有限元课件第一章.ppt

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1、有限元分析有限元分析徐海波徐海波第一章第一章 机械结构力学分析简介机械结构力学分析简介1-1 材料力学与弹性力学材料力学与弹性力学1-2 应力的概念应力的概念1-3 位移及应变，几何方程，刚体位移位移及应变，几何方程，刚体位移1-4 应力应变关系，物理方程应力应变关系，物理方程1-5 虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程1-6 两种平面问题两种平面问题1-1 材料力学与弹性力学材料力学与弹性力学 有限单元法有限单元法 本课程中所指的是有限单元法在弹本课程中所指的是有限单元法在弹性力学问题中的应用。因此要用到弹性力性力学问题中的应用。因此要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。本章将简学的某些基

2、本概念和基本方程。本章将简单介绍这些概念和方程，作为机械结构力单介绍这些概念和方程，作为机械结构力学分析有限单元法的预备知识。学分析有限单元法的预备知识。弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学 1、研究的内容：研究的内容：基本上没有什么区别。基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：研究的对象：有相同也有区别。有相同也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚

3、度的构件。弹性力学虽然也研究即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。相当的构件。弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学 3、研究的方法：研究的方法：有较大的区别。有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力

4、学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料

5、力学解答的精确程度，可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。并确定它们的适用范围。材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学 总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果研究的对象更普遍，分析的方法更严密

6、，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛更精确，因而应用的范围更广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：料性质的假定：弹性力学中关于材料性质的假定弹性力学中关于材料性质的假定(1)物体是连续的，物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体亦即物体整个体积内

7、部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2)物物体体是是完完全全弹弹性性的的，亦亦即即当当使使物物体体产产生生变变形形的的外外力力被被除除去去以以后后，物物体体能能够够完完全全恢恢复复原原形形，而而不不留留任任何何残残余余变变形形。这这样样，当当温温度度不不变变时时，物物体体在在任任一一瞬瞬时时的的形形状状完完全全决决定定于于它它在在这这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。一瞬时所受的外力，与它过去的受力

8、情况无关。(3)物物体体是是均均匀匀的的，也也就就是是说说整整个个物物体体是是由由同同一一种种材材料料组组成成的的。这这样样，整整个个物物体体的的所所有有各各部部分分才才具具有有相相同同的的物物理理性性质质，因因而物体的弹性常数而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变。才不随位置座标而变。弹性力学中关于材料性质的假定弹性力学中关于材料性质的假定(4)物物体体是是各各向向同同性性的的，也也就就是是说说物物体体内内每每一一点点各各个个不不同同方向的物理性质和机械性质都是相同的。方向的物理性质和机械性质都是相同的。(5)物物体体的的变变形形是是微微小小的的，亦亦即即

9、当当物物体体受受力力以以后后，整整个个物物体体所所有有各各点点的的位位移移都都远远小小于于物物体体的的原原有有尺尺寸寸，因因而而应应变变和和转转角角都都远远小小于于1，这这样样，在在考考虑虑物物体体变变形形以以后后的的平平衡衡状状态态时时，可可以以用用变变形形前前的的尺尺寸寸来来代代替替变变形形后后的的尺尺寸寸，而而不不致致有有显显著著的的误误差差；并并且且，在在考考虑虑物物体体的的变变形形时时，应应变变和和转转角角的的平平方方项项或或乘乘积积项项都都可可以以略略去去不不计计，这这就就使使得得弹弹性性力力学学中中的的微微分分方方程程都都成成为为线线性性方方程。程。1-2 应力的概念应力的概念

10、作用于弹性体的外力作用于弹性体的外力(或称荷载或称荷载)可能有两种：可能有两种：表面力，表面力，是分布于物体表面的力，如静水压是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号用记号 来表示。来表示。体力，体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号个成分，用记号X、Y、Z表示。表示。弹性体受外力以后

