第17章量子力学基础优秀课件.ppt

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1、第17 章量子力学基础第1 页，本讲稿共51 页1.德布罗意波 法 国 物 理 学 家 德 布 罗 意 仔 细 分 析 了 光 的 波 动 说 和 粒 子 说的 发 展 过 程，他 看 到：整 个 世 纪 以 来，人 们 对 光 的 本 性 的认 识，注 重 了 它 的 波 动 性,而 忽 视 了 它 的 粒 子 性。而 在 实 物粒 子 的 研 究 上,我 们 是 否 犯 了 相 反 错 误：即 只 考 虑 了 实 物 粒子的粒子性,而忽略了它的波动性呢？1924年，德 布 罗 意 提 出 了 一 个 大 胆 而 具 有 深 远 意 义 的 的 假设：一切实物粒子都具有波粒二象性。实物粒子静

2、质量不为零的粒子。17.1 微观粒子的波粒二象性第2 页，本讲稿共51 页 能量为E、动量为p 的粒子与频率为v、波长为 的波相联系，并遵从以下关系：E=mc2=hv(17-1)(17-2)这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意波(物质波或概率波),其波长 称为德布罗意波长。第3 页，本讲稿共51 页2.德布罗意波的实验验证戴维逊-革末单晶电子衍射实验约恩孙的单缝电子衍射实验缪仁希太特-杜开尔双缝电子干涉实验xxs2s1po图17-1D2ar2r1.电子束K=0K=1K=1K=2K=2第4 页，本讲稿共51 页例题17-1(1)电子动能Ek=100eV；(2)子弹动量p=6.63106kg.m.

3、s-1,求德布罗意波长。解(1)因电子动能较小，速度较小，可用非相对论公式求解。=1.23(2)子弹:h=6.6310-34=1.010-40m 可见，只有微观粒子的波动性较显著；而宏观粒子(如子弹)的波动性根本测不出来。第5 页，本讲稿共51 页例题17-2 用5104V 的电压加速电子，求电子的速度、质量和德布罗意波长。解 因加速电压大，应考虑相对论效应。=1.24108(m/s)=1010-31(kg)=0.0535mo=9.1110-31(kg)第6 页，本讲稿共51 页例题17-3 为使电子波长为1，需多大的加速电压？解 因电子波长较长，速度较小，可用非相对论公式求解。m=9.111

4、0-31 h=6.6310-34=150V第7 页，本讲稿共51 页 波和粒子是两个截然不同的概念。既然微观粒子具有明显的波粒二象性,那么采用经典力学的方法描述微观粒子,就将受到限制。yx图17-2.单能电子束 px=0,py=p缝后,由于衍射,落在中央明纹范围内的电子动量 的不确定范围为 0pxpsin 先考虑中央明纹。电子衍射前，17.2 不确定关系第8 页，本讲稿共51 页对第一级衍射暗纹，有 xsin=,其中x缝宽于是就得 xpx=h 若计及更高级次的衍射,应有 xpx h 对 y 和 z 分 量,也有类似的关系。即电子在x 方向上动量的不确定量为 px=psin yx图17-2.单能

5、电子束第9 页，本讲稿共51 页 x px h(17-8)还可写为 实际上上述公式只用于数量级的估计,所以这些公式所反映的物理内涵是相同的。式(17-8)(17-9),(17-5)称为不确定关系，又称测不准关系。(17-9)(17-5)第10 页，本讲稿共51 页 x px h(17-8)1.不确定关系式(17-8)表明：微观粒子的坐标测得愈准确(x0)，动量就愈不准确(px)；微观粒子的动量测得愈准确(px0)，坐标就愈不准确(x)。但这里要注意，不确定关系 不是说微观粒子的坐标测不准；也不是说微观粒子的动量测不准；更不是说微观粒子的坐标和动量都测不准；而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准

