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1、第三章时间特性分析法第三章时间特性分析法控制系统都是在时间域内进行工作的。因此，控制系统都是在时间域内进行工作的。因此，控制系统都是在时间域内进行工作的。因此，控制系统都是在时间域内进行工作的。因此，时间特性分析法是这些方法中最常用、又是比时间特性分析法是这些方法中最常用、又是比时间特性分析法是这些方法中最常用、又是比时间特性分析法是这些方法中最常用、又是比较精确的方法，它是通过拉普拉斯反变换求出较精确的方法，它是通过拉普拉斯反变换求出较精确的方法，它是通过拉普拉斯反变换求出较精确的方法，它是通过拉普拉斯反变换求出系统输出量的表达式，从而提供了时间响应的系统输出量的表达式，从而提供了时间响应的
2、系统输出量的表达式，从而提供了时间响应的系统输出量的表达式，从而提供了时间响应的全部信息；全部信息；全部信息；全部信息；主要分析一阶和二阶系统的时间响应，最后介主要分析一阶和二阶系统的时间响应，最后介主要分析一阶和二阶系统的时间响应，最后介主要分析一阶和二阶系统的时间响应，最后介绍高阶系统的时间响应；绍高阶系统的时间响应；绍高阶系统的时间响应；绍高阶系统的时间响应；主要是分析系统的主要是分析系统的主要是分析系统的主要是分析系统的稳定性、稳态精度和瞬态响稳定性、稳态精度和瞬态响稳定性、稳态精度和瞬态响稳定性、稳态精度和瞬态响应应应应的性能指标这三个方面的性能指标这三个方面的性能指标这三个方面的性
3、能指标这三个方面 。时间特性法是时间特性法是时间特性法是时间特性法是分析系统的方法之一，而分析的基础，分析系统的方法之一，而分析的基础，分析系统的方法之一，而分析的基础，分析系统的方法之一，而分析的基础，是确定系统的数学模型。分析系统的方法，还有是确定系统的数学模型。分析系统的方法，还有是确定系统的数学模型。分析系统的方法，还有是确定系统的数学模型。分析系统的方法，还有频频频频率特性法率特性法率特性法率特性法和根轨迹法。和根轨迹法。和根轨迹法。和根轨迹法。第一节第一节 时间响应与典型输入信号时间响应与典型输入信号 1.时间响应的概念时间响应的概念 控制系统在典型输入信号的作用下，输出量随控制系
4、统在典型输入信号的作用下，输出量随控制系统在典型输入信号的作用下，输出量随控制系统在典型输入信号的作用下，输出量随时间变化的函数关系称为系统的时间响应。描时间变化的函数关系称为系统的时间响应。描时间变化的函数关系称为系统的时间响应。描时间变化的函数关系称为系统的时间响应。描述系统的微分方程的解就是该系统时间响应的述系统的微分方程的解就是该系统时间响应的述系统的微分方程的解就是该系统时间响应的述系统的微分方程的解就是该系统时间响应的数学表达式。时间响应可分为数学表达式。时间响应可分为数学表达式。时间响应可分为数学表达式。时间响应可分为瞬态响应瞬态响应瞬态响应瞬态响应与与与与稳态稳态稳态稳态响应响
5、应响应响应。1 1）瞬态响应）瞬态响应）瞬态响应）瞬态响应 系统在某一输入信号的作用下，系统的输出量系统在某一输入信号的作用下，系统的输出量系统在某一输入信号的作用下，系统的输出量系统在某一输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应。从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应。从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应。从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应。2 2）稳态响应）稳态响应）稳态响应）稳态响应 在某一输入信号的作用后，时间趋于无穷大在某一输入信号的作用后，时间趋于无穷大在某一输入信号的作用后，时间趋于无穷大在某一输入信号的作用后，时间趋于无穷大时系
6、统的输出状态称为稳态响应。时系统的输出状态称为稳态响应。时系统的输出状态称为稳态响应。时系统的输出状态称为稳态响应。图图图图3-13-1表示某一系统在单位阶跃信号作用下的时间响表示某一系统在单位阶跃信号作用下的时间响表示某一系统在单位阶跃信号作用下的时间响表示某一系统在单位阶跃信号作用下的时间响应的形式。应的形式。应的形式。应的形式。系统的输出量在系统的输出量在ts（调整时间）时刻达到稳（调整时间）时刻达到稳定状态，在定状态，在t从从0ts时间内的响应过程称为时间内的响应过程称为瞬态响应瞬态响应；当；当t时，系统的输出即为时，系统的输出即为稳态稳态响应响应。当当t时，时，y(t)收敛于某一稳定
