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1、拉格朗日插值误差余项拉格朗日插值误差余项差商差商(均差均差)的概念的概念算法与例子算法与例子牛顿插值公式牛顿插值公式数值分析14两点线性插值两点线性插值定义误差余项定义误差余项:R(x)=f(x)L(x)由插值条件由插值条件,知知R(x)=C(x)(xx0)(xx1)即即f(x)L(x)=C(x)(xx0)(xx1)C(x)=?2/18ax0 x1xnb则则对对任任何何xa,b,满满足足Ln(xk)=f(xk)的的n次次插值多项式插值多项式Ln(x)的误差的误差其中其中,且与且与x有关有关定理定理5.2设设f(x)Ca,b,且且f(x)在在(a,b)内具内具有有n+1阶导数阶导数,取插值结点取
2、插值结点3/18证明证明:记记 n+1(x)=(xx0)(xx1)(xxn)f(x)Ln(x)=C(x)n+1(x)取定取定x(a,b),设设t(a,b).构造函数构造函数显然显然,F(x)=0,F(xj)=0,(j=0,1,n)由插值条件由插值条件Ln(xk)=f(xk)(k=0,1,n)知存在知存在C(x)使得使得4/18F(t)有有(n+2)个相异零点个相异零点.根据根据Rolle定理定理,F(t)在区间在区间(a,b)内至少有内至少有(n+1)个相异零点个相异零点.依此类推依此类推,F(n+1)(t)在区间在区间(a,b)内至少内至少有有一个零点一个零点。故存在故存在 (a,b),使使
3、F(n+1)()=0 5/18例例5.3设设y=f(x)在区间在区间a,b上有连续上有连续,且且f(x)在在(a,b)内具有内具有2阶导数阶导数,已知已知f(x)在区间在区间端点处的值端点处的值.如果当如果当x(a,b)时时,有有|f(x)|M.试证明试证明证明证明由由Lagrange插值误差定理插值误差定理令令h(x)=|(xa)(xb)|6/18应用应用:考虑制做考虑制做sinx在在0,上等距结点的函数表上等距结点的函数表,要求用线性插值计算非表格点数据时要求用线性插值计算非表格点数据时,能准确到小数后能准确到小数后两位两位,问函数表中自变量数据的步长问函数表中自变量数据的步长h应取多少为
4、好应取多少为好？解解：设应取的步长为设应取的步长为h,则则xj=jh(j=0,1,n).当当x(xj,xj+1)时时 h0.2只须只须7/18取取x0,x1,x2,求二次函数求二次函数P(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1)满足条件满足条件P(x0)=f(x0),P(x1)=f(x1),P(x2)=f(x2)插值条件引出关于插值条件引出关于a0,a1,a2方程方程牛顿插值问题牛顿插值问题8/18解下三角方程组过程中引入符号解下三角方程组过程中引入符号a0=f(x0),a1=fx1,x2,a2=fx0,x1,x2P(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1)9/18定义
5、定义5.3若已知函数若已知函数f(x)在点在点x0,x1,xn处的值处的值f(x0),f(x1),f(xn).如果如果ij,则则(j=0,1,n-1)一阶均差一阶均差n阶均差阶均差二阶均差二阶均差(j=0,1,n-2)10/18x-2-1013y-56-16-2-24例例 由函数表由函数表求各阶均差求各阶均差xf(x)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商-2-56-1-16400-214-131-20-7 23431 2解解:按公式计算一阶差商按公式计算一阶差商、二阶差商二阶差商、三阶差商如下三阶差商如下11/18MATLAB程序计算程序计算x=-2-1013;y=-56-16-2
6、-24;f=yn=length(x);fork=2:nforj=n:-1:kf(j)=(f(j)-f(j-1)/(x(j)-x(j+1-k);endD(:,k-1)=f;D(1:k-1,k-1)=zeros(k-1,1);endx,y,D-2-56-1-16400-214-131-20-7234312012/18牛顿插值公式牛顿插值公式其中其中(k=1,2,n)f(x)=f(x0)+(x-x0)fx,x013/18假设对于假设对于kn，有有令令则则f(x)=N(x)+Rn(x)14/18x-2-1013y-56-16-2-24f(x0)=-56,fx0,x1=40,fx0,x1,x2=13,f
7、x0,x1,x2,x3=2,fx0,x1,x2,x3,x4=0N3(x)=56+40(x+2)13(x+2)(x+1)+2(x+2)(x+1)x例例 由函数表由函数表求求Newton插插值函数值函数函数值的计算函数值的计算:N3(x)=56+(x+2)40(x+1)13+2x15/18根据代数插值存在唯一性定理根据代数插值存在唯一性定理,n次牛顿插值公式恒次牛顿插值公式恒等于等于n次拉格朗日插值公式次拉格朗日插值公式,误差余项也相等，即误差余项也相等，即算法算法:记插值节点为记插值节点为x0,x1,xn,f(x)的各的各阶差商为阶差商为f0,f1,f2,fn(1)sfn(2)计算计算sfk+s
8、*(x-xk)(k=n-1,n-2,0)(3)(3)N(x)=s16/18例例:推导计算公式推导计算公式112983362719/241006437/23522512561/241/4644121691/251/407784343127/261/4017/18P(n)=1+(n-1)(8+(n-2)(19/2+(n-3)(3+(n-4)/4)=n4/4+n3/2+n2/4=1+(n1)(8+(n2)(19/2+(n3)(n/4+2)=1+(n1)(8+(n2)(19/2+n2/4+5n/46)=1+(n1)(8+(n2)(n2/4+5n/4+7/2)=1+(n1)(n3/4+3n2/4+n+1)18/18