6、。第11 页，本讲稿共51 页 这是因为微观粒子的坐标和动量本来就不同时具有确定量。这本质上是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。由上讨论可知，不确定关系是自然界的一条客观规律,不是测量技术和主观能力的问题。3.不确定关系提供了一个判据：当不确定关系施加的限制可以忽略时，则可以用经典理论来研究粒子的运动。当不确定关系施加的限制不可以忽略时，那只能用量子力学理论来处理问题。2.为什么微观粒子的坐标和动量不能同时测准呢?第12 页，本讲稿共51 页例题17-4 估算氢原子中电子速度的不确定量。解 电子被束缚在原子球内,坐标的不确定量是x=10-10m(原子的大小),按不确定关系:xpx h,则电子速

7、度的不确定量为 电子速度的不确定量是如此之大！可见,微观粒子的速度和坐标不能同时准确测定。这也表明，不确定关系施加的限制不允许我们用经典理论来研究氢原子的问题，像氢原子这样的微观粒子只能用量子力学理论来处理。第13 页，本讲稿共51 页 例题17-5 子弹质量m=0.1kg,速度测量的不确定量是x=10-6 m/s(应当说这个测量够精确的了！)，求子弹坐标的不确定量。解 按不确定关系:xpx h,则子弹坐标的不确定量为 可见,子弹的速度和坐标能同时准确测定。这表示，不确定关系施加的限制可以忽略，像子弹这样的宏观物体可以用经典理论来研究它的运动。第14 页，本讲稿共51 页例题17-6 波长=5

8、000 的光沿x轴正方向传播，波长的不确定量为=10-3，求光子坐标的不确定量。解 光子的动量 按不确定关系:xpx h,则光子坐标的不确定量为第15 页，本讲稿共51 页 1.波函数 对微观粒子，由于不确定关系施加的限制不可以忽略，它的速度和坐标不能同时确定，因此微观粒子的运动状态,不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。由于微观粒子具有波粒二象性，这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。波函数就是作为量子力学基本假设之一引入的一个新的概念。量子力学认为：微观粒子的运动状态可用一个复函数(x,y,z,t)来描述，函数(x,y,

9、z,t)称为波函数。17.3 波函数第16 页，本讲稿共51 页2.波函数的统计解释 波 动 观 点 粒 子 观 点明纹处:电子波强(x,y,z,t)2大,电子出现的概率大;暗纹处:电子波强(x,y,z,t)2小,电子出现的概率小。可见，波函数模的平方(x,y,z,t)2与粒子在该处附近出现的概率成正比。xxs2s1po图17-1D2ar2r1.电子束K=0K=1K=1K=2K=2第17 页，本讲稿共51 页 1926 年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：波函数模的平方(x,y,z,t)2 表示粒子在t 时刻在(x,y,z)处的单位体积中出现的概率，即概率密度。而(x,y,z,

10、t)2 dxdydz 上式一般称为波函数 的归一化条件。波函数都应当是归一化的。(17-21)玻恩对波函数的这种统计解释，把微观粒子的波粒二象性作出了完美的描述。(1)因为在整个空间内粒子出现的概率是1,所以有 表示粒子在t 时刻在(x,y,z)处的体积元dxdydz 中出现的概率。第18 页，本讲稿共51 页(2)波函数的标准条件 由于一定时刻在空间给定点粒子出现的概率是唯一的,并且应该是有限的(具体说应该小于1),在空间不同点处,概率分布应该是连续的,不能逐点跃变或在任何点处发生突变。因此，波函数 的标准条件应该是：单值、有限、连续。在量子力学中,物质波不代表任何实在的物理量的波动,波的振

