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1、1第4章 连续时间系统的时域分析4.2 线性时不变系统及其分析方法概述4.1 系统模型及其分类4.3 线性时不变系统响应的经典求解4.4 零输入响应与零状态响应4.5 冲激响应与阶跃响应4.6 系统的卷积积分分析4.7 用MATLAB对连续时间系统的时域分析24.1 系统模型及其分类1系统的数学模型数学模型-是系统基本特性的数学抽象，它是以数学表达式来表征系统的特性的。一阶微分方程 二阶微分方程 34.1 系统模型及其分类Ri(t)L+-vL(t)Ri(t)Lr+-vL(t)对于同一物理系统，在不同条件之下，可以得到不同形式的数学模型。C44.1 系统模型及其分类 对于不同的物理系统，可能有相
2、同形式的数学模型。mv(t)54.1 系统模型及其分类+-x(t)CLRi(t)该系统可建立如下两种数学模型：对于同一物理系统，而且在相同的工作条件之下，数学模型也不唯一。（1）-输入输出方程（一个二阶微分方程）（2）-状态方程（两个一 阶微分方程组）64.1 系统模型及其分类2系统的分类1）线性系统-线性微分方程 非线性系统-非线性微分方程 2）时变系统-变系数微分方程 时不变系统-常系数微分方程3）集总参数系统-常微分方程 分布参数系统-偏微分方程 4）连续时间系统-微分方程 离散时间系统-差分方程74.1 系统模型及其分类5）因果系统与非因果系统 本课程 研究的是：线性、时不变、集总参数
3、的连续时间系统-常系数线性微分方程 线性、时不变、集总参数的离散时间系统-常系数线性差分方程 如果 t t0时系统的激励信号等于零，系统的响应信号在 t t0也等于零，这样的系统称为因果系统。因果信号：将 t 0时接入系统的信号（即在 t 0 为零的信号）称为因果信号。84.2 线性时不变系统及其分析方法概述4.2.1 线性时不变系统的基本特性1.线性特性叠加性（superposition property）与均匀性（homogeneity）(1)叠加性 若：则：系统系统系统94.2.1 线性时不变系统的基本特性系统系统(2)均匀性(齐次性)则：若：将叠加性与均匀性结合起来，有若：则：系统系统
4、系统104.2.1 线性时不变系统的基本特性ETtx(t)系统Ety(t)ET+t0tx(t-t0)t0系统Ety(t-t0)t0 2.时不变特性则：若：114.2.1 线性时不变系统的基本特性例4.2-1 判断下列系统是线性的还是非线性的，是时不变的还是时变的。解:(1)设两输入信号分别为 与，输出信号分别为故所以系统是非线性系统。124.2.1 线性时不变系统的基本特性又因为 而所以该系统是时不变系统。因此，综合上述两点，该系统为非线性时不变系统。134.2.1 线性时不变系统的基本特性（2）按题意有而 即满足所以该系统是线性系统。144.2.1 线性时不变系统的基本特性又因为而做变量置换
5、，令，则有综合上述两点，该系统为线性时不变系统。所以该系统是时不变系统。补例：15例：已知一个LTI 系统，当激励信号x(t)=u(t)时，系统的响应为y1(t)，当系统的激励为下图所示信号时，求系统的响应y(t)。22tx(t)1 31所以，根据线性和时不变性可得：解：设系统对于u(t)的响应为y1(t)16系统4.2.1 线性时不变系统的基本特性系统x(t)y(t)系统 3.微分与积分特性设系统的起始状态为零，则：若：由于17例：已 知 一 个LTI 系 统，当 激 励 信 号x1(t)=u(t)时，系 统 的 响 应 为y1(t)=e-atu(t)，当 系 统 的 激 励 为 时，求 系
6、 统 的 响 应y2(t)，假设起始时刻系统无储能。184.2.2 线性时不变系统分析方法概述输入、输出分析法：一个n 阶微（差）分方程，适合于单输 入、单输出系统状态变量分析法：n个一阶微（差）分方程组，适合于多 输入、多输出系统从系统的数学描述方法来分：从系统数学模型求解方法来分：时域分析法：不经过任何变换，在时域中直接求解响应变换域分析法：将信号和系统模型的时间函数变换成相 应某变换域的函数，如傅里叶变换、拉 普拉斯变换、z变换等194.3 线性时不变系统响应的经典求解（1）元件特性约束：即表征元件特性的关系式，如电容、电感、电阻各自电压与电流的关系等；对于较复杂的连续时间系统，只要依据
