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1、第一章优化用数学模型第1页，本讲稿共41页引言 人类在社会生产活动中，为了实现活动目标，取得效益，总要付出一定的代价。有效益，有代价，就要进行比较。要比较，就要对效益好坏进行评价。如何从若干行动方案中，选择一个最优方案，以取得较大的效益，解决这一问题的钥匙就是优化技术。第2页，本讲稿共41页怎样烙才能让客人尽快吃上饼呢？家里来客人了家里来客人了,妈妈准备烙饼招待客人。妈妈准备烙饼招待客人。原则：烙每张饼正反面各需三分钟 最多同时烙两张饼 需烙三张饼第3页，本讲稿共41页烙一张需要烙一张需要3 32=62=6分钟，那烙分钟，那烙3 3张需张需要要1818分钟。分钟。一张一张的烙太浪费时间了！一张
2、一张的烙太浪费时间了！可以先烙两张，再烙第三张。可以先烙两张，再烙第三张。这样比较省时间，只需要这样比较省时间，只需要6+6=126+6=12分钟。分钟。那还有没有更合那还有没有更合理的方法呢？理的方法呢？第4页，本讲稿共41页 哇塞！原来这才是最简单的方法，哇塞！原来这才是最简单的方法，只需要只需要3+3+3=93+3+3=9分钟。分钟。123第一张正反第二张正反第三张正反第5页，本讲稿共41页 一边长为 a 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长都是x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,x多大时,方盒的容积V最大?xa第6页，本讲稿共41页优化技术 优化技术：采用数学方法，针对研究对象，进行系
3、统分析，在若干可行方案中寻求最优解，得到最佳方案，从而提高经济效益和社会效益。第7页，本讲稿共41页汽车运用优化技术 以数学和运筹学为理论基础，以汽车运用为研究对象，应用数学模型，解决汽车运用工程领域中的诸多优化问题，以提高汽车运用的综合效益。汽车的选型与匹配问题汽车的选型与匹配问题设计与试验方案的选择问题设计与试验方案的选择问题汽车运输行驶路线的优化问题汽车运输行驶路线的优化问题汽车维修工艺路线的确定问题汽车维修工艺路线的确定问题汽车维修设施数量的确定和布局问题汽车维修设施数量的确定和布局问题维修配件的合理订购批量问题维修配件的合理订购批量问题汽车的最佳更新周期的确定与社会效益的选择问题汽车
4、的最佳更新周期的确定与社会效益的选择问题举例说明第8页，本讲稿共41页汽车运用优化技术第一章 优化用数学模型第二章 汽车选型、设计、试验优化第三章 汽车使用维修优化第四章 汽车更新优化第9页，本讲稿共41页第一章 优化用数学模型第一节 数学模型的概念和分类一、模型及其分类二、数学模型及其分类第二节 优化用数学模型的建立一、建立数学模型的一般要求二、建立数学模型的一般步骤三、建立数学模型的常用方法四、建模能力的培养第10页，本讲稿共41页第一节 数学模型的概念和分类 日常生活中经常会遇到或用到模型，如飞机模型、坦克模型、楼群模型等各种实物模型，也有用文字、符号、图表、公式等描述客观事物的某些特征
5、和内在联系的模型，如数据库的关系模型、网络的六层次模型、以及我们即将要介绍的数学模型等抽象模型（用图形表示）一、模型及其分类 第11页，本讲稿共41页第一节 数学模型的概念和分类实体：一切客观存在的事物及其运动形态模型：对实体的特征及其变化规律的一种 表示或者抽象。模型的基本要求：目的性、清晰性 准确性、经济性一、模型及其分类 举例说明第12页，本讲稿共41页第一节 数学模型的概念和分类按表达形式，模型可分为：实体模型 符号模型实体模型：实物模型（汽车模型）模拟模型（电路图）符号模型：数学模型、结构模型 仿真模型、符号模型 一、模型及其分类 第13页，本讲稿共41页第一节 数学模型的概念和分类
6、 数学模型就是为了某种目的，用字母、数字、及其它数学符号建立起来的等式、不等式、图表、图形以及框图等描述客观事物特征及内在联系的数学结构，是客观事物的抽象与简化。二、数学模型及其分类 数学模型的定义第14页，本讲稿共41页第一节 数学模型的概念和分类二、数学模型及其分类 数学模型的分类分类标准分类标准具体类别具体类别数学模型的功能定量的数学模型、定性的数学模型、数学模型的目的理论研究用的数学模型、预期结果用的数学模型、优化用的数学模型数学模型变量间的关系代数关系的数学模型、几何关系的数学模型、积分关系的数学模型数学模型的研究对象人口模型、交通模型、经济模型、基因模型等第15页，本讲稿共41页第
7、一节 数学模型的概念和分类二、数学模型及其分类 优化用数学模型的分类分类标准分类标准具体类别具体类别函数类型线性最优化数学模型、非线性最优化数学模型有无约束条件无约束最优化数学模型、有约束最优化数学模型目标的个数单目标最优化数学模型、多目标最优化数学模型涉及的阶段时期静态最优化数学模型、动态最优化数学模型第16页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立一、建立数学模型的一般要求要有明确的目标模型必须精确可靠必须有严格的概念和逻辑关系模型要简单适用第17页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立二、建立数学模型的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型建立模型建立模型求解模型求解模型
8、分析与检验模型分析与检验模型使用模型使用第18页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立二、建立数学模型的一般步骤模型准备 在建模前，应对实际问题的历史背景和内在机理有深刻的了解，必须对该问题进行全面的、深入细致的调查研究。首先要明确所解决问题的目的要求，并着手收集数据。数据是为建立模型而收集的，因此，如果在调查研究时对建立什么样的模型有所考虑的话，那么就可以按模型需要，更有目的地、更合理地来收集有关数据。第19页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立二、建立数学模型的一般步骤模型假设 现实问题错综复杂，常常涉及面极广。要想建立一个数学模型来面面俱到、无所不包地反映现实问题是不可能的
9、，也是没有必要的。一个模型，只要它能反映我们所需要的某一个侧面就够了，建模前应先将问题理想化、简单化，即首先抓住主要因素，忽略次要因素，在相对简单的情况下，理清变量间的关系，建立相应的数学模型。为此对所给问题作出必要且合理的假设，是建立模型的关键。第20页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立二、建立数学模型的一般步骤模型建立 分清变量类型，恰当使用数学工具；抓住问题的本质，简化变量间的关系；建模要有较严密的推理；建模要足够的精度第21页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立二、建立数学模型的一般步骤模型求解 不同的模型要用到不同的数学工具才能求解。由于计算机的广泛使用，利用已有的
