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1、大学物理电子教案(力学-动力学3)西北工业大学应用物理系第4章 能量和能量守恒定律牛顿定律给出了物体在力作用下运动的瞬时规律.前章讨论的动量定理和动量守恒定律给出了力在时间上的累积效果.本章将研究力对空间的累积效果,即动能定理和能量守恒定律.4.1 守恒定律1.守恒定律守恒定律:物体运动过程中有关物理量不变性的反映和表述.2.守恒定律之所以重要的原因(1)守恒定律与运动的过程和细节无关,主要关注始末运动状态的变化或联系.(2)守恒定律可用来描述运动状态变化的趋势与可能性.(永动机不可能实现)(3)守恒定律甚至适用于有关力还不清楚的情况,如基本粒子物理学.(4)守恒定律与不变性有密切的联系,特别
2、是状态变化中某物理量的不变性.(5)即便所受外力精确已知,守恒定律仍然是求解运动状态最方便的途径.4.2 功和功率问题的提出:考察外力的空间累积与运动状态变化间的联系.力在空间上的累积效果:物体在外力作用下产生位移.功:描述外力在空间上的累积效果.1.恒力对直线运动物体所做的功定义:力对物体所做的功定义为讨论:(1)0,表示力的方向沿位移方向,此时外力做正功.其中(2)/2,A/2,A=0,即力的方向与位移方位垂直,力在位移方向上的分量为0,则力对物体不做功.2.变力对曲线运动物体所做的功元功元功:力在微元位移 上对物体所做的功.物体沿曲线 从a到b过程中外力所做的功为显然,功是标量,其大小与
3、路径有关.3.合力所做的功则合力的功为显然,合力的功等于各分力功的代数和.若4.功率平均功率:单位时间内外力所做的功.瞬时功率:在时刻 t 附近的单位时间内,外力所做的功.4.3 动能定理1.动能利用牛顿定律讨论功与物体运动状态之间的关系力对物体所做的功在数值上等于其动能的增量.2.质点的动能定理3.质点系的动能定理对质点系同样可以证明:(请同学们自己证明)所有外力与内力对质点系所做的总功等于质点系总动能的增量.注意：内力只能改变系统的总动能,但不能改变系统的总动量.4.4 保守力与相应的势能问题:质点系的动能变化与内力的功有关,而系统的内力总是成对出现的.那么一对作用力和反作用力所做的功到底
4、如何？1.一对作用力和反作用力所做的功在 dt 时间内,一对作用力 和反作用所做的功之和为上式表明:两质点间的一对内力所做的功,等于其中一个质点所受的力沿相对位移所做的功.2.保守力 有一类力具有做功和路径无关的性质,下面讨论这类力.万有引力:考察质点m1和m2之间一对万有引力所做的功.按照上面的讨论,取m1为坐标原点,只须计算m2所受万有引力所做的功.一对 万 有 引 力做功之和,与质点的路径无关,只取决于两质点的始末位置.因为保守力:做功与路径无关,只取决于质点的始末位置.推论:一质点绕闭合路径一周,它所受的保守力做功为零.(请同学们自己证明)耗散力:做功与路径有关,如摩擦力、爆炸力、碰撞
5、中引起变形的冲力等.3.势能 EP定义:由系统位置决定的函数,称为势能函数,简称势能.系统由初始位置 a 移动到末了位置 b,保守内力所做的功等于其势能的减少(或势能增量的负值).讨论(1)保守力是一对内力,所以势能是对体系而言的.(2)势能是反映一对保守内力做功特性的物理量,只有保守力才有与之相关的势能.对非保守力,不存在势能之说.(3)势能的形式是由保守力的性质决定的,是体系内物体间相对位置的函数.(4)势能函数的取值不是唯一的,它和势能零点的选取有关.一般来说,势能零点可以任意选取.应当指出:空间某点势能的取值是相对的,真正有绝对意义的应是两点间的势能差.系统在任意位置的势能,等于从此位
6、置移动到势能零点过程中保守内力所做的功.势能零点:若取空间 b 点的势能为零-势能零点,则任意点 a 处的势能为 4.引力势能负号的意义:系统由所指位置移动到势能零点过程中,万有引力所做的功总为负值.时,(即选 处为势能零点)即对任意位置 r 引入势能函数因此Epr o引力势能曲线5.重力势能设地球质量为M,半径为R,质点质量为m,则选地球表面为重力势能零点即 rb=R 时,Epb=0对任意位置 r,重力势能为MRmrOEpho重力势能曲线有6.弹性势能选弹簧原长处为弹性势能零点,即令xb=0时,Epb=0 xEpo弹性势能曲线7.由势能求保守力知道了势能函数,如何求保守力？质点所受的力指向势