7、值，则系统收敛于某一稳定值，则系统是稳定的；若是稳定的；若y(t)呈等幅振荡或发散，则系呈等幅振荡或发散，则系统不稳定。统不稳定。瞬态响应直接反应了系统的动态特性，稳瞬态响应直接反应了系统的动态特性，稳态响应偏离希望输出值的程度可以衡量系态响应偏离希望输出值的程度可以衡量系统的精确程度。统的精确程度。二、典型输入信号二、典型输入信号控制系统的动态特性可以通过在输入信号控制系统的动态特性可以通过在输入信号作用下，系统的瞬态响应来评价的。系统作用下，系统的瞬态响应来评价的。系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。还与外加输入信号的形式
8、有关。选取输入信号应当考虑以下几个方面选取输入信号应当考虑以下几个方面输入信号应当具有典型性，能够反映系统工作输入信号应当具有典型性，能够反映系统工作输入信号应当具有典型性，能够反映系统工作输入信号应当具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况的大部分实际情况的大部分实际情况的大部分实际情况输入信号的形式，应当尽可能简单，便于分析输入信号的形式，应当尽可能简单，便于分析输入信号的形式，应当尽可能简单，便于分析输入信号的形式，应当尽可能简单，便于分析处理处理处理处理输入信号能使系统在最恶劣的情况下工作输入信号能使系统在最恶劣的情况下工作输入信号能使系统在最恶劣的情况下工作输入信号能使系统在最恶
9、劣的情况下工作1.阶跃信号阶跃信号阶跃信号如图阶跃信号如图阶跃信号如图阶跃信号如图3-23-2所示，其函数表达式为所示，其函数表达式为所示，其函数表达式为所示，其函数表达式为当当当当R R=1=1时，叫做单位阶跃时，叫做单位阶跃时，叫做单位阶跃时，叫做单位阶跃函数，记为函数，记为函数，记为函数，记为1(1(t t)。单位阶。单位阶。单位阶。单位阶跃函数的拉氏变换为跃函数的拉氏变换为跃函数的拉氏变换为跃函数的拉氏变换为在在在在t t=0=0处的阶跃信号，相当于一个数值为常值的处的阶跃信号，相当于一个数值为常值的处的阶跃信号，相当于一个数值为常值的处的阶跃信号，相当于一个数值为常值的信号，在信号，
10、在信号，在信号，在t t00突然加到系统上。突然加到系统上。突然加到系统上。突然加到系统上。图图3-2 阶跃信号阶跃信号 2.斜坡信号（或速度信号）斜坡信号（或速度信号）斜坡信号如图斜坡信号如图斜坡信号如图斜坡信号如图3-33-3所示，其函数表达式所示，其函数表达式所示，其函数表达式所示，其函数表达式斜坡函数的拉氏变换为斜坡函数的拉氏变换为斜坡函数的拉氏变换为斜坡函数的拉氏变换为 当当当当R R=1=1时，叫做单位斜坡函数。时，叫做单位斜坡函数。时，叫做单位斜坡函数。时，叫做单位斜坡函数。这种信号相当于控制系统中加一个按恒速变化的这种信号相当于控制系统中加一个按恒速变化的这种信号相当于控制系统
11、中加一个按恒速变化的这种信号相当于控制系统中加一个按恒速变化的信号，其速度为信号，其速度为信号，其速度为信号，其速度为R R。图图3-3 斜坡信号斜坡信号 3抛物线信号（加速度信号）抛物线信号（加速度信号）抛物线信号如图抛物线信号如图3-4所示，其数学表达式为所示，其数学表达式为 抛物线信号的拉氏变换为抛物线信号的拉氏变换为抛物线信号的拉氏变换为抛物线信号的拉氏变换为 该输入信号相当于控制系统中加入一恒加速度变该输入信号相当于控制系统中加入一恒加速度变该输入信号相当于控制系统中加入一恒加速度变该输入信号相当于控制系统中加入一恒加速度变化的信号，加速度为化的信号，加速度为化的信号，加速度为化的信
12、号，加速度为R R，当，当，当，当R R=1=1时，叫做单位时，叫做单位时，叫做单位时，叫做单位抛抛抛抛物线信号物线信号物线信号物线信号。图图3-4 抛物线信号抛物线信号 4.脉冲信号脉冲信号 脉冲信号如图脉冲信号如图3-5所示，其数学表达式为所示，其数学表达式为 单位脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为其中，脉冲宽度为其中，脉冲宽度为其中，脉冲宽度为其中，脉冲宽度为h h,脉冲面脉冲面脉冲面脉冲面积为积为积为积为1 1。若对实际脉冲的宽。若对实际脉冲的宽。若对实际脉冲的宽。若对实际脉冲的宽度取趋于零的极限，则为理度取趋于零的极限，则为理
