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1、18 五月 2023下载下载211海南省教育研究海南省教育研究培训院海南教研网培训院海南教研网1函数在某区间上单调的充分条件函数在某区间上单调的充分条件 一一般地，设函数般地，设函数yf(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内在某个区间内有导数，如果在这个区间内y0，那么，那么 函数函数yf(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y0，那么函数，那么函数y f(x)为这个区间内的减函数为这个区间内的减函数2极大值极大值 一般一般地，设函数地，设函数f(x)在点在点x0附近有定义，如果对附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有附近的所有的点，都有f(
2、x)f(x0)，就说，就说f(x0)是函数是函数f(x)的一个极大值，记作的一个极大值，记作y极大值极大值f(x0)，x0是极大值点是极大值点3极小值极小值 一般地，设函数一般地，设函数f(x)在在x0附近有定义，如果对附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有附近的所有的点，都有f(x)f(x0)就说就说f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值f(x0)，x0是极小值点是极小值点4求可导函数求可导函数f(x)的极值的步骤的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数确定函数的定义区间，求导数f(x)(2)求方程求方程f(x)0的根的根 (3)用函数的导
3、数为用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列成的点，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列成 表格检查表格检查 f(x)在方程根左右的在方程根左右的值值的符号，如果左正右的符号，如果左正右负负，那么，那么f(x)在在这这个根个根处处取取 得极大得极大值值；如果左；如果左负负右正，那么右正，那么f(x)在在这这个根个根处处取得极小取得极小值值；如果左右不；如果左右不 改改变变符号，那么符号，那么f(x)在在这这个根个根处处无极无极值值5利用导数求函数的最值步骤利用导数求函数的最值步骤 (1)求求f(x)在在(a，b)内的极内的极值值；(2)将将f(x)的各极的各极值值
4、与与f(a)、f(b)比比较较得出函数得出函数f(x)在在a，b上的最上的最值值1对对于于R上可上可导导的任意函数的任意函数f(x)，若，若满满足足(x1)f(x)0，则则必有必有()Af(0)f(2)2f(1)解析：解析：(x1)f(x)0，或或 函数函数yf(x)在在(，1上单调递减，上单调递减，f(0)f(1)；在；在1，)上单调递增，上单调递增，f(2)f(1)，f(0)f(2)2f(1)函数函数yf(x)可为常数函数，可为常数函数，f(0)f(2)2f(1)故选故选C项项 答案：答案：C2函数函数f(x)x33x22在区在区间间1,1上的最大上的最大值值是是()A2 B0 C2 D4
5、 解析：解析：f(x)3x26x，令，令f(x)0，得，得x0，x2(舍去舍去)比较比较f(1)，f(0)，f(1)的大小知的大小知f(x)maxf(0)2，选，选C项项 答案：答案：C3函数函数f(x)的定的定义义域域为为开区开区间间(a，b)，导导函数函数f(x)在在(a，b)内的内的图图象如象如图图所示，所示，则则函数函数f(x)在开区在开区间间(a，b)内有极小内有极小值值点点()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个 解析：解析：f(x)0单调递增，单调递增，f(x)0.由题中图象可知只有由题中图象可知只有1个极小值点个极小值点 答案：答案：A4(2010开封高三月考开封高三月考)函
6、函数数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致的大致 图图象如右象如右图图，则则 等于等于()解析解析：由题图可知：由题图可知f(1)f(0)f(2)0，解得：解得：b1，c2，d0，则，则f(x)3x22x2，则则 答案答案：C 此此类题类题主要考主要考查查求函数的求函数的导导数、数、单调单调性的判定以及性的判定以及单调单调性的性的应应用，是高考考用，是高考考查查的的重点，考重点，考题题可能以小可能以小题题形式出形式出现现，也可以以中档大，也可以以中档大题题形式出形式出现现应应注意函数注意函数yf(x)在区在区间间(a，b)上可上可导导，则则f(x)0是函数是函数yf(x)在在(a，b)上上递
