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1、第1讲差分方程模型第1页，本讲稿共20页 讲授主要内容讲授主要内容l一、差分方程知识简介一、差分方程知识简介l二、差分方程模型讲解二、差分方程模型讲解l三、微分方程知识简介三、微分方程知识简介l四、微分方程模型讲解四、微分方程模型讲解第2页，本讲稿共20页动态动态模型模型特征特征 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的的演变过程演变过程 分析对象特征的分析对象特征的变化规律变化规律 预报对象特征的预报对象特征的未来性态未来性态 研究控制对象特征的研究控制对象特征的手段手段第3页，本讲稿共20页 在研究实际问题时在研究实际问题时,我们常常不能直接得出变量之间我们常常不能直接得出变量之
2、间的关系的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系式但却能容易得出包含变量导数在内的关系式,这就是这就是微分方程微分方程.在现实社会中在现实社会中,又有许多变量是离散变化的又有许多变量是离散变化的,如人口数、生如人口数、生产周期与商品价格等产周期与商品价格等,而且离散的运算具有可操作性而且离散的运算具有可操作性,差分差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁正是联系连续与离散变量的一座桥梁.不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解析解(必要时必要时,可以利用计算机求其数值解可以利用计算机求其数值解),),既使得到其解析既使得到其解析解解,
3、尚有未知参数需要估计尚有未知参数需要估计(这时可利用参数估计方法这时可利用参数估计方法).).而在实际问题中而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要，讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.第4页，本讲稿共20页一、一、差分方程知识简介差分方程知识简介 对于对于k阶差分方程阶差分方程F(n;xn,xn+1,xn+k)=0 (1)若有若有xn=x(n),满足满足F(n;x(n),x(n+1),x(n+k)=0,则称则称xn=x(n)是差分方程是差分方程(1)的的解解,包含任意常数的解包含任意常数的解称为称为(1)的的通解通解
4、,x0,x1,xk-1为已知时称为为已知时称为(1)的的初始初始条件条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为为(1)的的特解特解.若若x0,x1,xk-1已知已知,则形如则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现的差分方程的解可以在计算机上实现.第5页，本讲稿共20页 若有常数若有常数a是差分方程是差分方程(1)的解的解,即即F(n;a,a,a)=0,则称则称 a是差分方程是差分方程(1)的的平衡点平衡点.又对差分方程又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解的任意由初始条件确定的解 xn=x(n)都有
5、都有xna(n),则称这个平衡点则称这个平衡点a是是稳定稳定的的.一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 xn+1+axn=b,(其中其中a,b为常数为常数,且且a-1,0)的通解为的通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知易知b/(a+1)是其平衡点是其平衡点,由上式知由上式知,当且仅当当且仅当|a|1时时,b/(a+1)是稳定的平衡点是稳定的平衡点.第6页，本讲稿共20页 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中其中a,b,r为常数为常数.当当r=0时时,它有一特解它有一特解x*=0；当当r 0,且且a+b+1 0时时,它有一特解它有一特
6、解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形不管是哪种情形,x*是其平衡点是其平衡点.设其特征方程设其特征方程 2+a +b=0的两个根分别为的两个根分别为 =1,=2.第7页，本讲稿共20页 当当 1,2是两个不同实根时是两个不同实根时,二阶常系数线性差二阶常系数线性差分分方程的通解为方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;当当 1,2=是两个相同实根时是两个相同实根时,二阶常系数线性差二阶常系数线性差分分方程的通解为方程的通解为xn=x*+(C1+C2 n)n;当当 1,2=(cos(+)(-)i sin )是一对共轭复根是一对共轭复根时时,二阶常系数线性差分二阶常系数线性差分方
7、程的通解为方程的通解为xn=x*+n(C1cosn +C2sinn ).易知易知,当且仅当特征方程的任一特征根当且仅当特征方程的任一特征根|i|1时时,平衡点平衡点x*是稳定的是稳定的.则则第8页，本讲稿共20页对于一阶非线性差分方程对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点其平衡点x*由代数方程由代数方程x=f(x)解出解出.为分析平衡点为分析平衡点x*的稳定性的稳定性,将上述差分方程近似为将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程时时,上述近似线性差分方程与上述近似线性差分方程与原原非线性差分方程的非线性差分方程的稳定性相同稳定性相同.因此因此当当时时,x*是
8、稳定的；是稳定的；当当时时,x*是不稳定的是不稳定的.当当第9页，本讲稿共20页 二、二、差分方程模型讲解差分方程模型讲解l差分方程建模方法的思想差分方程建模方法的思想 差分方程建模方法的思想与一般数学建差分方程建模方法的思想与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历背景分析、模的思想是一致的，也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等）也就是物形状、过程轨迹、坐标系统等）也就
9、是说要把事物的说要把事物的性态、结构、过程、成份性态、结构、过程、成份等等用数学概念、原理、方法来表现、分析、用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。求解。第10页，本讲稿共20页 差分方程的特殊性：差分方程的特殊性：l首先应该把首先应该把系统或过程进系统或过程进行特别行特别分解分解，形成表现，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式或形成变化整个系统的各个部分的离散取值形式或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。l然后通过然后通过内在的机理分析内在的机理分析，找出变量所能满足的，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而建立
10、差平衡关系、增量或减量关系及规律，从而建立差分方程。分方程。l特别地，有时可能通过多个离散变量的关系得到特别地，有时可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。有时需要找向量方程，它有着非常重要的意义。有时需要找出决定变量的初始条件；有时还需要将问题适当出决定变量的初始条件；有时还需要将问题适当分成几个子部分并分别求解。分成几个子部分并分别求解。第11页，本讲稿共20页 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持
11、通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25 超重超重;BMI30 肥胖肥胖.第12页，本讲稿共20页模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2
12、）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异),相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千千克，每周吸收热量不要小于克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。第13页，本讲稿共20页某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重
13、千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至维持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。第14页，本讲稿共20页 确定某甲的代
14、谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k)第第k周周(末末)体重体重c(k)第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不变千克不变第15页，本讲稿共20页 第一阶段第一阶段:w(k)每周减每周减1千克千克,c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡第一阶段第一阶段10周周,每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的
15、两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划第16页，本讲稿共20页 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克 1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型基本模型第17页，本讲稿共20页 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克 第二阶段第二阶段19周周,每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡,体重按体重按 减少至减少至75千克。千克。第18页，本讲稿共20页运动运动 t=24(每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时),14周即可。周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡千卡):跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速)游泳游泳(50米米/分分)7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动每周运动时间时间(小时小时)基本基本模型模型第19页，本讲稿共20页3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变 不运动不运动 运动运动(内容同前内容同前)第20页，本讲稿共20页