）的估计一致，则3）权的最小平方法为最小，其中 满足 如用拉格朗日乘子法解此有约束的优化问题，则拉格朗日函数为：为最小，其中 满足4.强制决定法 此法要求把各个目标进行两两对比，两个
14、目标比较，重要者记1分，次要者记0分。举例说明。考虑一个机械设备设计方案决策，设其目标有：灵敏度、可靠性、耐冲击性、体积、外观和成本共6项，首先画一个棋盘表格如下,其中打分所用列数为15（如目标数为n，则打分数为n(n-1)/2）。目 标 重 要 性 得 分总 分修正总分权 重灵 敏 度0 0 1 1 1 3 4 0.129可靠性1 1 1 1 1 5 6 0.286耐冲击性1 0 1 1 1 4 5 0.048体 积0 0 0 1 0 1 2 0.143外 观0 0 0 0 0 0 1 0.095成 本0 0 0 1 1 2 3 0.238合 计15 21 1.000 在每个列内只打两个分，
15、即在重要的那个目标行内打1分，在次要的那个目标行内打0分。该列的其余各行任其空着。表中总分列为各行得分之和，修正总分列是为了避免使权系数为0而设计的，其数值由总分列各数分别加上1得到，权重为各行修正总分归一化的结果。下节：层次分析法11.5.层次分析法（AHP）11.5 层次分析法（AHP）层次分析法（AHP,the analytic hierarchy process）是20世纪70年代由美国学者萨蒂最早提出的一种多目标评价决策法。特点：将决策者对复杂系统的评价决策思维过程数学化。基本思想是把复杂的问题分解成若干层次和因素，在同层次各要素间简单地进行比较、判断和计算，以获得不同要素和不同备选
16、方案的权重。步骤：定量信息要求较少，但要对问题的本质包含的要素相互间的逻辑关系掌握透彻。1）对构成决策问题的各种要素建立多级递阶的结构模型；总目标子目标评价准则方案2）对同一层次的要素以上一级的要素为准则进行两两比较，根据评定尺度确定其相对重要程度，并据此建立判断矩阵；3）确定各要素的相对重要度；4）对重要度进行综合，对各方案进行优先排序。一、多级递阶结构用层次分析法分析的系统，其多级递阶结构一般可以分成三层，即目标层，准则层和方案层。目标层为解决问题的目的，要想达到的目标。准则层为针对目标评价各方案时所考虑的各个子目标（因素或准则），可以逐层细分。方案层即解决问题的方案。层次结构往往用结构图
17、形式表示，图中标明上一层次与下一层次元素之间的联系。如果上一层的每一要素与下一层次所有要素均有联系，称为完全相关结构。层次结构往往用结构图形式表示，图中标明上一层次与下一层次元素之间的联系。如果上一层的每一要素与下一层次所有要素均有联系，称为完全相关结构。目 标准则1 准则3 准则2方案1方案2 方案1目标层A准则层C方案层P完全相关性结构图某城市闹市区域的某一商场附近，由于顾客过于稠密，常常造成车辆阻塞以及各种交通事故。市政府决定改善闹市区的交通环境。经约请各方面专家研究，制定出三种可供选择的方案：A1：在商场附近修建天桥一座，供行人横穿马路；A2：同样目的，在商场附近修建一条地下行人横道；
18、A3：搬迁商场。现试用决策分析方法对三各备选方案进行选择。一个完全相关性结构的案例（实用决策分析p.213）这是一个多目标决策问题。在改变闹市区交通环境这一总目标下，根据当地的具体情况和条件，制定了以下5个分目标作为对备选方案的评价和选择标准：C1：通车能力；C2：方便过往行人及当地居民；C3：新建或改建费用不能过高；C4：具有安全性；C5：保持市容美观。改变闹市区交通环境（G）通车能力C1方便市民C2改建费用C3安全性C4市容美观C5天桥A1地道A2搬迁A363经济生态效益最佳经济效益生态效益工业总产值产品销售收入实现利润总额实现利税总额全员劳动生产率物能消耗量物能有毒有害量产污量产污增长率
19、产污等标系数产污有毒量产品有毒有害率产品回收利用率包装重复使用次数环保投资回报率如上一层每一要素都有各自独立的、完全不相同的下层要素，称为完全独立性结构。一个完全独立性结构的案例二、判断矩阵判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是计算各要素权重的重要依据。1.建立判断矩阵设对于准则H，其下一层有 n 个要素 A1，A2，An。以上一层的某一要素H 作为判断准则，对下一层的n个要素进行两两比较来确定矩阵的元素值，其形式如下：H A1A2 Aj AnA1a11a12 a1j a1nA2a21a22 a2j a2n Aiai1ai2 aij ain Anan1an2 anj annHA1A2 A3 An
20、aij表示以判断准则H 的角度考虑要素Ai对Aj的相对重要程度。若假设在准则H下要素 A1，A2，An的权重分别为w1,w2,wn，即w=(w1,w2,wn)T,则aij=wi/wj，矩阵称为判断矩阵。若假设在准则H下要素 A1，A2，An的权重分别为 w1,w2,wn，即w=(w1,w2,wn)T,则 aij=wi/wj，aij 应该满足：1）aii=12)aij=1/aji3)aikakj=aij2.判断尺度判断矩阵中的元素aij是表示两个要素的相对重要性的数量尺度，称做判断尺度，其取值如表所示。判断尺度定义判断尺度定义1 对H而言，Ai和Aj同样重要7 对H而言，Ai比Aj重要的多3 对