11、，其内部将产生应力。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。1-2 应力的概念应力的概念弹性体内微小的平行六面体弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素称为体素PA=dx,PB=dy,PC=dz正应力正应力剪应力剪应力图 1-4每一个面上的应力每一个面上的应力分解为一个正应力分解为一个正应力和两个剪应力，分和两个剪应力，分别与三个坐标轴平别与三个坐标轴平行行1-2 应力的概念应力的概念为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力是作用在垂直于个角码，例如，正应力是作用在垂直于x轴的面上同轴的面上同时也沿着时也沿着X轴方向作用的。轴方

12、向作用的。正应力正应力加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力标轴。例如，剪应力 是作用在垂直于是作用在垂直于X轴的面轴的面上而沿着上而沿着y轴方向作用的。轴方向作用的。剪应力剪应力1-2 应力的概念应力的概念应力的正负应力的正负 如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。坐标轴负方向为负。相反，如果

13、某一个面上的外法线是沿着坐标轴相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。为正，沿坐标轴正方向为负。1-2 应力的概念应力的概念剪应力互等定律剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相大小相等，正负号也相同同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。因此剪应力记号的两个角码可以对调。由力矩平衡得出由力矩平衡得出简化得简化得剪应力互等剪应力互等应力分量应力分量 可可以以证证

14、明明：如如果果 这这六六个个量量在在P点点是是已已知知的的，就就可可以以求求得得经经过过该该点点的的任任何何面面上上的的正正应应力力和和剪剪应应力力，因因此此，这这六六个个量量可可以以完完全全确确定定该该点点的的应应力力状状态态，它们就称为在该点的它们就称为在该点的应力分量应力分量。一一般般说说来来，弹弹性性体体内内各各点点的的应应力力状状态态都都不不相相同同，因因此此，描描述述弹弹性性体体内内应应力力状状态态的的上上述述六六个个应应力力分分量量并并不不是是常常量量，而是坐标而是坐标x、y、z的函数。的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：来表

15、示：1-3 位移及应变、几何方程、刚体位移位移及应变、几何方程、刚体位移 弹性体在受外力以后，还将发生弹性体在受外力以后，还将发生变形变形。物体的变。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：形状态，一般有两种方式来描述：1、给出、给出各点的位移各点的位移；2、给出、给出各体素的变形各体素的变形。弹性体内任一点的弹性体内任一点的位移位移，用此位移在，用此位移在x、y、z三个三个坐标轴上的投影坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分位移分量量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并

16、不。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。是定值，而是坐标的函数。应应 变变 体素的变形可以分为两类：体素的变形可以分为两类：一类是长度的变化，一类是角度的变化。一类是长度的变化，一类是角度的变化。任任一一线线素素的的长长度度的的变变化化与与原原有有长长度度的的比比值值称称为为线线应应变变(或或称称正正应应变变)，用用符符号号 来来表表示示。沿沿坐坐标标轴轴的的线线应应变变，则则加加上上相相应应的的角角码码，分分别别用用 来来表表示示。当当线线素素伸伸长长时时，其其线线应应变变为为正正。反反之之，线线素素缩缩短短时时，其其线线应应变变为为负负。这这与与正正应应力力的

17、的正正负负号号规定相对应。规定相对应。任任意意两两个个原原来来彼彼此此正正交交的的线线素素，在在变变形形后后其其夹夹角角的的变变化化值值称称为为角角应应变变或或剪剪应应变变，用用符符号号 来来表表示示。两两坐坐标标轴轴之之间间的的角角应应变变，则则加加上上相相应应的的角角码码，分分别别用用 来来表表示示。规规定定当当夹夹角角变变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应(正的正的 引起正的引起正的 ，等等，等等)。应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系A点在点在X方向的位移分量方向的位移分量为为u；B点在点在X方向的位移：方向的位

18、移：ABCD-ABCD求线素求线素AB、AD的正应变的正应变 ，用位移分量来表示：，用位移分量来表示：线素线素AB的正应变为：的正应变为：同理，同理，AD的正应变为：的正应变为：应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系X向线素向线素AB的转角的转角 Y向线素向线素AD的转角的转角求剪应变求剪应变 ，也就是线素，也就是线素AB与与AD之间的直角的改变之间的直角的改变线素线素AB的转角为：的转角为：A点在点在Y方向的位移分量方向的位移分量为为v；B点在点在Y方向的位移分量：方向的位移分量：应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系X向线素向线素AB的转角的转角 Y向线素向线素AD的转