13、度取趋于零的极限，则为理度取趋于零的极限，则为理想单位脉冲函数，记为想单位脉冲函数，记为想单位脉冲函数，记为想单位脉冲函数，记为 (t t),图图3-5 脉冲信号脉冲信号 5.正弦信号正弦信号 正弦信号如图正弦信号如图3-6所示，其数学表达式为所示，其数学表达式为 正弦信号的拉氏变换为正弦信号的拉氏变换为正弦信号的拉氏变换为正弦信号的拉氏变换为 图图3-6 正弦信号正弦信号 三、瞬态响应的性能指标三、瞬态响应的性能指标 用用以以衡衡量量系系统统瞬瞬态态响响应应的的几几项项参参数数，称称为为性性能能指指标标。一一般般以以输输入入端端加加入入单单位位阶阶跃函数时的输出响应加以规定。跃函数时的输出响
14、应加以规定。线线性性系系统统的的性性能能指指标标取取决决于于系系统统本本身身的的特特性性而而与与输输入入信信号号的的大大小小无无关关。同同一一个个线线性性系系统统对对不不同同幅幅值值阶阶跃跃输输入入的的瞬瞬态态响响应应的的区区别别，仅仅在在于于幅幅值值成成比比例例地地变变化化，响响应应时时间间完完全全相相同同，因因此此，对对以以单单位位阶阶跃跃输输入入瞬瞬态态响响应应形形式式给给出出的的性性能能指指标标具具有普遍意义。有普遍意义。图图3-7 控制系统的性能指标控制系统的性能指标 1.1.延迟时间延迟时间延迟时间延迟时间t td d 响应曲线第一次达到稳态值的响应曲线第一次达到稳态值的响应曲线第
15、一次达到稳态值的响应曲线第一次达到稳态值的50%50%所需的时间，所需的时间，所需的时间，所需的时间，叫叫叫叫延迟时间延迟时间延迟时间延迟时间。n n对于过阻尼系统（对于过阻尼系统（对于过阻尼系统（对于过阻尼系统（1 1）,理论上到达稳态值时间理论上到达稳态值时间理论上到达稳态值时间理论上到达稳态值时间需要无穷大，通常采用响应曲线从稳态值的需要无穷大，通常采用响应曲线从稳态值的需要无穷大，通常采用响应曲线从稳态值的需要无穷大，通常采用响应曲线从稳态值的10%10%上上上上升到稳态值的升到稳态值的升到稳态值的升到稳态值的90%90%所需的时间；所需的时间；所需的时间；所需的时间；2.2.上升时间
16、上升时间上升时间上升时间t tr r 响应曲线从零时刻首次到达稳态值的时间，即响响应曲线从零时刻首次到达稳态值的时间，即响响应曲线从零时刻首次到达稳态值的时间，即响响应曲线从零时刻首次到达稳态值的时间，即响应曲线从零上升到稳态值所需的时间。应曲线从零上升到稳态值所需的时间。应曲线从零上升到稳态值所需的时间。应曲线从零上升到稳态值所需的时间。3.3.峰值时间峰值时间峰值时间峰值时间t tp p 响应曲线超过其稳态值而达到第一个峰值所需的响应曲线超过其稳态值而达到第一个峰值所需的响应曲线超过其稳态值而达到第一个峰值所需的响应曲线超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间叫做峰值时间。时间叫做峰值时间。
17、时间叫做峰值时间。时间叫做峰值时间。4.4.最大超调量最大超调量最大超调量最大超调量MMp p和最大百分比超调量和最大百分比超调量和最大百分比超调量和最大百分比超调量MMp p%从从从从1 1开始计算的响应曲线的最大超调量值叫做最大开始计算的响应曲线的最大超调量值叫做最大开始计算的响应曲线的最大超调量值叫做最大开始计算的响应曲线的最大超调量值叫做最大超调量超调量超调量超调量MMp p 。通常采用百分比表示最大超调量。通常采用百分比表示最大超调量。通常采用百分比表示最大超调量。通常采用百分比表示最大超调量MMp p%，定义为：单位阶跃响应曲线偏离稳态值的，定义为：单位阶跃响应曲线偏离稳态值的，定
18、义为：单位阶跃响应曲线偏离稳态值的，定义为：单位阶跃响应曲线偏离稳态值的最大差值与稳态值之比的百分值，即最大差值与稳态值之比的百分值，即最大差值与稳态值之比的百分值，即最大差值与稳态值之比的百分值，即 其中，其中，其中，其中，y y()()代表阶跃响应的终值，即稳态值。代表阶跃响应的终值，即稳态值。代表阶跃响应的终值，即稳态值。代表阶跃响应的终值，即稳态值。最大超调量最大超调量最大超调量最大超调量MMp p的数值，直接说明了系统的相对稳的数值，直接说明了系统的相对稳的数值，直接说明了系统的相对稳的数值，直接说明了系统的相对稳定性。定性。定性。定性。5.5.调整时间调整时间调整时间调整时间t t
19、s s 在在在在响响响响应应应应曲曲曲曲线线线线的的的的稳稳稳稳态态态态线线线线上上上上，用用用用稳稳稳稳态态态态值值值值的的的的百百百百分分分分数数数数作作作作一一一一个个个个允允允允许许许许误误误误差差差差范范范范围围围围，响响响响应应应应曲曲曲曲线线线线第第第第一一一一次次次次达达达达到到到到并并并并永永永永远远远远保保保保持持持持在在在在这这这这一一一一允允允允许许许许误误误误差差差差范范范范围围围围内内内内所所所所需需需需要要要要的的的的时时时时间间间间，叫叫叫叫做做做做调调调调整整整整时时时时间间间间。调调调调整整整整时时时时间间间间与与与与控控控控制制制制系系系系统统统统的的的的