21、H而言，Ai比Aj稍微重要9 对H而言，Ai比Aj绝对重要5对H而言，Ai比Aj重要2，4，6，8介于上述两个相邻判断尺度之间三、相对重要度及判断矩阵的最大特征值的计算在应用层次分析法进行系统评价和决策时，需要知道Ai关于H 的相对重要度，也就是Ai关于H 的权重，即已知 三、相对重要度及判断矩阵的最大特征值的计算在应用层次分析法进行系统评价和决策时，需要知道Ai关于H 的相对重要度，也就是Ai关于H 的权重，即已知 求 由=n 由=n AW=nW由=n 知，n为矩阵A的一个特征值，W 是矩阵A 的对应于特征值n 的特征向量。AW=nW成立，这样的数 称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应
22、于 的特征向量。假设A是n阶矩阵，如果数 和n维非零列向量x，使关系式矩阵 A 的特征向量成立，这样的数 称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于 的特征向量。假设A是n阶矩阵，如果数 和n维非零列向量x，使关系式矩阵 A 的特征向量即特征方程时，A具有唯一的非零最大特征值，且当矩阵A的元素 满足由于判断矩阵A的最大特征值所对应的特征向量即为W，为此，可先求出判断矩阵的最大特征值所对应的特征向量，再经过归一化处理，即可求出Ai关于H的相对重要度。由于判断矩阵A的最大特征值所对应的特征向量即为W，为此，可先求出判断矩阵的最大特征值所对应的特征向量，再经过归一化处理，即可求出Ai关于H的相对重
23、要度。求A的最大特征值和其对应的特征向量单位化得权重向量W设某一AHP判断矩阵为计算该矩阵的最大特征值及对应的特征向量的步骤如下：1.方根法1）计算矩阵A的每一行元素的乘积Mi2)计算 Mi 的 n 次方根 i=1,2,n2)计算 Mi 的 n 次方根 i=1,2,n3）对向量作归一化处理，即令从而得到另一向量 即为所求。4)计算A的最大特征值由例 求判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量。例 求判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量。解：（1）求A中各行元素之乘积M1=1/15,M2=15,M3=1（2）求Mi 的n次方根（n 3）M1=1/15,M2=15,M3=1（2）求Mi 的n次方根
24、（n 3）（3）对向量 w(0)(0.4055,2.4662,1)T 作归一化处理M1=1/15,M2=15,M3=1即为所求特征向量。w(0.4055,2.4662,1)T4）求精度比较：算法w1 w2 w3方根法3.0385 0.1047 0.6370 0.2583乘幂法3.0385 0.1042 0.6373 0.2583注：乘幂法为“计算方法”中计算矩阵的最大特征值的最常用的方法之一。这里取精度为0.0001。求解步骤如下：1）将判断矩阵A中各元素按列作归一化处理，得另一矩阵B=(bij)，其元素一般项为2）将矩阵B中各元素按行分别相加，其和为2.和积法3）对向量 作归一化处理，得向量
25、即为所求。3）对向量 作归一化处理，得向量即为所求。4）求 的方法与方根法相同，即对前例用和积法求得的结果如下：四、相容性判断这样就提示我们可以用 的关系来度量偏离相容性的程度。若矩阵A 完全相容，则有，否则由于判断矩阵的三个性质中的前两个容易被满足，第三个“一致性”则不易保证。如判断矩阵A被判断为A有偏差，则称A为不相容判断矩阵，这时就有度量相容性的指标为C.I.(Consistence Index)，度量相容性的指标为C.I.(Consistence Index)，一般情况下，若C.I.0.10，就可认为判断矩阵A有相容性，据此计算的W是可以接受的，否则重新进行两两比较判断。度量相容性的指
26、标为C.I.(Consistence Index)，一般情况下，若C.I.0.10，就可认为判断矩阵A有相容性，据此计算的W是可以接受的，否则重新进行两两比较判断。判断矩阵的维数n越大，判断的一致性将越差，故应放宽对高维判断矩阵一致性的要求，于是引入修正值R.I，见下表，并取更为合理的C.R为衡量判断矩阵一致性的指标。维数1 2 3 4 5 6 7 8 9R.I 0.00 0.00 0.58 0.96 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45五、综合重要度的计算 方案层 n 个方案对准则层的各准则的相对权重为：设有目标层A、准则层C、方案层P 构成的层次模型（对于层次更多的模型，其计算