19、角的转角求剪应变求剪应变 ，也就是线素，也就是线素AB与与AD之间的直角的改变之间的直角的改变同理，同理，Y向线素向线素AD的转角的转角由于变形是微小的，所由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小以上式可将比单位值小得多的得多的 略去，得略去，得因此，剪应变为：因此，剪应变为：应变分量与位移分量的关系应变分量与位移分量的关系以上是考察了体素在以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，一个平面内的变形情况，同样方法来考察体素在同样方法来考察体素在XOZ和和YOZ平面内的变形平面内的变形情况，可得：情况，可得：联立得到联立得到几何方程几何方程，表明应变分量与位移分量之间，表明应变分量与位移分量

20、之间的关系。的关系。应变分量矩阵应变分量矩阵 可可以以证证明明，如如果果弹弹性性体体内内任任一一点点，已已知知这这三三个个垂垂直直方方向向的的正正应应变变及及其其相相应应的的三三个个剪剪应应变变，则则该该点点任任意意方方向向的的正正应应变变和和任任意意二二垂垂直直线线间间的的剪剪应应变变均均可可求求出出，当当然然也也可可求求出出它它的的最最大大和和最最小小正正应应变变。因因此此，这这六六个个量量可可以以完完全全确确定定该该点的应变分量，它们就称为该点的点的应变分量，它们就称为该点的应变分量应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：来表示：刚体位

21、移刚体位移 由几何方程由几何方程(1-3)可见，当弹性体的位移分量完全确可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试在试在(1-3)中命：中命：有：有：积分后，得积分后，得式中的式中的 是积分常数是积分常数积分常数的几何意义积分常数的几何意义 代代表表弹弹性性体体沿沿x方方向向的的刚刚体体移移动动。及及 分分别

22、别代代表表弹弹性性体体沿沿y方方向向及及Z方方向向的的刚体移动。刚体移动。代代表表弹弹性性体体绕绕Z轴轴的的刚刚体体转转动动。同同样样，及及 分分别别代代表表弹弹性性体体绕绕x轴轴及及y轴轴的刚体位移。的刚体位移。为为了了完完全全确确定定弹弹性性体体的的位位移移，必必须须有有六六个个适适当当的的约约束束条条件件来确定来确定 这六个刚体位移。这六个刚体位移。1-4 应力应变关系，物理方程应力应变关系，物理方程当沿当沿X轴方向的两个对面受有均匀分轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起材料性质条件下，正应力不会引起角度的任

23、何改变，而其在角度的任何改变，而其在X方向的单方向的单位伸长则可表以方程位伸长则可表以方程 式中式中E为弹性模量。为弹性模量。弹弹性性体体在在X方方向向的的伸伸长长还还伴伴随随有有侧侧向向收收缩缩，即即在在y和和Z方方向向的的单单位位缩缩短短可可表示为：表示为：式式中中 为为波波桑桑系系数数。方方程程(1-5)和和(1-6)既既可可用用于于简简单单拉拉伸伸，也也可可用用于于简简单单压压缩缩，且且在在弹弹性性极极限限之之内内，两两种种情况下的弹性模量和波桑系数相同。情况下的弹性模量和波桑系数相同。应力分量与应变分量之间的关系应力分量与应变分量之间的关系-虎克定律虎克定律1-4 应力应变关系，物理

