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1、近世代数近世代数第二章第二章 群论群论 5 变换群变换群 10/13/2022研究一种代数体系就是要解决这种代数体系研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。关于数量问题，指的是彼此不同结构问题。关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。抽象地看可以认为是相同的代数体系。本讲的本讲的凯莱定理凯莱定理将告诉我们，如果将所有变将告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研换群都研究清楚了，也就等于把所有群都
2、研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。论上知道凯莱定理的重要性。10/13/2022一、集合的变换和变换乘法一、集合的变换和变换乘法 1 1 变换变换：设设是一个非空集合，若是一个非空集合，若是是就称就称是是的一个的一个变换变换.到到上的映射上的映射2 2 变换变换集合：由集合：由的全体的全体变换变换做成的集合做成的集合，由，由的全体一一的全体一一变换变换做成做成.记为记为的集合的集合记为记为 10/13/20224 4 变换变换乘法是乘法是的代数运算，也是的代数运算，也是的代数运算的代数运算.5 5 恒等恒等变换变换：，3 3
3、 变换变换乘法：乘法：，规规定定，称，称为为的乘法的乘法.10/13/2022二、变换群的概念二、变换群的概念 例例1 1 设设的全部的全部变换变换如下如下问问：（：（1 1）关于关于变换变换乘法是否做成群？乘法是否做成群？关于关于变换变换乘法是否做成群？乘法是否做成群？（2 2）10/13/2022解解：（：（1 1）非空、代数运算、）非空、代数运算、结结合律都合律都满满足，足，事事实实上，上，就没有逆元就没有逆元.因因为为如果如果有逆元有逆元.那么必有那么必有且且.但是但是而而 导导致矛盾，故致矛盾，故没有逆元没有逆元.不能成不能成为为群群.有有单单位元位元.那么那么“逆元逆元”问题问题能
4、解决能解决吗吗？因此因此 10/13/2022（2 2）非空、代数运算、）非空、代数运算、结结合律都合律都满满足，足，的逆元是的逆元是的逆元是自身的逆元是自身.因此因此例例2 2 设设，并取定，并取定，则则易知易知是是的一个非一一的一个非一一变换变换，从而，从而关于关于变换变换乘法做成群乘法做成群.有有单单位元位元成成为为群群.10/13/2022定义定义1设设的若干一一的若干一一变换变换关于关于变换变换的乘法做成的乘法做成的一个的一个一一一一变换变换群群；的若干非一一的若干非一一变换变换关于关于变换变换的乘法做的乘法做的一个的一个非一一非一一变换变换群群.是一个非空集合，则是一个非空集合，则
5、的若干变换关于变换的乘法做成的群，的若干变换关于变换的乘法做成的群，的一个的一个变换群变换群；由由称为称为由由的群，称的群，称为为由由成的群，称成的群，称为为 10/13/2022定理定理设设为为非空集合，非空集合，构成构成的一个的一个变换变换群群.关于关于变换变换的乘法的乘法证证明：乘法封明：乘法封闭闭性、性、结结合律都合律都满满足，足，单单位元位元为为恒等恒等变换变换，每个一一映射都有个与之，每个一一映射都有个与之对应对应的的互逆的一一映射互逆的一一映射.10/13/2022定义定义2 2称集合称集合上的一一上的一一变换变换群群为为上的上的对对称群；称群；时时，其上的，其上的对对称群用称群
6、用表示，称表示，称为为n 次次对对称群称群.当当显显然：然：n次次对对称群称群是一个是一个阶为阶为的有限群的有限群.10/13/2022例例例例3.令令，则则做成做成的一个的一个，规规定定，则则做成做成的一个的一个上的上的对对称群称群.非一一非一一变换变换群群.例例4.令令一一一一变换变换群，但不是群，但不是（单单位元位元）（单单位元位元）10/13/2022定理定理(凯莱定理凯莱定理)任何群都能同一个一一变换群同构任何群都能同一个一一变换群同构.证证：设设 是任意一个群是任意一个群,，规规定定的一个的一个变换变换,易知是一个易知是一个一个一一一个一一变换变换.令令 ，则则，所以，所以是同构映射是同构映射.所以所以.10/13/2022以上定理及推以上定理及推论论表明表明:任何任何抽象群抽象群都可以找到某个都可以找到某个具体的群具体的群与它与它同构同构.10/13/2022