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1、第六章 异方差第一节 异方差的性质一、异方差 在经典线性回归模型（CLRM）中，我们假定随即干扰项具有同方差性，即：Var(ui|Xi)=Eui-E(ui)|Xi2 =E(ui2|Xi2=2这实际上是假定了解释变量Yi 的值围绕其期望值的分散程度相同。实际上，对应于解释变量的不同取值，方差可能不同，即本假定不成立。Y1X1Y2X2YnXn.Y1X1X2YnXn.同方差异方差 如果保持随机项的协方差为0，则的方差、协方差矩阵为：或者说，。在这种情况下，称随机项ui 具有异方差性。二、异方差的原因1、因变量与解释变量间相互关系的性质。如“干中学”、经济行为规则等。2、解释变量的遗漏。3、异常观测值
2、的出现。4、时间序列数据中，观测技术的改进引起的观测值的变化。三、异方差的后果 由于异方差性，基于CLRM假定的OLS估计参数结果将受到影响。1、考虑异方差性的OLS估计 如果假定 ，保留其它的CLRM假定，以双变量回归模型为例，普通OLS估计为：可以证明该估计量是线性、无偏的（第二章的证明），但是否为最优估计量（具有最小方差性）性，则不一定。可以在考虑异方差性的前提下，采用适当的OLS估计方法来分析。2、存在异方差性的OLS估计广义最小二乘法（GLS)估计 对于可以进行变量代换，构造满足CLRM假定的回归方程。在估计过程中，新模型的残差平方和实际上是原模型的残差的加权平方和：因此，这种GLS
3、估计，称为加权 最小二乘法（最小二乘法（WLS)。显然，在求最小残差的过程中，对于方差较大的观测值赋予的权重较小（不符合“平均”意义上的“异常”观测值），而对于方差较小的观测值赋予较大的权重，使样本回归函数更接近总体回归函数。这种先将原始变量转换成满足CLRM假定的转换变量，再利用OLS进行估计的方法，称为广义最小二乘法（广义最小二乘法（GLS），得到的估计量称为GLS估计量。显然，GLS估计量是BLUE的。3、考虑OLS估计与GLS 估计的比较 OLS估计量：GLS估计量：1、两种估计量都是无偏的。2、GLS估计量具有最小方差性：。3、在假设检验中，OLS估计将降低检验的显著性。4、OLS估
4、计降低估计的精度。4、忽略异方差的OLS估计（同方差假定下的OLS估计），不仅不具最小方差性，而且估计是有偏的。以此为基础的统计推断将可能产生严重的误导。第二节 异方差性的探察 由于异方差性可能导致的后果，在估计中要考虑如何探察异方差的存在，并采取相应的补救措施。一、图示法 由于在存在异方差的情况下，随机项ui 的方差与解释变量的取值有关，因此可以画出因变量Y与解释变量X的散点图，或同方差假定下以OLS估计得到的残差平方与X或Y(多变量模型中)的散点图，据此对异方差做出直观的近似判断。(P359-360图11.7，图11.8)二、帕克（Pack）检验且能确定影响随机项的解释变量。二、格兰奇（G
5、lejser）检验 如果回归结果表明异方差与多个变量有关，可以引入多个变量进行回归，并进行检验。格兰奇（Glejser）检验的优点在于，在检验异方差的同时，可以得到异方差形式的信息（与解释变量的关系），在后续分析中据此处理样本数据和回归模型，以得到BLUE估计。三、斯皮尔曼（Spearman）等级相关系数检验 通过随机项的方差与解释变量的等级相关系数的显著性检验，判断是否存在异方差性。步骤：这一检验的依据，其实就是检查随着因变量的变化，方差是否随之变化（等级差异意味着变动）。四、戈德菲尔德匡特（Goldfied-Quandt）检验 G-Q检验适用于大样本、随机项的方差与某异解释变量存在正相关的情况。检验的前提条件是：随机项服从正态分布；无序列相关。步骤：如果同方差，则 F 1；如果存在以方差性，根据正相关的假设，F1。F越大（超过临界值），说明存在以方差性的可能性就越大。第三节 异方差模型的处理一、随机项的方差已知的情况 对新模型作OLS回归可以估计出原模型参数的BLUE估计。二、随机项的方差未知的情况 存在以方差性，则随机项的方差与一个或多个解释变量有关。如：可得到满足CLRM假定的新模型：因此，关键的问题是找出异方差的具体形式。