24、方程应力应变关系，物理方程设设图图中中的的弹弹性性体体在在各各面面上上都都受受有有均均匀匀分分布布的的正正应应力力，则则合合成成应应变变的的分分量量可可用用(1-5)和和(1-6)式式求求得得。实实验验证证明明，只只须须将将三三个个应应力力中中的的每每一一应应力力所所引引起起的的应应变变分分量量叠叠加加，就就得到合成应变的分量。得到合成应变的分量。单单位位伸伸长长与与应应力力之之间间的的关关系系完完全全由由两两个个物物理理常常数数E及及 所所确确定定。两两个个常常数数也也可可用用来来确定剪应力与剪应变之间的关系。确定剪应力与剪应变之间的关系。1-4 应力应变关系，物理方程应力应变关系，物理方程

25、如如果果弹弹性性体体的的各各面面有有剪剪应应力力作作用用，如如图图1-4所所示示，任任何何两两坐坐标标轴轴的的夹夹角角的的改改变变仅仅与与平平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：式式中中G称称为为剪剪切切模模量量，它它与与弹弹性性模模量量E，波波桑系数桑系数 存在如下的关系：存在如下的关系：方方程程(1-7)中中的的正正应应变变与与方方程程(1-8)中中的的剪剪应应变变是是各各自自独独立立的的。因因此此，由由三三个个正正应应力力分分量量与与三三个个剪剪应应力力分分量量引引起起的的一一般般情情形形的的应应变变，可可用用叠叠加加法法求求得得；即即将将(1-7)和

26、和(1-8)的的六六个个关关系系式式写写在在一一起起，得得式式(1-10)，称称为为弹弹性性方方程程或或物物理理方方程程，这这种种空空间间状状态态的应力应变关系称为广义虎克定律。的应力应变关系称为广义虎克定律。图 1-41-4 应力应变关系，物理方程应力应变关系，物理方程将将应应变变分分量量表表为为应应力力分分量量的的函函数数，可可称称为为物物理理方方程程的的第第一一种种形形式式。若若将将式式(1-10)改改写写成成应应力力分分量量表表为为应应变变分分量量的的函函数数的的形形式式，并并将将式式(1-9)代代入入，可得物理方程的第二种形式：可得物理方程的第二种形式：式式(1-11)可用矩阵的形式

27、表示如下：可用矩阵的形式表示如下：式式(1-12)可简写为：可简写为：D称为称为弹性矩阵弹性矩阵，它完全决定于弹性常数，它完全决定于弹性常数E和和1-5 虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程图图1-8a示示一一平平衡衡的的杠杠杆杆，对对C点点写力矩平衡方程：写力矩平衡方程：图图1-8b表表示示杠杠杆杆绕绕支支点点C转转动动时时的刚体位移图：的刚体位移图：综合可得：综合可得：即：即：式式(1-15)是是以以功功的的形形式式表表述述的的。表表明明：图图a的的平平衡衡力力系系在在图图b的的位位移移上上作作功功时时，功功的的总总和和必必须须等于零。这就叫做等于零。这就叫做虚功原理虚功原理。虚功原理虚功

28、原理 进进一一步步分分析析。当当杠杠杆杆处处于于平平衡衡状状态态时时，和和 这这两两个个位位移移是是不不存存在在的的，但但是是如如果果某某种种原原因因，例例如如人人为为地地振振一一下下让让它它倾倾斜，一定满足斜，一定满足(1-15)式的关系。式的关系。将将这这个个客客观观存存在在的的关关系系抽抽象象成成一一个个普普遍遍的的原原理理，去去指指导导分分析和计算结构。析和计算结构。对对于于在在力力的的作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的任任何何物物体体，不不用用考考虑虑它它是是否否真真正正发发生生了了位位移移，而而假假想想它它发发生生了了位位移移，(由由于于是是假假想想，故故称称为为虚虚位位移移

29、)，那那么么，物物体体上上所所有有的的力力在在这这个个虚虚位位移移上上的的总总功功必必定定等等于于零零。这这就就叫叫做做虚虚位位移移原原理理，也也称称虚虚功功原原理理。在在图图1-8a中中的的 和和 所所作作的的功功就就不不是是发发生生在在它它本本身身(状状态态a)的的位位移移上上，(因因为为它它本本身身是是平平衡衡的的，不不存存在在位位移移)，而而是是在在状状态态(b)的的位位移移上上作作的的功功。可可见见，这这个个位位移移对对于于状状态态(a)来来说说就就是是虚虚位位移移，亦即是状态亦即是状态(a)假象的位移。假象的位移。虚功原理虚功原理 必必须须指指出出，虚虚功功原原理理的的应应用用范范

