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1、第二章导数与微分微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数导数 描述函数变化快慢微分微分 描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton第一节1.导数和微分的定义一、导数的定义一、导数的定义四、导数的几何意义四、导数的几何意义三、函数的可导性与连续性的关系三、函数的可导性与连续性的关系二、单侧导数二、单侧导数五、微分五、微分一、一、引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动2.曲线的切线斜率曲线的切线
2、斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变变化化率率问问题题二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率若上述极限不存在,在点 不可导.若也称在
3、若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意注意:就说函数就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.由定义求导数的步骤一些基本初等函数的导数常数函数的导数幂函数的导数正（余）弦函数的导数对数函数的导数指数函数的导数常数函数的导数常数函数的导数解解注注：例例2.正弦函数的导数正弦函数的导数解解所以所以同理可得同理可得例例1.例例3.求函数解解:幂函数的导数的导数更一般地更一般地说明：说明：对一般幂函数(为常数)例如，例如，（以后将证明）对数函数的导数解解 例例4.指数函数的导数解解例例5.（见（见1-4函数连续性的例函数连续性的例3 ）在点的某个右右 邻域内五、五
4、、单侧导单侧导数数若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作即(左)(左左)例如例如,在 x=0 处有定义定义2.设函数有定义,存在,定理定理2.函数在点且存在简写为若函数与都存在,则称在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件是且四、四、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.即在处的连续但不可导。注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.证例例1:处连续但不可导在试证处连续。在处不可导。在例例2:01/101分段函数在分段点的可导性解解例例6.7.设,问 a 取何值时,在
5、都存在,并求出解解:故时此时在都存在,显然该函数在 x=0 连续.三、三、导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直.yx曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:切线切线法线法线例8，求曲线在处的切线方程和法线方程。解：切线方程：法线方程：一、微分的概念一、微分的概念 引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其的微分微分,定义定义:若函数在点
6、 的增量可表示为(A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理定理:可微的充要条件充要条件是则在点可可微微,定理定理:函数证证:“必要性必要性”已知在点 可微,则故在点 的可导,且在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即定理定理:函数在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即“充分性充分性”已知即在点 的可导,则说明说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,记作记例如例如,基本初等函数的微分公式(见 P66表)又如又如,内容小结内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;思考与练习思考与练习1.函数 在某点 处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意注意:有什么区别与联系?？与导函数7.微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2.设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解解:由题设由夹逼准则故在可导,且且