20、时时时时间间间间常常常常数数数数有有有有关关关关。允允允允许许许许误误误误差差差差的的的的百百百百分分分分比比比比选选选选多多多多大大大大，取取取取决决决决于于于于设设设设计计计计要要要要求求求求，通通通通常常常常取取取取5%5%或或或或2%2%。调调调调整整整整时间是评价一个系统响应速度快慢的指标。时间是评价一个系统响应速度快慢的指标。时间是评价一个系统响应速度快慢的指标。时间是评价一个系统响应速度快慢的指标。6.6.振荡次数振荡次数振荡次数振荡次数N N 在调整时间在调整时间在调整时间在调整时间t ts s内响应曲线振荡的次数。内响应曲线振荡的次数。内响应曲线振荡的次数。内响应曲线振荡的次
21、数。第二节第二节 一阶系统的瞬态响应一阶系统的瞬态响应 惯性环节的传递函数为惯性环节的传递函数为惯性环节的传递函数为惯性环节的传递函数为 (3-1)(3-1)一、一阶系统的数学模型一、一阶系统的数学模型一、一阶系统的数学模型一、一阶系统的数学模型能用一阶微分方程描述的系统称能用一阶微分方程描述的系统称能用一阶微分方程描述的系统称能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一阶系统的典型环为一阶系统。一阶系统的典型环为一阶系统。一阶系统的典型环为一阶系统。一阶系统的典型环节是惯性环节。节是惯性环节。节是惯性环节。节是惯性环节。这种系统可看作积分环节被反馈通道包围而成，见这种系统可看作积分环节被反馈通
22、道包围而成，见这种系统可看作积分环节被反馈通道包围而成，见这种系统可看作积分环节被反馈通道包围而成，见图图图图3-83-8。给一阶系统输入阶跃信号，根据式（给一阶系统输入阶跃信号，根据式（给一阶系统输入阶跃信号，根据式（给一阶系统输入阶跃信号，根据式（3-13-1）进行拉）进行拉）进行拉）进行拉氏反变换，求出微分方程的解氏反变换，求出微分方程的解氏反变换，求出微分方程的解氏反变换，求出微分方程的解y y(t t)即为一阶系统的即为一阶系统的即为一阶系统的即为一阶系统的单位阶跃响应。单位阶跃响应。单位阶跃响应。单位阶跃响应。单位阶跃信号的拉氏变换为单位阶跃信号的拉氏变换为单位阶跃信号的拉氏变换为
23、单位阶跃信号的拉氏变换为二二.一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 此式代入（此式代入（此式代入（此式代入（3-13-1）式，可得输出信号拉氏变换为）式，可得输出信号拉氏变换为）式，可得输出信号拉氏变换为）式，可得输出信号拉氏变换为 (3-2)将（将（将（将（3-23-2）式展开成部分分式，可得）式展开成部分分式，可得）式展开成部分分式，可得）式展开成部分分式，可得 (3-3)对上式进行拉氏反变换得对上式进行拉氏反变换得对上式进行拉氏反变换得对上式进行拉氏反变换得 (3-4)上式中的第一项为稳态响应，第二项为瞬态响应。阶上式中的第一项为稳态响应，第二项为瞬态响应。阶上式中的第一项为稳态
24、响应，第二项为瞬态响应。阶上式中的第一项为稳态响应，第二项为瞬态响应。阶跃响应曲线如图跃响应曲线如图跃响应曲线如图跃响应曲线如图3-93-9。T T称为时间常数，它影响到响应称为时间常数，它影响到响应称为时间常数，它影响到响应称为时间常数，它影响到响应的快慢，因而是一阶系统的重要参数。的快慢，因而是一阶系统的重要参数。的快慢，因而是一阶系统的重要参数。的快慢，因而是一阶系统的重要参数。1.1.在响应曲线上，找到稳态值的在响应曲线上，找到稳态值的在响应曲线上，找到稳态值的在响应曲线上，找到稳态值的63.2%63.2%的的的的A A点，并向点，并向点，并向点，并向时间轴时间轴时间轴时间轴t t作垂
25、线，与其交点值，即为时间常数作垂线，与其交点值，即为时间常数作垂线，与其交点值，即为时间常数作垂线，与其交点值，即为时间常数T T。2.2.由由由由t=t=0 0那一点那一点那一点那一点O O（即原点）作响应曲线的切线，与稳态（即原点）作响应曲线的切线，与稳态（即原点）作响应曲线的切线，与稳态（即原点）作响应曲线的切线，与稳态值交于值交于值交于值交于A A 点。由点。由点。由点。由A A 点向时间轴点向时间轴点向时间轴点向时间轴t t作垂线，与其交点值作垂线，与其交点值作垂线，与其交点值作垂线，与其交点值即为时间常数即为时间常数即为时间常数即为时间常数T T。此种方法可由下式得到证明。此种方法