30、围围是是有有条条件件的的，它它所所涉涉及及到到的的两两个个方方面面，力力和和位位移移并并不不是是随随意意的的。对对于于力力来来讲讲，它它必必须须是是在在位位移移过过程程中中处处于于平平衡衡的的力力系系；对对于于位位移移来来讲讲，虽虽然然是是虚虚位位移移，但但并并不不是是可可以以任任意意发发生生的的。它它必必须须是是和和约约束束条条件件相相符符合的微小的刚体位移。合的微小的刚体位移。还还要要注注意意，当当位位移移是是在在某某个个约约束束条条件件下下发发生生时时，则则在在该该约约束束力力方方向向的的位位移移应应为为零零，因因而而该该约约束束力力所所作作的的虚虚功功也也应应为为零零。这这时时该该约约

31、束束力力叫叫做做被被动动力力。(如如图图1-8中中的的反反力力 ，由由于于支支点点C没有位移，故没有位移，故 所作的虚功对于零所作的虚功对于零)。反之，如图。反之，如图1-8中的中的 和和 是是在在位位移移过过程程中中作作功功的的力力，称称为为主主动动力力。因因此此，在在平平衡衡力力系系中中应应当当分分清清楚楚哪哪些些是是主主动动力力，哪哪些些是是被被动动力力，而而在在写写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。虚功原理与虚功方程虚功原理与虚功方程虚功原理虚功原理表述如下：表述如下：在在力力的的作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态

32、的的体体系系，当当发发生生与与约约束束条条件件相相符符合合的的任任意意微微小小的的刚刚体体位位移移时时，体体系系上上所所有有的的主主动动力力在在位位移移上上所所作作的的总总功功(各各力力所所作作的的功功的的代代数数和和)恒对于零。恒对于零。虚功原理用公式表示为：虚功原理用公式表示为：这就是这就是虚功方程虚功方程，其中，其中P和和 相应的代表力和虚位移。相应的代表力和虚位移。虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况 虚虚功功方方程程(1-16)是是按按刚刚体体的的情情况况得得出出的的，即即假假设设图图1-8的的杠杠杆杆是是绝绝对对刚刚性性，没没有有任任何何的的变变形形，因因而而在在方方

33、程程(1-15)或或(1-16)中没有内功项出现，而只有外功项。中没有内功项出现，而只有外功项。将将虚虚功功原原理理用用于于弹弹性性变变形形时时，总总功功W要要包包括括外外力力功功(T)和和内内力力功功(U)两两部部分分，即即：W=T-U ；内内力力功功(-U)前前面面有有一一负负号号，是是由由于于弹弹性性体体在在变变形形过过程程中中，内内力力是是克克服服变变形形而而产产生生的的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。根据虚功原理，总功等于零得：根据虚功原理，总功等于零得：T -U=0 外力虚功外力虚功 T =内力虚功内力虚

34、功 U 弹弹性性力力学学中中的的虚虚功功原原理理可可表表达达为为：在在外外力力作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的弹弹性性体体，如如果果发发生生了了虚虚位位移移，那那么么所所有有的的外外力力在在虚虚位位移移上上的的虚虚功功(外外力力功功)等等于于整整个个弹弹性性体体内内应应力力在在虚虚应应变变上上的的虚虚功功(内力功内力功)。虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况i点外力分量点外力分量j点外力分量点外力分量外外力力分分量量用用 表表示示；引起的应力分量用引起的应力分量用 表示表示虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况假设发生了虚位移假设发生了虚位移虚位移分量为虚位移