7、能降低的方向,其大小为势能曲线的斜率.Epxo弹性势能曲线则有保守力等于相应势能函数梯度的负值.4.5 机械能守恒定律由质点系的动能定理有则有其中又由故有机械能:系统的动能和势能之和.1.机械能2.功能关系质点系在运动过程中,它所受外力与耗散内力(非保守内力)做功之和等于系统机械能的增量.3.机械能守恒定律质点系在运动过程中,若外力和耗散内力都不做功,且只有保守内力做功时,系统势能和动能可以相互传递与转换,但其(机械能)总和保持不变.讨论(1)功能关系和机械能守恒定律都是牛顿定律的推论,所以它们只适用于惯性系.(2)合外力做功为0,但合外力并不一定为0.只要合外力的方向始终与运动方向垂直,其功
8、必为0.(3)耗散内力一般做负功.因此,如果有耗散内力做功,则系统的机械能将减少.但实验证明:机械能减少的同时,必有其它形式的能量增加.能量守恒与转换定律:能量既不能消失也不能创生,只能从一种形式转换成另一种形式,或从一个物体传递给另一个物体.这一定律揭示了不同运动形式之间的相互联系.(5)功是表示物体能量传递和转换的量度.物体系能量的交换在数值上等于外力的功,做功是能量传递和转换的一种方式.(4)能量是物质运动状态的量度.各种不同的能量反映了自然界不同质的运动,同样反映了物体的运动和它们之间的相互转换能力.(6)能量是物质运动状态的单值函数,它是物体系在一定状态下所具有的特性.功总是与能量传
9、递和转的过程相联系的,是物体系状态变化的原因.(7)能量守恒与转化定律具有普遍意义.4.碰撞问题碰撞:两个物体相互靠近直至接触产生形变,在短暂的时间内发生激烈的相互作用.特征:持续时间非常短暂、相互作用力巨大,因此可忽略外力的影响.通常,只需研究碰撞前后运动状态的变化,故可用守恒定律来求解这类问题.正碰撞:碰撞时的作用力与碰撞前后的速度都在两物体质心的连线上.不受外力作用时,任何碰撞都严格满足动量守恒定律.例1.完全弹性碰撞.碰撞后两物体的总动能没有损失.质量为m1和m2的两球沿一直线分别以速度 v10和v20运动,求它们发生对心弹性碰撞后的速度.解:由于是正碰,碰撞后两物体的速度和初速度在同
10、一直线上,设其分别为 v1和 v2,完全弹性碰撞过程遵守动量守恒和能量守恒定律.由能量守恒定律有由动量守恒定律有联立求解两方程后可得例2.弹弓效应:土星质量m2=5.67 1026 kg,相对太阳运动的轨道速率为 v20=9.6 km/s.一探测器质量m1=150 kg,又相对太阳以 v10=10.4 km/s的速率迎着土星飞行.由于土星的引力作用,探测器绕过土星后,沿与原来速度相反的方向离去.求探测器离开土星后的速率.v1v10m1v20m2解:这一过程可看作是一无接触的弹性碰撞过程.由于m2 m1,可近似为m1=0,利用例1的结论有:可见,探测器在引力作用下绕过土星后速率增大弹弓效应.该效
11、应在航天领域有着重要的应用,可以用来改变航天器的运行方向,并对航天器进行无燃料加速.例3.完全非弹性碰撞.碰撞后两物体粘结在一起的碰撞.质量为m1和m2的两物体分别以速度 v1和 v2碰撞后粘在一起,求它们碰撞后的速度和能量损失.解:完全非弹性碰撞过程动能不守恒,但因没有外力作用,故遵守动量守恒定律.设其碰撞后的共同速度为V.由动量守恒有完全非弹性碰撞过程损失的动能(或动能的减少量)为:解:设小球从轨道滑下后的速度为V1,则由机械能守恒定律有:hMV1mV例4.一质量为M的小球,从高为h的光滑轨道滑下,在水平面上与一质量为m的铁钉碰撞,将其打入墙内s深度,求墙对钉的平均阻力.(1)考虑球钉的碰撞为完全弹性碰撞;(2)考虑球钉的碰撞为完全非弹性碰撞.(1)如果小球和铁钉发生完全弹性碰撞,碰后小球和铁钉的速度分为V2和V,则由动量守恒和机械能守恒有:由(2)、(3)式解出代入(1)式可得(2)如果小球和铁钉发生完全非弹性碰撞,碰后小球和铁钉的共同速度为V,则由动量守恒:代入(1)式后可得铁钉以速度V 钉入墙中深 S.设墙对铁钉的平均阻力为F,则由动能定理可得:分别代入(4)、(5)式后可得可见,与完全非弹性碰撞相比,完全弹性碰撞时的作用力要大的多.