10、许多计算机软件为求解各种不同的数学模型带来了方便。其中著名的有 Mathematica、Matlab、MathCAD等。掌握了它们，将会使你解决问题事半功倍。第22页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立二、建立数学模型的一般步骤模型分析 对模型求出的解进行数学上的分析，有助于对实际问题的解决。分析时，有时要根据问题的要求对变量间的依赖关系进行分析和对解的结果稳定性进行分析，有时根据求出的解对实际问题的发展趋势进行预测，为决策者提供最优决策方案。除此之外，常常还需要进行误差分析，模型对数据的稳定性分析和灵敏度分析等。第23页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立二、建立数学模型的一
11、般步骤模型检验 要说明一个模型是否反映了客观实际，也可用已有的数据去验证。如果由模型计算出来的理论数据与实际数据比较吻合，则可以认为模型是成功的。如果理论数值与实际数值差别较大，则模型失败。如果是部分吻合，则可找原因，发现问题，修改模型。修改模型时，对约束条件也要重新考虑，增加、减少或修改约束条件，甚至于修改模型假设，重新建模。第24页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立二、建立数学模型的一般步骤模型应用 数学模型应用非常广泛，可以说已经应用到各个领域，而且越来越渗透到社会学科、生命学科、环境学科等。由于建模是预测的基础，而预测又是决策与控制的前提因此用数学模型对实际工作进行指导，可以
12、节省开支、减少浪费、增加收入。特别是对未来的预测和估计，对促进科学技术和工农业生产的发展具有更大的意义。第25页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立三、建立数学模型的常用方法1.理论分析法2.模拟法3.类比法第26页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立三、建立数学模型的常用方法理论分析法 理论分析是指应用自然科学中已被证明是正确的理论、原理和定律，对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。第27页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立三、建立数学模型的常用方法 问题：配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生
13、产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。第28页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立三、建立数学模型的常用方法问题分析：问题分析：若每天生产一次，每次100件，无存贮费，生产准备费5000元，每天费用5000元；若10天生产一次，每次1000件，存贮费900+800+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用950元；若50
14、天生产一次，每次5000件，存贮费4900+4800+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用2550元；寻找生产周期、产量、需求量、生产准备费和存贮费之间的关系，使每天的费用最少第29页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立三、建立数学模型的常用方法模型假设：（1）连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量；（2）产品每日的需求量为常数 r；（3）每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2；（4）生产能力为无限大（相对于需求量），当存贮量降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。第30页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的
15、建立三、建立数学模型的常用方法模型建立：总费用与变量的关系总费用=生产准备费+存贮费存贮费=存贮单价*存贮量存贮量=？第31页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立三、建立数学模型的常用方法存贮量的计算：设 t 时刻的存贮量为 q(t)，t=0时生产 Q 件，存贮量 q(0)=Q,q(t)以需求速率 r 线性递减，直至q(T)=0，如图。q(t)=Q-r t，Q=r T 。otqQTrA不允许缺货模型的存贮量q(t)第32页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立三、建立数学模型的常用方法一个周期内存贮量一个周期内存贮费一个周期的总费用每天平均费用第33页，本讲稿共41页第二节 优化
16、用数学模型的建立三、建立数学模型的常用方法模型求解用微分法每天平均最小费用经济订货批量公式经济订货批量公式 (EOQ:Economic Order Quantity)第34页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立三、建立数学模型的常用方法结果分析当准备费 c1 增加时，生产周期和产量都变大；当存贮费 c2 增加时，生产周期和产量都变小；当日需求费 r 增加时，生产周期变小而产量变大。这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系数2 等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到。第35页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立三、建立数学模型的常用方法模拟法 有的模型，虽然对其结构和性质
17、已经了解，但其数量描述和求解过程都相当麻烦。如果有另一种系统，其结构和性质与其相同，而且构造出来的模型也类似，就可以把后一种模型看成是原来模型的模拟，可对后一种模型进行试验，并求得其解。第36页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立三、建立数学模型的常用方法 某工厂欲确定一个新仓库的位置 ，使它供应处于不同地点 的车间，各车间的需求量在一定时间内已知，为 ，问应如何选择 的位置，才能使总运费在一定时期内达到最小。假设运费近似等于货重与运输距离的乘积。采用分析法建立数学模型，求 使得总运费 达到最小，可得目标函数为：第37页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立三、建立数学模型的常用方法采用物理模型模拟第38页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立三、建立数学模型的常用方法类比分析法 若两个不同的系统可用同一形式的数学模型来描述，则这两个系统就可以类比。类比分析法，是根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的一种方法。第39页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立三、建立数学模型的常用方法第40页，本讲稿共41页第二节 优化用数学模型的建立四、建模能力的培养p理解实际问题的能力p抽象分析问题的能力p运用科技知识和工具的能力p试验调试的能力第41页，本讲稿共41页