35、分量为用用 表表示示；引引起起的的虚虚应变分量用应变分量用 表示表示虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况 在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：式中式中 是是 的转置矩阵。的转置矩阵。同同样样，在在虚虚位位移移发发生生时时，在在弹弹性性体体单单位位体体积积内内，应应力力在在虚虚应变上的虚功是：应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：根据虚功原理得到：根据虚功原理得到：这这就就是是弹弹性性变变形形体体的的虚虚功功方方程程，它它通通过过虚虚位位移移和和虚虚应应变变表表明外力与

36、应力之间的关系。明外力与应力之间的关系。虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况 应该指出，在虚位移发生时，约束力应该指出，在虚位移发生时，约束力(支座反力支座反力)是不做功是不做功的，因为约束力在其所约束的方向是没有位移的。但是如果的，因为约束力在其所约束的方向是没有位移的。但是如果解除了某一个约束，而代之以约束力，那么，在虚位移发生解除了某一个约束，而代之以约束力，那么，在虚位移发生时，这个约束力就要在相应的虚位移上做虚功，而这个约束时，这个约束力就要在相应的虚位移上做虚功，而这个约束力的分量及其相应的虚位移分量就应当作为列矩阵力的分量及其相应的虚位移分量就应当作为列矩阵 及及

37、中的元素进入虚功方程中的元素进入虚功方程(1-17)。1-6 两种平面问题两种平面问题 弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化

38、为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。力分量即可。平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题平面平面应力应力问题问题 厚厚度度为为t的的很很薄薄的的均均匀匀木木板板。只只在在边边缘缘上上受受到到平平行行于于板板面面且且不不沿沿厚厚度度变变化化的的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。以以薄薄板板的的中中面面为为xy面面，以以垂垂直直于于中中面面的的任任一一直直线线为为Z轴轴。由由于于薄薄板板两两表表面面上上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：没有垂直

39、和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：于于是是，在在六六个个应应力力分分量量中中，只只需需要要研研究究剩剩下下的的平平行行于于XOY平平面面的的三三个个应应力力分分量，即量，即 ，所以称为，所以称为平面应力问题平面应力问题。平面应力问题平面应力问题应力矩阵应力矩阵(1-2)可以简化为：可以简化为：平面应力问题平面应力问题物物理理方方程程(1-10)中中后后两两式式可可见见，这这时时的的剪应变：剪应变：由物理方程由物理方程(1-10)中的第三式可见：中的第三式可见

40、：一一般般 ，并并不不一一定定等等于于零零，但但可可由由 及及 求求得得，在在分分析析问问题题时时不不必考虑。于是只需要考虑必考虑。于是只需要考虑 三三个个应应变变分分量量即即可可，于于是是应应变变矩矩阵阵(1-3-2)简化为：简化为：平面应力问题平面应力问题物理方程物理方程(1-10)简化为：简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：转化成应力分量用应变分量表示的形式：平面应力问题平面应力问题将将(1-21)式用矩阵方程表示：式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵D则简化为：则简化为：平面应力问题平面应力问题只有只有 三个应变分量需要考虑，所以几何方程三个应

41、变分量需要考虑，所以几何方程(1-3)简化为：简化为：平面应力问题平面应力问题弹性体的虚功方程弹性体的虚功方程(1-17)简化为简化为平面应变问题平面应变问题 一一纵纵向向(即即Z向向)很很长长，且且沿沿横横截截面面不不变变的的物物体体，受受有有平平行行于于横横截截面面而而且且不不沿沿长长度度变变化化的的面面力力和和体体力力，如图如图1-11所示。所示。由由于于物物体体的的纵纵向向很很长长(在在力力学学上上可可近近似似地地作作为为无无限限长长考考虑虑)，截截面面尺尺寸寸与与外外力力又又不不沿沿长长度度变变化化；当当以以任任一一横横截截面面为为xy面面，任任一一纵纵线线为为Z轴轴时时，则则所所有