27、方法相同），准则层C对目标层A的相对权重为：AC1 C2 C3 C4P1 P2 P3p11p12p13p14c1c2c3c4P1对A的权重为：p11c1+p12c2+p13c3+p14c4案例1某公司董事会准备挑选一位总经理，根据公司章程，董事会提出了挑选总经理的十二条标准（1）忠诚正派；（2）责任心强；（3）虚怀若谷；（4）有远见；（5）有组织协调能力；（6）知人善用；（7）多某善断；（8）精通业务；（9）学历高，知识面广；（10）具有现代管理知识；（11）身体健康；（12）年龄合适。在报名竞争的总经理人选中，根据董事会任命的人事小组评选结果，得分最高的三人总分一样，其得分如下：标准候选人得
28、分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12总分甲9 6 7 8 4 9 8 5 8 6 8 7 85乙8 9 9 7 8 7 6 8 5 6 5 7 85丙8 8 7 7 5 8 5 7 6 6 9 9 85为了从中选出一人为总经理，应进行权重分析。若得到十二个指标的权重，便可详细区分。选经理B1B2 B3B41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B1:道德水平B2:管理才能B3:学识水平B4:健康水平目标层准则层标准层A B1 B2 B3 B4B1 1 2 2 3B2 1/2 1 5 2B3 1/2 1/5 1 2B4 1/3 1/2 1/2 1（每行相加）（归一化
29、）维数1 2 3 4 5 6 7 8 9R.I 0.00 0.00 0.58 0.96 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45B2 C4 C5 C6 C7 C8C4 1 3 3 3 1C5 1/3 1 2 1 1/2C6 1/3 1/2 1 2 1/3C7 1/3 1 1/2 1 1/2C8 1 2 3 2 1B3 C8 C9 C10C8 1 1/3 1/2C9 3 1 2C10 2 1/2 1B4 C11 C12C11 1 3C12 1/3 1案例2改变闹市区交通环境（G）通车能力C1方便市民C2改建费用C3安全性C4市容美观C5天桥A1地道A2搬迁A3G C1 C2 C3 C4
30、C5C1 1 3 5 3 5C2 1/3 1 3 1 3C3 1/5 1/3 1 1/3 3C4 1/3 1 3 1 3C5 1/5 1/3 1/3 1/3 1C1 A1 A2 A3A1 1 1 5A2 1 1 5A3 1/5 1/5 1C2 A1 A2 A3A1 1 3 5A2 1/3 1 2A3 1/5 1/2 1C3 A1 A2 A3A1 1 4 7A2 1/4 1 4A3 1/7 1/4 1C4 A1 A2 A3A1 1 1/2 1/3A2 2 1 1A3 3 1 1C5 A1 A2 A3A1 1 1/2 1/3A2 2 1 1A3 3 1 1思考与练习1.试述层次分析法的基本思想与步
31、骤。2.完成案例1，案例2的计算。11.6网络分析法（ANP）n 网络分析，是运筹学的一个重要分支,它主要运用图论方法研究各类网络的结构及其优化问题。n 网络分析决策法，以一种网络化的方式表达元素之间的相互关系，允许元素之间存在相互依赖关系和反馈关系，从而可以更为接近现实决策问题。n AHP可以看成是ANP的一个特例11.6.1 网络结构系统元素控制因素层网络层问题目标决策准则元素与元素组是如何相互影响的11.6.2 无权重超矩阵与加权超矩阵11.6.2 无权重超矩阵与加权超矩阵APN 中的网络结构有两种形式：1.无权重超矩阵：应用两两比较的方法对元素进行两两比较，通过间接地对比获得权重。设
32、ANP 的控制层有元素,在控制层下有元素组，其中 中有元素主准则：，次准则：某一元素元素组 中元素 按其对 的影响力大小进行间接优势度比较，即构造判断矩阵：得到排序向量.归一化特征向量*.在 准则下，如果 存在 个元素，则可能需要构建 个判断矩阵进行运算，形成 个排序向量。排序向量汇总，得到：重复以上步骤，最终可以获得准则 下的无权重超矩阵：11.6.2 无权重超矩阵与加权超矩阵APN 中的网络结构有两种形式：2.加权超矩阵：对元素组进行成对比较，以使得无权超矩阵转化为权重超矩阵。以 为主准则以 为次准则 构造判断矩阵，特征向量进行归一化处理，得归一化特征向量对元素组进行成对比较在准则 下.归
33、一化特征向量*.其中，与 无关的元素组对应的归一化特征向量（排序向量）分批为零，由此可以获得在某一准则下反映元素组间关系的权重矩阵A：对无权超矩阵W 的元素进行加权，11.6.3 极限超矩阵 在ANP 中，要通过求极限超矩阵的方法确定稳定的元素优先权。实际的求极限超矩阵的过程是一个反复迭代、趋稳的过程。复杂的求解过程一般借助相关软件完成。11.6.4 ANP 应用软件（SD）超级决策软件（Super Decisions,简称SD 软件）运用SD 软件进行决策的基本步骤：输入部分1.决策问题分析建模；2.按支配关系将各个元素组和元素聚类形成网状结构，确定元素组之间和元素之间的关系。当同一层元素之间相互独立时，就转化为ANP 模型的特例AGP 模型。计算分析部分SD 软件构造超矩阵、加权矩阵、极限矩阵，得到综合优势度。Thanks演讲完毕，谢谢观看！