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1、9.2.3 9.2.3 总体集中趋势的估计总体集中趋势的估计 第第九九章章 统计统计2023/5/21LOGO引引 入入 为了了解总体的情况，前面我们研究了如何为了了解总体的情况，前面我们研究了如何通过样本的分布规律估计总通过样本的分布规律估计总体的分布规律体的分布规律。但有时候，我们可能不太关心总体的分布规律，而。但有时候，我们可能不太关心总体的分布规律，而更关注总更关注总体取值在某一方面的特征体取值在某一方面的特征.例如，对于某县今年小麦的收成情况，我们可能例如，对于某县今年小麦的收成情况，我们可能会更关注该县今年小麦的总产量或平均每公顷的产量，而不是产量的分布；会更关注该县今年小麦的总产
2、量或平均每公顷的产量，而不是产量的分布；对于一个国家国民的身高情况，我们可能会更关注身高的平均数或中位数，对于一个国家国民的身高情况，我们可能会更关注身高的平均数或中位数，而不是身高的分布；等等而不是身高的分布；等等.在初中的学习中我们已经了解到，在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数平均数、中位数和众数等都是刻画等都是刻画“中心位置中心位置”的量的量，它们，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.例1在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：众数、中位数、平均数的计算众数、中位数、平均数的计算成绩(单位：m)1.501.
3、601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.解在在17个数据中，个数据中，1.75出现了出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第其中第9个数据个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.故故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m,1.6
4、9 m.LOGO引引 入入众数：一组数据中众数：一组数据中出现次数最多出现次数最多的数的数.中位数：一组数据按中位数：一组数据按大小顺序大小顺序依次排序后，依次排序后，当数据个数是当数据个数是奇数奇数时，处在时，处在最中间最中间的数是中位数；的数是中位数；当数据个数是当数据个数是偶数偶数时，时，最中间两个数的平均数最中间两个数的平均数是中位数是中位数.平均数：平均数：问题问题1 平均数、中位数、众数是什么平均数、中位数、众数是什么？下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集
5、中趋势与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势.例例2 2某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？中位数为中位数为15岁，众数为岁，众数为15岁岁.平均数、中位数和众数相等，平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征因此它们都能
6、较好地反映甲群市民的年龄特征.中中位位数数为为5.5岁岁，众众数数为为6岁岁.由由于于乙乙群群市市民民大大多多数数是是儿儿童童，所所以以中中位位数数和和众众数数能能较较好好地地反反映映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.10众数、中位数、平均数有没有发生变化？LOGO探究新知探究新知通通过计过计算可得算可得,平均数由原来的平均数由原来的15岁岁变为变为10.3,中位数没有中位数没有变变化化,还还是是5.5.样本样本平均数平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变
7、；平均数的改变；中位数中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，所以不是任何一个样本只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变数据的改变都会引起中位数的改变与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感加敏感.LOGO探究新知探究新知1.平均数与中位数的区别与联系平均数与中位数的区别与联系探究1 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关布的形态有关.在下图的三种
8、分布形态中，在下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关平均数和中位数的大小存在什么关系系？（1）直方图的形状是对称的，平均数和中位数应该大体上差不多）直方图的形状是对称的，平均数和中位数应该大体上差不多和中位数相比，平均数总是在和中位数相比，平均数总是在“长尾巴长尾巴”那边那边.（2）直）直方图在右边方图在右边“拖尾拖尾”，平均数大于中位数，平均数大于中位数（3）直方图在左边直方图在左边“拖尾拖尾”，那么平均数小于中位数，那么平均数小于中位数LOGO探究新知探究新知如果一组数据的如果一组数据的平均数和中位数相差较大平均数和中位数相差较大，那么可以推断这组数据一定是，那么可以推断这组