26、可由下式得到证明。此种方法可由下式得到证明。此种方法可由下式得到证明。（3-53-5）当当当当t t=3=3T T时间时，响应已达到稳态值的时间时，响应已达到稳态值的时间时，响应已达到稳态值的时间时，响应已达到稳态值的95%95%，当，当，当，当t t=4=4T T时，达到时，达到时，达到时，达到98.2%98.2%。因而一阶系统的调整时间。因而一阶系统的调整时间。因而一阶系统的调整时间。因而一阶系统的调整时间t ts s=(34)=(34)T T ，以此来评定响应时间的长短。，以此来评定响应时间的长短。，以此来评定响应时间的长短。，以此来评定响应时间的长短。时间常数时间常数时间常数时间常数T
27、 T可通过响应曲线求得，可由下述两种方可通过响应曲线求得，可由下述两种方可通过响应曲线求得，可由下述两种方可通过响应曲线求得，可由下述两种方法确定：法确定：法确定：法确定：(3-5)(3-5)式即为斜率值，由式即为斜率值，由式即为斜率值，由式即为斜率值，由 O OA A T T即可知上述求时间常即可知上述求时间常即可知上述求时间常即可知上述求时间常数的求法是正确的。数的求法是正确的。数的求法是正确的。数的求法是正确的。三、一阶系统的单位斜坡响应三、一阶系统的单位斜坡响应三、一阶系统的单位斜坡响应三、一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡函数的拉氏变换为单位斜坡函数的拉氏变换为单位斜坡函数的拉氏变换为单
28、位斜坡函数的拉氏变换为 代入（代入（代入（代入（3-13-1）式，可得输出信号拉氏变换为）式，可得输出信号拉氏变换为）式，可得输出信号拉氏变换为）式，可得输出信号拉氏变换为 （3-63-6）展开成部分分式展开成部分分式展开成部分分式展开成部分分式 （3-73-7）取（取（取（取（3-73-7）式的拉氏反变换，可得）式的拉氏反变换，可得）式的拉氏反变换，可得）式的拉氏反变换，可得 （3-8）一阶系统在单位斜坡输入时的误差为一阶系统在单位斜坡输入时的误差为一阶系统在单位斜坡输入时的误差为一阶系统在单位斜坡输入时的误差为 （3-9）当当当当t t时，时，时，时，因而因而因而因而e e()=()=T
29、T。系统对单位斜坡输系统对单位斜坡输系统对单位斜坡输系统对单位斜坡输入的时间响应入的时间响应入的时间响应入的时间响应y y(t t)和输入信号和输入信号和输入信号和输入信号x x(t t)表表表表示于图示于图示于图示于图3-103-10中。从中。从中。从中。从图中也可以看出，图中也可以看出，图中也可以看出，图中也可以看出，当当当当t t足够大时，一阶足够大时，一阶足够大时，一阶足够大时，一阶系统跟踪单位斜坡系统跟踪单位斜坡系统跟踪单位斜坡系统跟踪单位斜坡信号输入的误差等信号输入的误差等信号输入的误差等信号输入的误差等于时间常数于时间常数于时间常数于时间常数T T。图图3-10一阶系统单位斜坡响
30、应一阶系统单位斜坡响应 四、四、四、四、一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应 单位脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为 这时式（这时式（这时式（这时式（3-23-2）为）为）为）为 （3-103-10）取其拉氏反变换得取其拉氏反变换得取其拉氏反变换得取其拉氏反变换得 （3-113-11）图图3-11一阶系统单位脉冲响应一阶系统单位脉冲响应 除前面分析之外，还有两点值得提出：除前面分析之外，还有两点值得提出：除前面分析之外，还有两点值得提出：除前面分析之外，还有两点值得提出：1.1.当输入
31、信号不为单位值时，输入信号的拉氏变换当输入信号不为单位值时，输入信号的拉氏变换当输入信号不为单位值时，输入信号的拉氏变换当输入信号不为单位值时，输入信号的拉氏变换分别为：分别为：分别为：分别为：阶跃输入阶跃输入 斜坡输入斜坡输入 脉冲输入脉冲输入 对应于不同输入时的响应分别如下列各式对应于不同输入时的响应分别如下列各式对应于不同输入时的响应分别如下列各式对应于不同输入时的响应分别如下列各式 阶跃输入阶跃输入 斜坡输入斜坡输入 脉冲输入脉冲输入 2.2.当输入信号为单位值时，但如果一阶系统的传递当输入信号为单位值时，但如果一阶系统的传递当输入信号为单位值时，但如果一阶系统的传递当输入信号为单位值