11、幅的平方(x,y,z,t)2表示粒子在t 时刻在(x,y,z)处的单位体积中出现的概率。第19 页，本讲稿共51 页 在量子力学中微观粒子的运动状态是用波函数(x,y,z,t)来描述的。但描述微观粒子运动状态的波函数(x,y,z,t)又到那里去寻找呢？答案是：求解薛定谔方程。第20 页，本讲稿共51 页1.自由粒子的波函数和薛定谔方程 根 据 德 布 罗 意 关 系 式,能 量 为E 和 动 量 为p的 自 由 粒 子 与 一单色平面波相联系,波长和频率为=h/p,v=E/h 由 波 动 理 论 可 知,频 率 为v、波 长 为、沿x方 向 传 播 的 单色平面波的波动方程为写为复数形式就是这

12、就是自由粒子的波函数。17.4 薛定谔方程第21 页，本讲稿共51 页通常写成如下形式:(17-20)(x,t)=o粒子在空间某处出现的概率密度为 由此可见,概率密度不随时间而改变,是一种稳定状态,简称定态。第22 页，本讲稿共51 页(x,t)=o现在研究自由粒子的波函数满足什么方程。自由粒子势能为零，在非相对论情况下有在以上式子中消去p,E，就得第23 页，本讲稿共51 页2.定态薛定谔方程 若粒子在某势场U 中运动,则粒子的总能量应为设(17-29)第24 页，本讲稿共51 页于是就得这是薛定谔方程的一般形式。拉普拉斯算符哈密顿算符于是薛定谔方程的一般形式可写为(17-34)第25 页，

13、本讲稿共51 页若势能U 不显含时间t,则并注意到得将上式两端除以=E第26 页，本讲稿共51 页其解上式称为定态薛定谔方程。概率密度：概率密度不随时间而改变,是一种稳定状态,即为定态。波函数：另一方程:(17-32)第27 页，本讲稿共51 页 设 质 量 为m 的 粒 子,只 能 在0 xa的 区 域 内 自 由 运 动,粒子在这种外力场中的势能函数为 0oaxU(x)图17-3在阱外,粒子出现的概率为零,故(x)=o17.5 一维无限深方势阱第28 页，本讲稿共51 页在阱内,定态薛定谔方程为 0oaxU(x)图17-3令有 它的通解是：(x)=Acoskx+Bsinkx式中A，B 是由

14、边界条件决定的常数。第29 页，本讲稿共51 页oaxU(x)图17-3(x)=Acoskx+Bsinkx 由 于(x)在x=0 处 必 须 连 续,所 以有(0)=A=0故波函数：(x)=Bsinkx 又 由 于(x)在x=a处 也 必 须 连 续,所以又有(a)=Bsinka=0 故 ka=n 于是(n=1,2,)(n=0,(x)=0;而n 为负数与正数表达同样的概率,所以n=1,2,.)第30 页，本讲稿共51 页1.能量是量子化的。(n=1,2,)于是(n=1,2,)(17-42)可见，粒子的能量只能取不连续的值，这叫做能量量子化。整数n 叫做量子数。当n=1是粒子的基态能级。注意,这

15、与经典理论所得结果是不同的。因为根据经典理论,粒子的最低能量应该为零。E1又称为零点能。第31 页，本讲稿共51 页2.粒子在势阱内的概率分布波函数：(x)=Bsinkx，由归一化条件得于是归一化波函数为(17-41)第32 页，本讲稿共51 页 根 据 经 典 的 概 念,在 势 阱 内 各 处,粒 子 出 现 的 概 率 是 相 同的。量子力学给出粒子出现在势阱内各点的概率密度为(n=1,2,)E1E2E3ox图17-4a 这一概率密度是随x改变的,粒子在有的地方出现概率大,在有的地方出现的概率小,而且概率分布还和量子数n 有关。第33 页，本讲稿共51 页例题17-6 设质量m 的微观粒