42、有一一切切应应力力分分量量、应应变变分分量量和和位位移移分分量量都都不不沿沿Z方方向向变变化化，它它们们都都只只是是x和和y的的函函数数。此此外外，在在这这一一情情况况下下，由由于于对对称称(任任一一横横截截面面都都可可以以看看作作对对称称面面)，所所有有各各点点都都只只会会有有x和和y方方向向的的位位移移而而不不会会有有Z方方向向的的位位移，即移，即 w=0 因因此此，这这种种问问题题称称为为平平面面位位移移问问题，但习惯上常称为题，但习惯上常称为平面应变问题平面应变问题。平面应变问题平面应变问题既然既然w=0，而且，而且u及及v又只是又只是x和和y的函数，由几何方程的函数，由几何方程(1-

43、3-1)可见可见 。于是只剩下三个应变分量。于是只剩下三个应变分量 ，几何方程仍然简化为方程几何方程仍然简化为方程(1-24)。平面应变问题平面应变问题因为因为由物理方程由物理方程(1-11)中后两式可见中后两式可见又由物理方程又由物理方程(1-11)中的第三式可见：中的第三式可见：在平面应变问题中，虽然在平面应变问题中，虽然 ，但但 一般并不等于零，不过它可以由一般并不等于零，不过它可以由 及及 求得，在分析问题时不必考求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量虑，于是也就只有三个应力分量 需要考虑。需要考虑。平面应变问题平面应变问题物理方程物理方程(1-11)简化为：简化为：平面

44、应变问题平面应变问题将将(1-25)式用矩阵方程表示：式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵D则为：则为：平面应变问题平面应变问题 平平面面应应变变问问题题，由由于于在在Z方方向向没没有有外外力力，应应力力和和应应变变也也不不沿沿Z方方向向变变化化，所所以以虚虚功功方方程程(1-25)仍仍然然适适用用，其其中中的的t可可以以取为任意数值，但取为任意数值，但 必须是这个必须是这个t范围内的外力。范围内的外力。需需要要说说明明一一下下，工工程程中中有有许许多多问问题题很很接接近近于于平平面面应应变变问问题题，如如受受内内压压力力的的圆圆管管、滚滚柱柱轴轴承承中中的的

45、滚滚柱柱等等等等，但但它它们们的的沿沿Z向向长长度度都都不不是是无无限限长长的的。故故在在靠靠近近两两端端的的部部分分，其其应应力力应应变变状状态态比比较较复复杂杂，并并不不符符合合平平面面应应变变问问题题的的条条件件；因因此此将将这这类类问问题题当当作作平平面面应应变变问问题题来来考考虑虑时时，对对于于离离开开两两端端有有一一定定距距离离的的地地方方，得得出出的的结结果果还还是是相相当当满满意意的的；但但对对靠靠近近两两端端的的部部位位，却有较大的出入，往往需要加以处理。却有较大的出入，往往需要加以处理。平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 对对于于两两种种平平面面问问题题，

46、几几何何方方程程都都是是(1-24)，虚虚功功方方程程都都是是(1-25)，物理方程都是：，物理方程都是：平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题对于平面应力情况下的弹性矩阵，应该采用对于平面应力情况下的弹性矩阵，应该采用(1-23)式，式，而对于平面应变则采用而对于平面应变则采用(1-28)式，式，还可注意，在还可注意，在(1-23)式中，若将式中，若将E改换为改换为 ，将，将 改换为改换为 ，就得出公式就得出公式(1-28)。平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 在在两两种种平平面面问问题题中中，如如果果命命 ，则则和和1-3中中(1-4)式相似，式相似，由几何方程的积分得出：由几何方程的积分得出：其中其中 及及 分别代表弹性体沿分别代表弹性体沿x及及y方向的刚体移动，而方向的刚体移动，而代表弹性体绕代表弹性体绕Z轴的刚体转动。轴的刚体转动。回顾回顾 第一章第一章 弹性力学简介弹性力学简介 1-1 材料力学与弹性力学材料力学与弹性力学1-2 应力的概念应力的概念1-3 位移及应变，几何方程，刚体位移位移及应变，几何方程，刚体位移1-4 应力应变关系，物理方程应力应变关系，物理方程1-5 虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程1-6 两种平面问题两种平面问题