7、递增的充分条件，并增的充分条件，并非充要条件非充要条件【例【例1】设设a为实为实数，函数数，函数f(x)x3ax2(a21)x在在(，0)和和(1，)都是增都是增 函数，求函数，求a的取的取值值范范围围 解答：解答：f(x)3x22ax(a21)，其判，其判别别式式4a212a212128a2.(1)若若128a20，即，即a .当当x(，)或或x(，)时时，f(x)0，f(x)在在(，)为为增函数增函数 所以所以a .(2)若若128a20，f(x)在在(，)为为增函数增函数(3)若若128a20，即，即 ，令，令f(x)0，解得解得 当当x(，x1)或或x(x2，)时时，f(x)0，f(x
8、)为为增函数；增函数；当当x(x1，x2)时时，f(x)0，b0.(1)设设A(s，f(s)，B(t，f(t)，求证线段求证线段AB中点在曲线中点在曲线yf(x)上上；(2)若若ab0时时，求，求u的最大的最大值值解答：解答：(1)f(x)ax3cxd，f(x)3ax2c.根根 据据 已已 知知 条条 件件 即即 解得解得(2)由由f(x)x3x，f(x)3x21，P点坐标点坐标(t，t3t)，联立整理得联立整理得(xt)2(x2t)0，则则Q点坐标为点坐标为(2t，8t32t)，要注意区分函数最大要注意区分函数最大(小小)值值与函数极与函数极值值的区的区别别、联联系函数的极系函数的极值值是比
9、是比较较极极值值点附近的函数点附近的函数值值得出的，是局部性概念，而函数的最大得出的，是局部性概念，而函数的最大(小小)值值是比是比较较整个定整个定义义区区间间的函数的函数值值得出的，是得出的，是对对整个定整个定义义域而言的在域而言的在闭闭区区间间a，b上上连续连续函数函数f(x)的最大的最大(小小)值值，是开区，是开区间间(a，b)内所有极大内所有极大(小小)值值与与f(a)、f(b)中的最大中的最大(小小)值值【例【例3】请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状的正六棱柱，上部的形状 是侧棱长为是侧棱长为3 m的正六棱锥的正六棱锥
10、(如图所示如图所示)试问当帐篷的顶点试问当帐篷的顶点O到底面中心到底面中心O1的的距离为多少时，帐篷的体积最大？距离为多少时，帐篷的体积最大？解答：解答：由题图，设由题图，设OO1为为x m，则则1x4.由题设可得正六棱锥底面边长为由题设可得正六棱锥底面边长为(单位单位：m)：于是底面正六边形的面积为于是底面正六边形的面积为(单位单位：m2)：帐篷的体积为帐篷的体积为(单位单位：m3)：求导数，得求导数，得令令V(x)0，解得解得x2(不合题意，舍去不合题意，舍去)，x2.当当1x0，V(x)为增函数；当为增函数；当2x4时时，V(x)0，V(x)为减函数为减函数 所以当所以当x2时时，V(x
11、)最大当最大当OO1为为2 m时，帐篷的体积最大时，帐篷的体积最大.1在利用导数确定函数单调性时要注意结论在利用导数确定函数单调性时要注意结论“若若yf(x)在在(a，b)内可导，且内可导，且 f(x)0，则，则f(x)在区间在区间(a，b)上是增函数上是增函数”的使用方法此结论并非充要的使用方法此结论并非充要 条件如条件如f(x)x3.在在(，)上是递增的，但上是递增的，但f(0)0；因此已知函数的；因此已知函数的 单调区间求函数关系式中字母范围时，要对单调区间求函数关系式中字母范围时，要对f(x)0处的点进行检验处的点进行检验2若函数若函数f(x)在在a，b上连续，在上连续，在(a，b)内
12、可导，求内可导，求f(x)在在a，b上的最大值与最上的最大值与最 小值的步骤如下：小值的步骤如下：(1)求求f(x)在在(a，b)内的极值；内的极值；(2)将将f(x)的各极值与的各极值与f(a)，f(b)比较其中最大的是最大值，最小的是最小值；比较其中最大的是最大值，最小的是最小值；(3)特殊地对于开区间内的单峰函数极大值即为函数的最大值，极小值即为函数特殊地对于开区间内的单峰函数极大值即为函数的最大值，极小值即为函数的最小值的最小值.【方法规律】【方法规律】(本题满分本题满分12分分)已知函数已知函数f(x)x3ax2bx，且，且f(1)0.(1)试用含试用含a的代数式表示的代数式表示b；
13、(2)求求f(x)的单调区间的单调区间；(3)令令a1，设设函函数数f(x)在在x1，x2(x1x2)处处取取得得极极值值，记记点点M(x1，f(x1)，N(x2，f(x2)，证明：线段证明：线段MN与曲线与曲线f(x)存在异于存在异于M、N的公共点的公共点.解答：解答：(1)由已知由已知f(x)x22axb，又又f(1)0，则则12ab0，即即b2a1.(2)f(x)x22ax2a1(x2a1)(x1)若若(2a1)1即即a1，f(x)(x1)20，则则f(x)的的递递增增区区间间为为(，)；若若(2a1)1，则则f(x)的的递递增增区区间间为为(，12a)，(1，)，递递减减区区间间为为(12a，1)；若若(2a1)1，即即a0，g(2)0知知g(x)在在(0,2)上存在零点，即线段上存在零点，即线段MN与曲线与曲线f(x)存在异于存在异于M、N的公共点的公共点