16、子在宽度为a 的一维无限深方势阱中运动，其波函数为 求：(1)粒子的能量和动量；(2)概率密度最大的位置。解(1)量子数n=3,粒子的能量:又第34 页，本讲稿共51 页(2)概率密度最大的位置。粒子出现在势阱内各点的概率密度为有极大值的充要条件是解得E1E2E3ox图17-4a第35 页，本讲稿共51 页 应 用 玻 尔 理 论,可 以 成 功 地 解 释 氢 原 子 的 光 谱 规 律,但 是 玻尔 仍 然 把 电 子 视 为 经 典 粒 子,认 为 电 子 沿 着 确 定 的 轨 道 在 运动。同 时 又 人 为 地 加 上 了 一 些 量 子 条 件,所 以 玻 尔 理 论 实 质上

17、是 半 经 典 半 量 子 的 不 完 整 的 理 论 体 系,无 法 解 释 多 电 子 原子 的 光 谱 等 问 题。电 子 是 微 观 粒 子,它 具 有 波 粒 二 象 性,必须应用量子力学才能正确描述电子在氢原子中的运动。设原子核不动，电子是在原子核的库仑场中运动,其势能为(与时间无关)17.7 量子力学对氢原子的描述第36 页，本讲稿共51 页波函数 应满足的条件：单值、连续、有限、归一化。由 于U(r)呈 球 对 称,显 然 取 球 坐 标 较 方 便。取 原 子 核 为坐标原点，其定态薛定谔方程为第37 页，本讲稿共51 页(r,)是球坐标中的波函数,可以分离变量：(r,)=R

18、(r)()()(17-47)在E0(束缚态)的情况下求解上述方程，可得如下结论：1.能量量子化 为使波函数满足标准条件，电子(或说是整个原子)的能量只能是(主量子数:n=1,2,)(17-48)这和玻尔理论的结果一致。第38 页，本讲稿共51 页2.角动量量子化 为使波函数满足标准条件，电子的角动量为副量子数(角量子数):l=0,1,2,(n-1)3.角动量的空间量子化 为使波函数满足标准条件，电子角动量在任意方向(例如z 轴正向)的分量Lz满足下面的量子化条件:(17-49)(17-50)磁量子数:ml=0,1,2,l 由上分析可知，不仅电子角动量的大小是量子化的,而且它在空间的方向也有一定

19、的限制，即它在任意方向(例如z 轴正向)的分量,也只能取一系列分立的数值,这称为空间量子化。第39 页，本讲稿共51 页 例如：l=1,图17-5zL0z0第40 页，本讲稿共51 页4.电子的概率分布 电子云解定态薛定谔方程，可得氢原子的波函数：nl(r,)=Rnl(r)l()()电子在核外空间出现的概率密度:nl(r,)2 可 见，氢 原 子 中 的 电 子 是 按 一 定 的 概 率 分 布 在 原 子 核 的周 围,这 和 玻 尔 理 论 中 电 子 是 在 一 定 轨 道 上 运 动 完 全 不 同。这 种 电 子 在 核 外 空 间 出 现 的 概 率 密 度,人 们 往 往 形

20、象 化 地 称之为“电子云”。例如：对1S 态的电子，其概率密度为(玻尔半径)第41 页，本讲稿共51 页 由于p1s是r 的连续函数，可见电子在核外(从r=0到r=)每点都有一定的概率，只是概率大小不同而已。这和玻尔的轨道运动概念完全不同。而玻尔半径只是概率最大的位置。aorp1s图17-6第42 页，本讲稿共51 页 1921年，斯特恩(O.Stern)和盖拉赫(W.Gerlach)实验证明，电子除了绕核运动外,还有自旋。应当指出，电子的自旋是一种量子力学效应，不是机械的自转。用量子力学理论可以证明，电子自旋角动量为(17-51)自旋角动量在任意方向(例如z 轴正向)的分量Sz满足下面的量