32、时，但如果一阶系统的传递函数的形式为函数的形式为函数的形式为函数的形式为 (3-12)此时，对应于单位输入信号时，其输出响应分别如此时，对应于单位输入信号时，其输出响应分别如此时，对应于单位输入信号时，其输出响应分别如此时，对应于单位输入信号时，其输出响应分别如下式各式所示：下式各式所示：下式各式所示：下式各式所示：阶跃输入阶跃输入阶跃输入阶跃输入 斜坡输入斜坡输入斜坡输入斜坡输入 斜坡输入斜坡输入斜坡输入斜坡输入 例例例例3-1 3-1 已知某一单位反馈系统的开环传递函数为已知某一单位反馈系统的开环传递函数为已知某一单位反馈系统的开环传递函数为已知某一单位反馈系统的开环传递函数为 试求系统的
33、单位阶跃响应。试求系统的单位阶跃响应。试求系统的单位阶跃响应。试求系统的单位阶跃响应。解：首先求出系统的闭环传递函数解：首先求出系统的闭环传递函数解：首先求出系统的闭环传递函数解：首先求出系统的闭环传递函数 因此，闭环传递函数仍为惯性环节，由（因此，闭环传递函数仍为惯性环节，由（因此，闭环传递函数仍为惯性环节，由（因此，闭环传递函数仍为惯性环节，由（3-123-12）式）式）式）式可知可知可知可知 因此，单位阶跃响应表达式为因此，单位阶跃响应表达式为因此，单位阶跃响应表达式为因此，单位阶跃响应表达式为 响应曲线如图响应曲线如图响应曲线如图响应曲线如图3-123-12所示。所示。所示。所示。图图
34、3-12 的的单单位位阶跃阶跃响响应应曲曲线线 例例例例3-23-2两个系统的传递函数分别为两个系统的传递函数分别为两个系统的传递函数分别为两个系统的传递函数分别为 系统系统系统系统 系统系统系统系统 试比较两个系统响应的快慢。试比较两个系统响应的快慢。试比较两个系统响应的快慢。试比较两个系统响应的快慢。解：系统响应的快慢主要指标是调整时间的大小，解：系统响应的快慢主要指标是调整时间的大小，解：系统响应的快慢主要指标是调整时间的大小，解：系统响应的快慢主要指标是调整时间的大小，一阶系统的调整时间是由时间常数一阶系统的调整时间是由时间常数一阶系统的调整时间是由时间常数一阶系统的调整时间是由时间常
35、数T T决定的。决定的。决定的。决定的。系统系统系统系统1 1的时间常数的时间常数的时间常数的时间常数 系统系统系统系统2 2的时间常数的时间常数的时间常数的时间常数 由于由于由于由于T T1 1 1 1以及以及以及以及00 111，过阻尼情况过阻尼情况过阻尼情况过阻尼情况 (3-16)(3-16)式可以写成部分分式为式可以写成部分分式为式可以写成部分分式为式可以写成部分分式为 (3-20)(3-20)求上式的拉氏反变换，得求上式的拉氏反变换，得求上式的拉氏反变换，得求上式的拉氏反变换，得 (3-21)(3-21)系统包含两类瞬态衰减分量，系统包含两类瞬态衰减分量，系统包含两类瞬态衰减分量，系
36、统包含两类瞬态衰减分量，响应为指数函数曲线形式。响应为指数函数曲线形式。响应为指数函数曲线形式。响应为指数函数曲线形式。单调上升，无振荡，过渡过单调上升，无振荡，过渡过单调上升，无振荡，过渡过单调上升，无振荡，过渡过程时间长，程时间长，程时间长，程时间长，t t时，时，时，时，y y(t t)=1)=1，所以，所以，所以，所以无稳态误差。无稳态误差。无稳态误差。无稳态误差。（三）一对共轭复根时（三）一对共轭复根时（三）一对共轭复根时（三）一对共轭复根时 ，00 11，欠阻尼情况，欠阻尼情况，欠阻尼情况，欠阻尼情况 由于由于由于由于 11，（，（，（，（3-123-12）式得，）式得，）式得，）
37、式得，s s1,21,2=-=-n n j j d d 式中式中式中式中 ，称为阻尼自然频率（，称为阻尼自然频率（，称为阻尼自然频率（，称为阻尼自然频率（radrads s）这时，采用部分分式法，式（这时，采用部分分式法，式（这时，采用部分分式法，式（这时，采用部分分式法，式（3-103-10）变为）变为）变为）变为 (3-22)(3-22)上式的拉氏反变换为上式的拉氏反变换为上式的拉氏反变换为上式的拉氏反变换为 (3-23)(3-23)无稳态误差；无稳态误差；无稳态误差；无稳态误差；呈现衰减振荡过程，呈现衰减振荡过程，呈现衰减振荡过程，呈现衰减振荡过程，振荡频率是阻尼自然振荡频率是阻尼自然振
38、荡频率是阻尼自然振荡频率是阻尼自然频率频率频率频率 d d ；其振幅衰减；其振幅衰减；其振幅衰减；其振幅衰减的快慢由的快慢由的快慢由的快慢由 和和和和 n n决定；决定；决定；决定；振荡幅值随振荡幅值随振荡幅值随振荡幅值随 减小而减小而减小而减小而加大。加大。加大。加大。图图3-14 阻尼比不同时，二阶系统的单位阶跃响应阻尼比不同时，二阶系统的单位阶跃响应 y y(t t)=1-cos)=1-cos n nt t （t t00）(3-24)(3-24)s s1,21,2=j j n n，将将将将 =0=0代入式（代入式（代入式（代入式（3-153-15）可得）可得）可得）可得（四）一对复根时（