7、电网络的以下两个约束特性，就可列出微分方程。（2）网络拓扑约束：由网络结构决定的电压、电流约束关系，如基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律（KCL）等。C4.3.1 线性时不变系统的数学模型20214.3.1 线性时不变系统的数学模型例4.3-1：如下图所示互感耦合电路，x(t)为电压源激励信号，试列写求电流i2(t)的微分方程式。解：对于初、次级回路分别应用KVL，可以得到一对微分方程式i1(t)i2(t)RR L L+-x(t)M224.3.1 线性时不变系统的数学模型将式（4）、（5）代入式（3）并整理得：对式（1）两边求导得：(3)由式（2）得：(4)对式（4）两边求导得：(5
8、)(1)(2)234.3.1 线性时不变系统的数学模型之间的关系，可以用下列形式的将其推广到一般情况，对于一个线性时不变连续时间系统，其激励信号与响应信号微分方程式来描述(4.3-1)均为常数。式中，系数式(4.3-1)为一个n阶常系数线性微分方程。244.3.2 微分方程的经典求解(4.3-2)根据常系数线性微分方程的求解方法可知，式(4.3-1)的微分方程的解由齐次解（homogeneous solution）和特解两部分组成。即(particular solution)齐次解应满足特征方程为254.3.2 微分方程的经典求解（1）特征根为单根，微分方程的齐次解为这里是由初始条件决定的系数
9、。（2）特征根为共轭复数时，则所对应的齐次解为，且可以化解为（3）特征根有重根，假设 是特征方程的k 重根，那么，在齐次解中，相应于 的部分将有K 项264.3.2 微分方程的经典求解例4.3-4：求下列微分方程的齐次解。解：特征方程为特征根（重根）齐次解274.3.2 微分方程的经典求解 微分方程的特解是由输入信号产生的，所以也叫做强迫解（forced solution）。特解的形式与激励信号的形式有关。将激励信号代入微分方程式的右端，代入后右端的函数式称为自由项。通常，由观察自由项试选特解函数式，代入原方程后求得特解函数式中的待定系数，即可求出特解。由此可见，齐次解的形式仅取决于特征方程根
10、的性质，而与激励信号无关，所以齐次解有时称为固有解（natural solution）（或称自由解）。当然齐次解的系数与激励信号有关。284.3.2 微分方程的经典求解 自由项 特解E(常数)(常数)几种典型激励信号对应的特解函数形式 P104 表4.3-1294.3.2 微分方程的经典求解解:（1）列写微分方程式为节点1：节点2：例4.3-6：如下图所示电路，已知激励信号x(t)=cos2tu(t),两个电容上的初始电压均为零，求输出信号v2(t)的表达式。+-x(t)v1(t)+-C10.5FR1R2+-C2+-v2(t)1 2304.3.2 微分方程的经典求解（2）为求齐次解，写出特征方
11、程特征根（3）查表，得特解为代入原方程得齐次解比较上述方程两边系数，并求解得314.3.2 微分方程的经典求解（4）完全解为由于已知电容C2上的初始电压为零，因而有v2(0)=0,又因为电容C1上的初始电压也为零，于是流过R2,C2中的初始电流也为零，即。+-x(t)v1(t)+-C10.5FR1R2+-C2+-v2(t)（1）324.3.3 初始条件的确定(起始点的跳变从0-到0+)为求系数A，我们利用了n个条件。实际上，由于t=0时刻加入了激励，由于激励的作用，y(t)及各阶导数在t=0时刻可能发生跳变而出现不连续。1.起始状态与初始状态 起始状态：在激励接入之前的瞬时系统的状态 初始状态
12、：在激励接入之后的瞬时系统的状态由于用经典法求解微分方程时，是考虑了激励作用以后的解，时间范围是，所以要利用不能直接利用。来确定系数A，334.3.3 初始条件的确定 首先判断vC(0-)和iL(0-)值，然后由储能的连续性写出vC(0+)和iL(0+)，再根据元件约束特性与网络拓扑约束即可求得0+时刻其他电压、电流值。对于稍复杂的情况，跳变值往往不易直接求得，这时，可借助微分方程式两端各奇异函数系数平衡的方法作出判断。(奇异函数平衡法)2.初始条件的确定 可以利用系统内部储能的连续性，这时有344.3.3 初始条件的确定（1）由例4.3-1的微分方程式，将x(t)=u(t)代入，得例4.3-
13、7：如图的电路中，若激励为单位阶跃信号，x(t)=u(t)，系统起始无储能，试求i2(t)。i1(t)i2(t)RR L L+-x(t)M 由题意知（2）求初始条件354.3.3 初始条件的确定包含包含包含364.3.3 初始条件的确定（3）求齐次解，写出特征方程求得两特征根为：由于在 t 0 以后，微分方程右端为零，显然，其特解就是零。（4）求特解yp(t)（5）求全响应i2(t)374.3.3 初始条件的确定 所以 利用初始条件 求系数A1、A2 解之得：384.3.3 初始条件的确定例4.3-8 已知微分方程为 求解：将 x(t)=u(t)代入微分方程右端得包含包含包含 包含包含394.