21、子化条件：(17-52)自旋磁量子数:17.8 电子自旋 四个量子数第43 页，本讲稿共51 页z0第44 页，本讲稿共51 页(1)主量子数：n=1,2,3,。它大体上决定了原子中电子的能量。(2)角量子数：l=0,1,2,(n-1)。它 决 定 电 子 绕 核 运 动 的 角 动 量 的 大 小。一 般 说 来,处于 同 一 主 量 子 数n,而 不 同 角 量 子 数l 的 状 态 中 的 各 个 电 子,其能量稍有不同。(3)磁量子数：ml=0,1,2,l。它决定电子角动量z 分量Lz的量子化，即空间量子化。它决定电子自旋角动量的z 分量Sz的量子化,也影响原子在外磁场中的能量。(4)

22、自旋磁量子数：。总结起来,原子中电子的运动状态应由四个量子数决定。第45 页，本讲稿共51 页 除了氢原子以及类氢离子以外,其他元素的原子核外都有两个或两个以上的电子。要从解薛定谔方程求出描写电子运动的波函数和能级是非常复杂和困难的。在量子力学中常采用近似的计算方法。可以证明,原子核外电子的运动状态仍由四个量子数来确定。原子的壳层结构：1916年柯塞尔(W.Kossel)对多电子原子系统提出了壳层结构学说：主量子数n 相同的电子分布在同一壳层上。n=1,2,3,4，5,6 K,L,M,N,O,P.17.9 原子的壳层结构第46 页，本讲稿共51 页 l=0,1,2,3,4.s,p,d,f,g

23、如：n=3,l=0,1,2分别称为3s 态,3p态,3d态 主 量 子 数n 愈 小 其 相 应 的 能 级 愈 低。在 同 一 壳 层 中,角量子数l 愈小,其相应的能级愈低。多 电 子 原 子 系 统 中,核 外 电 子 在 不 同 的 壳 层 上 的 分 布 还要遵从下面两条基本原理：1.泡利不相容原理 一 个 原 子 系 统 内，不 能 有 两 个 或 两 个 以 上 电 子 具 有 完全相同的量子态(n,l,ml,ms)。利 用 泡 利 不 相 容 原 理 可 以 计 算 各 个 壳 层 中 可 能 占 有 的最多电子数。主量子数n 相同而角量子数l 不同的电子分布在不同的分壳层或支

24、壳层上。第47 页，本讲稿共51 页对给定的一个n,l=0,1,2,(n-1),共n 个值；ml=0,1,2,l，共(2l+1)个值；共2个值;(2l+1)2=2n2所以各壳层能容纳的最多电子数为 n=1,2,3,4，5,K L M N O 最多电子数：2 8 18 32 50.量子态数为第48 页，本讲稿共51 页对给定的一个l 的分壳层,ml=0,1,2,l，共(2l+1)个值；共2个值;量子态数为 2(2l+1)所以各分壳层能容纳的最多电子数为 l=0,1,2,3,4 s p d f g 最多电子数：2 6 10 14 18 2.能量最小原理 原子系统处在正常状态时,每个电子总是尽可能占

25、有最低的能级。第49 页，本讲稿共51 页电子在各壳层、分壳层的填充由左向右：n=1 2 3 4 K L M N 1s2 2s22p6 3s23p63d10 4s24p64d104f14.例题17-7 写出氩(z=18)的电子组态。解 1s2 2s22p6 3s23p6例题17-8 鈷(z=27)4s 有两个电子，没有其它n 4的电子，则3d 态上的电子数为 个。电子组态：1s2 2s22p63s23p63d？4s27第50 页，本讲稿共51 页例题17-10 根据量子力学理论，当主量子数n=3 时，电子动量矩的可能值为 答:当 n=3 时，l=0,1,2 例题17-9 在氢原子的L 壳层中，电子可能具有的量子数(n,l,ml,ms)为(A)(1,0,0,)。(B)(2,1,-1,)。(C)(2,0,1,)。(D)(3,1,-1,)。答：(B)所以L 的可能值为：L=0,第51 页，本讲稿共51 页