39、四）一对复根时（四）一对复根时（四）一对复根时 ，=0 0，零阻尼情况，零阻尼情况，零阻尼情况，零阻尼情况 二阶系统在无阻尼时瞬态响应是等幅振荡，二阶系统在无阻尼时瞬态响应是等幅振荡，二阶系统在无阻尼时瞬态响应是等幅振荡，二阶系统在无阻尼时瞬态响应是等幅振荡，振荡频率为振荡频率为振荡频率为振荡频率为 n n 。稳定边界稳定边界（五）一对正实部虚根时（五）一对正实部虚根时（五）一对正实部虚根时（五）一对正实部虚根时 ，0 0，负阻尼情况，负阻尼情况，负阻尼情况，负阻尼情况 极点实部大于零，响应发散，系统不稳定极点实部大于零，响应发散，系统不稳定图图3-15 负阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线负阻尼
40、二阶系统的单位阶跃响应曲线 频率频率频率频率 n n和和和和 d d的物理意义：的物理意义：的物理意义：的物理意义：u n n是无阻尼（是无阻尼（是无阻尼（是无阻尼（=0=0）时二阶系统等幅振荡的）时二阶系统等幅振荡的）时二阶系统等幅振荡的）时二阶系统等幅振荡的振荡频率，因此称为振荡频率，因此称为振荡频率，因此称为振荡频率，因此称为无阻尼自然频率无阻尼自然频率无阻尼自然频率无阻尼自然频率；u 是欠阻尼（是欠阻尼（是欠阻尼（是欠阻尼（00 11）时衰减振荡）时衰减振荡）时衰减振荡）时衰减振荡的振荡频率，因此称为阻尼自然频率；的振荡频率，因此称为阻尼自然频率；的振荡频率，因此称为阻尼自然频率；的振
41、荡频率，因此称为阻尼自然频率；uT Td d=2=2 /d d称为阻尼振荡周期。称为阻尼振荡周期。称为阻尼振荡周期。称为阻尼振荡周期。u显然显然显然显然 n n d d，且随着，且随着，且随着，且随着 的增大，的增大，的增大，的增大，d d的值相应地的值相应地的值相应地的值相应地减小。减小。减小。减小。几点结论：几点结论：1、二阶系统的阻尼比、二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性：决定了其振荡特性：0 时，阶跃响应发散，系统不稳定；时，阶跃响应发散，系统不稳定；=0时，出现等幅振荡；时，出现等幅振荡；0 1时，有振荡，时，有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快；愈小，振荡愈严重，但响应愈快；1 时
42、，无振荡、无超调，过渡过程长。时，无振荡、无超调，过渡过程长。2、一定时，一定时，n n越大，越大，瞬态响应分量衰减越迅速，瞬态响应分量衰减越迅速，响应的快速性越好。响应的快速性越好。3、工程中通常采用欠阻、工程中通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选尼系统，且阻尼比通常选择在择在0.40.8之间，以保证之间，以保证系统的快速性同时又不至系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡于产生过大的振荡三、二阶系统的单位斜坡响应三、二阶系统的单位斜坡响应（3-253-25）按前面分析单位阶跃响应的同样方法，可以得到按前面分析单位阶跃响应的同样方法，可以得到按前面分析单位阶跃响应的同样方法，可以得到按前面分析单
43、位阶跃响应的同样方法，可以得到 一个随动系统，其输入端以一个连续等速信号给定时，一个随动系统，其输入端以一个连续等速信号给定时，一个随动系统，其输入端以一个连续等速信号给定时，一个随动系统，其输入端以一个连续等速信号给定时，其响应就属斜坡响应。当输入单位斜坡信号时，其响应就属斜坡响应。当输入单位斜坡信号时，其响应就属斜坡响应。当输入单位斜坡信号时，其响应就属斜坡响应。当输入单位斜坡信号时，（一）（一）（一）（一）00 111 斜坡响应为斜坡响应为斜坡响应为斜坡响应为 响应曲线如图响应曲线如图响应曲线如图响应曲线如图3-163-16所示。所示。所示。所示。（3-283-28）（二）（二）（二）（
44、二）=1=1 斜坡响应为斜坡响应为斜坡响应为斜坡响应为 (3-27)(3-27)图图3-16 二阶系统的单位斜坡响应曲线二阶系统的单位斜坡响应曲线 四、二阶系统的单位脉冲响应四、二阶系统的单位脉冲响应 当输入单位脉冲信号时，当输入单位脉冲信号时，当输入单位脉冲信号时，当输入单位脉冲信号时，X X(s s)=1,)=1,（3-293-29）（一）（一）（一）（一）00 111 脉冲响应为脉冲响应为脉冲响应为脉冲响应为 (3-32)(3-32)图图3-17 二阶系统的单位脉冲响应曲线二阶系统的单位脉冲响应曲线 表表3-1输入信号幅值不为单位值时，响应表达式输入信号幅值不为单位值时，响应表达式 信号