14、3.3 初始条件的确定包含包含包含所以即404.4 零输入响应与零状态响应经典法求解系统的完全响应可分为：完全响应=自由响应+强迫响应系统的完全响应也可分为：完全响应=零输入响应+零状态响应1零输入响应与零状态响应414.4 零输入响应与零状态响应 零输入响应：当激励信号 x(t)=0时，由起始状 态 所产生的响应。由于激励信号x(t)=0，所以系统的起始时刻不会产生跳变。所以 零输入响应为自由响应的形式，即其中系数Azik由起始条件 来确定。42零状态响应：当起始状态 时，由激励 信号x(t)所产生的响应。零状态响应的形式为：其中系数Azsk由跳变量 来确定。4.4 零输入响应与零状态响应确
15、定零输入响应 的系数确定全响应的系数确定零状态响应 的系数434.4 零输入响应与零状态响应确定零输入响应 的系数确定全响应的系数确定零状态响应 的系数44例4.4-1 已知系统的微分方程为且，求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应和全响应。4.4 零输入响应与零状态响应45解：初始条件，确定全响应的系数，：起始条件，确定零输入响应的系数，：跳变量，确定零状态响应的系数,1）求全响应y(t)特征根为，所以，而 这样，全响应为 由初始条件 可求出系数 A=，所以4.4 零输入响应与零状态响应462）求零输入响应yzi(t)由起始条件 可求出系数Azi=，所以3）求零状态响应yzs(t)或：
16、4.4 零输入响应与零状态响应47由跳变量 可求出系数Azs=1，所以4.4 零输入响应与零状态响应482零输入线性与零状态线性 线性时不变系统一定满足均匀性与叠加性及微积分特性。但这种线性时不变特性是在定条件下满足的。若系统的微分方程为当起始状态 时，则系统对激励 的全响应为若把激励信号为 时，则可以求得全响应为因为系统的起始储能未变4.4 零输入响应与零状态响应49零输入响应零状态响应 比较可见，零状态响应满足线性系统的特性。零输入响应零状态响应 若把 也按照同样的比例放大，得，则在激励 作用下，全响应为：零输入响应零状态响应 这时 与 满足线性系统的均匀性4.4 零输入响应与零状态响应5
17、0常系数线性微分方程描述的系统在下面几点上是线性的（1）响应的可分解性：系统响应可分解为零输入响应和零状态响应。（2）零状态响应线性：系统的零状态响应与各激励信号成线性关系，且系统为时不变系统，所以零状态响应还满足微积分特性。（3）零输入响应线性：系统的零输入响应与各起始状态成线性关系。4.4 零输入响应与零状态响应514.5 冲激响应与阶跃响应 1.定义 2.冲激响应h(t)的求解将 及 代入上式，得 以单位冲激信号 作为激励，系统产生的零状态响应称为“单位冲激响应”，以h(t)表示。以单位阶跃信号 u(t)作为激励，系统产生的零状态响应称为“单位阶跃响应”，以g(t)表示。524.5 冲激
18、响应与阶跃响应（1）如果 nm，冲激响应h(t)应与齐次解的形式相同，如果特征根包括n个非重根，则（2）如果 n=m，冲激响应h(t)将包含一个 项，即534.5 冲激响应与阶跃响应(3)如果nm，冲激响应h(t)中将包含 系数 由初始条件确定系数 由方程两端奇异函数匹配直接计算 例4.5-1：已知微分方程为 求冲激响应h(t)。解：544.5 冲激响应与阶跃响应将 代入微分方程，比较方程两边系数可求出：所以该方法避免了求554.5 冲激响应与阶跃响应3.阶跃响应g(t)的求法当 nm，阶跃响应g(t)不包含冲激信号，如果特征根包括n个非重根，则其中B为常数，可用待定系数法求特解的方法确定。根
19、据线性系统的微分与积分特性可知，阶跃响应g(t)为 由于564.6 系统的卷积积分分析 线性时不变系统的激励为x(t)，冲激响应为h(t)1.卷积积分的物理含义即分解为冲激信号的线性组合 冲激信号的零状态响应 叠加性均匀性时不变性574.6 系统的卷积积分分析 当 时，系统的全响应，表达式如下 零输入响应 零状态响应 584.6 系统的卷积积分分析（1）交换律2.卷积积分在线性时不变系统中的应用 在2.4 节中介绍了卷积积分的代数性质，利用这些代数性质可以应用到线性时不变系统的分析中。物理意义：激励信号与冲激响应之间有互易性，即把激励信号x(t)作为冲激响应h(t)，而将h(t)当作系统的激励x(t)，所得响应不变。594.6 系统的卷积积分分析（2）分配律 分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。h2(t)h1(t)x(t)60（3）结合律 结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。h2(t)h1(t)x(t)4.6 系统的卷积积分分析614.7 用MATLAB对连续时间系统的时域分析方程右边多项式系数构成行向量方程左边多项式系数构成行向量 通过调用MATLAB 函数 tf(b,a)得到系统函数。如果已知系统的系统函数，就可以用函数 lsim 来分析系统的时域响应。