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1、 在预测分析中，最基本的预测模型为线性回归方程，针对一些规律性较强的数据，该模型能作出精确的预测，但在实际中，我们得到的常是一些离散的，规律性不强的数据，为解决此类问题，线性的方法就不适用了，此时，就需要采用灰色预测的方法。1 灰色预测理论2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)残差模型及GM(n,h)模型 灰色预测法回总目录1 灰 色 预 测 理 论 一、灰色预测的概念（1）灰色系统、白色系统和黑色系统 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全明确的。回总目录 回本章目录 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究
2、。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。回总目录 回本章目录 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测的方法。灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。（2）灰色预测法回总目录 回本章目录 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋 势的相异程度，即进行关联分析，并对 原始数据进行生成处理来寻找系统变动 的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预 测事物未来发展趋势的状况。回总目录 回本章目录 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的
3、一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一 特征量的时间。回总目录 回本章目录（3）灰色系统的应用范畴 灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：（1）灰色关联分析。（2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预测.等等。（3）灰色决策。（4）灰色预测控制。（4）灰色预测的四种常见类型 灰色时间序列预测 即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。畸变预测 即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区内。回总目录 回本章目录 系统预测 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，
4、预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。拓扑预测 将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。回总目录 回本章目录 二、生成列 设已知数据变量组成序列X(0)，则我们可得到数据序列 为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。回总目录 回本章目录累加累加是将原始序列通过累加得到生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。（1）数据处理方式回总目录 回本章目录 累加的规则:将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据，将原始序列
5、的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据，将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数据上，其和作为生成列的第三个数据，按此规则进行下去，便可得到生成列。回总目录 回本章目录记原始时间序列为：生成列为：上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：回总目录 回本章目录 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。回总目录 回本章目录累减 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。一次累
6、减的公式为：回总目录 回本章目录三、关联度 关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。（1）关联系数设则关联系数定义为：回总目录 回本章目录式中：为第k个点 称为分辨率，01,一般取=0.5；对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。的绝对误差；和为两级最小差；为两级最大差；回总目录 回本章目录（2）关联度和 的关联度为：回总目录 回本章目录一个计算关联度的例子 工业、农业、运输业、商业各部门的行为数据如下：工业农业运输业商业参考序列分别为，被比较序列为,试求关联度。回总目录 回本章目录解答：以为参考
7、序列求关联度。第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：回总目录 回本章目录第二步：求序列差第三步：求两极差回总目录 回本章目录第四步：计算关联系数 取=0.5，有：从而：回总目录 回本章目录第五步：求关联度 计算结果表明，运输业和工业的关联程度大于农业、商业和工业的关联程度。为参考序列时，计算类似，这里略去。回总目录 回本章目录 在建立模型前必须对数列X(0)进行准光滑性检验,由(t)=X(0)(t)/X(1)(t-1),若对t 3有(t)0.5,则其满足准光滑条件;然后检验数列X(1)是否具有准指数规律,由(1)(t)=X(1)(t)/X(1)(t-1),若对t 有(1
8、)(t)1,1+,其中常取0.5,则准指数规律满足,可对X(1)建立GM(1,1)模型,否则需继续累加。2 GM(1,1)模型一、GM（1，1）模型的建立 设时间序列 有n个观察值，通过累加生成新序列 则GM（1，1）模型相应的微分方程为：其中：称为发展灰数；称为内生控制灰数。回总目录 回本章目录构造矩阵B与向量YY=(X(0)(2),X(0)(3),，X(0)(n)设 为待估参数向量，利用最小二乘法可得：求解微分方程，即可得预测模型：，则微分方程回总目录 回本章目录可表示为 对其做累减还原，即可得到原始数列 的灰色预测模型为:由灰色预测方法原理,-a 主要控制系统发展态势的 大小,即反映预测
9、的发展态势,被称为发展系数;u 的大小反映了数据变化的关系,被称为灰色作用量,其中:当-a 0.3 时,GM(1,1)模型可用于中长期预测;当0.3-a 0.5 时,GM(1,1)模型可用于短期预测,中长期预测慎用;当0.5-a 1 时,不宜采用GM(1,1)模型,可考虑其他预测方法。灰色预测检验一般有残差检验、关联度检二、模型检验（1）残差检验按预测模型计算 并将累减生成然后计算原始序列 与 的绝对误差序列及相对误差序列。验和后验差检验。回总目录 回本章目录 在建立模型后,还必须对模型进行精度检验,其检验标准见表1。表1 精度检验等级参照表精度等级相对误差 一级(优)0.01二级(良)0.0
10、5三级(合格)0.1四级(不适用)0.2（2）关联度检验根据前面所述关联度的计算方法算出与原始序列 的关联系数，然后计算出关联度，根据经验，当=0.5时，关联度大于0.6便满意了。回总目录 回本章目录（3）后验差检验a.计算原始序列标准差:回总目录 回本章目录b.计算绝对误差序列的标准差：c.计算后验差比值：回总目录 回本章目录d.计算小误差概率：令:，则：P0.950.800.700.70 C0.350.500.650.65 好 合格 勉强合格 不合格回总目录 回本章目录3 基于灰色预测的等维灰数递补模型 从灰色预测模型公式中可以看出，它是一个指数增长的模型，在进行预测时，最近一年的预测结果
11、应该是很精确的，但对后续几年的预测误差会逐渐增大，为了提高预测模型的广泛适用性，我们做出了如下的改进：对原灰色模型等维灰数递补，即构造等维灰数递补模型。GM(1,1)模型中具有预测意义的数据仅仅是数据X(n)以后的前几个数据，随着时间的推移，老的数据越来越不适应新的情况，所以，要在原数据的基础上每次增加一个新信息时，就去掉一个老信息。这种新数据补充、老数据去除的数据列，由于其维数不变，因而叫等维信息数据列，相应的模型叫等维灰数递补模型，或叫新陈代谢模型。设原始数列为:置入新信息X(0)(n+1),去掉老信息X(0)(1),可构成新数列:利用这一新数列建立的GM(1,1)模型,即为等维信息GM(
12、1,1)模型。由于在实际中，信息处于不断的变化之中,具有很大的随机性,虽然历史信息对预测时刻的具体值有一定的相关性和影响,但与预测时刻更接近的信息对于该时刻的预测结果更有价值。鉴于这种情况,可先用已知数列建立的GM(1,1)模型预测一个值,然后补充一个新信息数据到已知数列中,同时去掉最老的一个数据,使序列等维,接着再建立GM(1,1)模型,这样逐个滚动预测,依次递补,直到完成预测目标为止，这样我们再对具体问题进行预测,就可以得到更为精确的结果。10.3 GM(1,1)残差模型及GM(n,h)模型一、残差模型 若用原始经济时间序列模型检验不合格或精度不理想时，要对建立的GM（1，1）模型进行残差修正或提高模型的预测精度。修正的方法是建立GM（1，1）的残差模型。建立的GM(1,1)回总目录 回本章目录 二、GM（n，h）模型 GM（n，h）模型是微分方程模型，可用于对描述对象做长期、连续、动态的反映。从原则上讲，某一灰色系统无论内部机制如何，只要能将该系统原始表征量表示为时间，并有（N表示自然数集），即可用GM模型对系统进行描述。，序列回总目录 回本章目录