45、形式信号形式信号形式信号形式 输入信号形式幅值为输入信号形式幅值为输入信号形式幅值为输入信号形式幅值为R R 阶阶阶阶跃跃跃跃信信信信号号号号 表表3-1输入信号幅值不为单位值时，响应表达式输入信号幅值不为单位值时，响应表达式 信号形式信号形式信号形式信号形式 输入信号形式幅值为输入信号形式幅值为输入信号形式幅值为输入信号形式幅值为R R 脉脉脉脉冲冲冲冲信信信信号号号号 表表3-1输入信号幅值不为单位值时，响应表达式输入信号幅值不为单位值时，响应表达式 信号形式信号形式信号形式信号形式 输入信号形式幅值为输入信号形式幅值为输入信号形式幅值为输入信号形式幅值为R R 斜斜斜斜坡坡坡坡信信信信号
46、号号号 表表3-2阻尼比与极点的关系阻尼比与极点的关系 阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比 极点极点极点极点 极点特征极点特征极点特征极点特征 两个不同的实数两个不同的实数两个不同的实数两个不同的实数极点极点极点极点 两个相同的实数两个相同的实数两个相同的实数两个相同的实数极点极点极点极点 两个共轭的复数两个共轭的复数两个共轭的复数两个共轭的复数极点极点极点极点 位于虚轴上的共位于虚轴上的共位于虚轴上的共位于虚轴上的共轭极点轭极点轭极点轭极点 两个共轭的复数两个共轭的复数两个共轭的复数两个共轭的复数极点极点极点极点 五、二阶系统阶跃响应与极点的关系五、二阶系统阶跃响应与极点的关系表表表表3-33-3极点
47、与阶跃响应的关系极点与阶跃响应的关系极点与阶跃响应的关系极点与阶跃响应的关系 阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比 极极极极 点点点点 极点在极点在极点在极点在s s平面的位置平面的位置平面的位置平面的位置 阶跃响应形式阶跃响应形式阶跃响应形式阶跃响应形式 11 =1=100 11 =0=0 00n n 若系统的所有特征根若系统的所有特征根若系统的所有特征根若系统的所有特征根s si i（i i=1=1，2 2，n n）均具有）均具有）均具有）均具有负实部负实部负实部负实部，即，即，即，即ReRe s si i000，则其系统会产生振荡，这种系统称为则其系统会产生振荡，这种系统称为则其系统会产生振荡，这种
48、系统称为则其系统会产生振荡，这种系统称为不稳定不稳定不稳定不稳定系统。系统。系统。系统。n n 若系统有一个特征根的若系统有一个特征根的若系统有一个特征根的若系统有一个特征根的实部为实部为实部为实部为0 0，而其余特征根，而其余特征根，而其余特征根，而其余特征根的实部均为的实部均为的实部均为的实部均为负数负数负数负数，系统最终会变成，系统最终会变成，系统最终会变成，系统最终会变成一等幅振荡一等幅振荡一等幅振荡一等幅振荡，这，这，这，这种系统称为种系统称为种系统称为种系统称为临界稳定系统临界稳定系统临界稳定系统临界稳定系统。往往也将。往往也将。往往也将。往往也将临界稳定系统临界稳定系统临界稳定系
49、统临界稳定系统看成不稳定系统看成不稳定系统看成不稳定系统看成不稳定系统。二二阶阶系系统统的的特特征征参参量量阻阻尼尼比比 和和无无阻阻尼尼自自然然频频率率 n对对其其瞬瞬态态响响应应具具有有重重要要的的影影响响。下下面面进进一一步步分分析析 和和 n与与瞬瞬态态响响应应指指标标的的关关系系，以以便便指指出出设设计计和和调调整整二二阶阶系系统统的的方方向向，除除了了那那些些不不允允许许产产生生振振荡荡的的控控制制系系统统外外，通通常常允允许许控控制制系系统统具具有有适适度度的的振振动动特特性性，以以求求能能有有较较短短的的调调整整时时间间。因因此此，系系统统经经常常工作在欠阻尼状态。工作在欠阻尼
50、状态。二阶系统，二阶系统，当当0 1时时，推导瞬态响应各，推导瞬态响应各项特征指标的计算公式。项特征指标的计算公式。六、二阶系统瞬态响应的性能指标计算六、二阶系统瞬态响应的性能指标计算 1.上升时间上升时间tr 根据式（根据式（根据式（根据式（3-233-23），令），令），令），令y y(t t)=1)=1，即可得上升时间，即可得上升时间，即可得上升时间，即可得上升时间t tr r，即，即，即，即 （3-333-33）由于由于由于由于 ，为使式（，为使式（，为使式（，为使式（3-333-33）成立，必须）成立，必须）成立，必须）成立，必须 即即即即 （3-343-34）式中式中式中式中在（在