9、数据一定是不对称不对称的的.如果样本如果样本平均数大于样本中位数平均数大于样本中位数，说明，说明数据中存在较大的极端值数据中存在较大的极端值；反之，；反之，说明数据中不存在较大的极端值说明数据中不存在较大的极端值.LOGO例题讲解例题讲解 例例5 某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.根据统根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示：计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示：校服校服规格格155160165170175合合计频数数39641679026386 如果用一个量来代表该
10、校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论上表数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性中，哪个量比较合适？试讨论上表数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.解：解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据.通过观察条形图可以发现，选择校服规格为通过观察条形图可以发现，选择校服规格为“165”的女生频数最高，所以用众数的女生频数最高，所以用众数165作为该作为该校高一年级女生校服的规格比较合适校高一年级女生校
11、服的规格比较合适.由于全国各地的高一年级女生的身高存在一由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理一年级女生的校服规格不合理.LOGO探究新知探究新知众数众数只利用只利用了了出现次数最多出现次数最多的那个值的信息的那个值的信息.众数只能告诉我们它比其他值众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多出现的次数多,但但并未告诉我们它比别的数值多的程度并未告诉我们它比别的数值多的程度.因此，因此，众数只能传众数只能传递数据中的信息的很少的一部分，对极端值也不敏感递数据中的信息的很少的一部分，对极端值也不敏
12、感.对对数值型数据数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述集中趋势的描述，可以，可以用用平均数、中位数；平均数、中位数；对对分类型数据分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述集中趋势的描述，可以用可以用众数众数.【小结【小结】LOGO探究新知探究新知在频率分布直方图中，我们无法知道在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的每个组内的数据是如何分布的.此时，此时，通常通常假设假设它们在它们在组内均匀分布组内均匀分布.探究2 样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中
13、位数和样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据 如何如何由频率分布直方图估计样本的平均数、中位数和众数由频率分布直方图估计样本的平均数、中位数和众数？你能以图你能以图9.2-1中频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗中频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗?LOGO探究新知探究新知2.根据频率分布直方图计算样本平均数：根据频率分布直方图计算样本平均数：估计平均数估计平均数假设假设数据在数据在组内均匀分布组内均匀分布.样本平均数可以表示为数据与它的频率的成绩之和
14、于是于是平均数的近似值平均数的近似值为为小矩形面积小矩形面积小矩形底边中点横坐标小矩形底边中点横坐标每个小矩形底边中点的横坐标每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和与小矩形的面积的乘积之和这个结果与根据原始数据计算的样本平均数这个结果与根据原始数据计算的样本平均数8.79相差不大相差不大.LOGO探究新知探究新知 根据中位数的意义，在样本中，根据中位数的意义，在样本中，有有50的个体小于或等于中位数，也有的个体小于或等于中位数，也有50的个体大于或等于中位数的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，因此，在频率分布直方图中，中位数中位数左边和右边左边和右边的直方图的面积的直
15、方图的面积应该相等应该相等.中位数落在区间中位数落在区间4.2,7.2)内内设中位数是设中位数是x，则，则这个结果与根据原始数据求得的中位这个结果与根据原始数据求得的中位数数6.8相差不大相差不大.中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等x-4.2估计中位数估计中位数LOGO探究新知探究新知众数常用在描述分类型数据中，众数常用在描述分类型数据中，众数众数5.7让我们知道月均用水量在让我们知道月均用水量在区间区间4.2，7.2)的居民用户最多的居民用户最多.这个信息具有实际意义这个信息具有实际意义.在频率分布直方图中，月均用水量在区间在频率分布直方
16、图中，月均用水量在区间4.2，7.2)内的居民内的居民最多最多，可以将这，可以将这个个区间的中点区间的中点5.7作为作为众数众数的估计值的估计值.最高矩形的中点最高矩形的中点估计众数估计众数LOGO探究新知探究新知找众数、中位数、平均数找众数、中位数、平均数 众数：众数：最高矩形的最高矩形的中点中点由频率分布直方图估计总体的集中趋势由频率分布直方图估计总体的集中趋势中位数：中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等面积相等 平均数：平均数：每个小矩形底边每个小矩形底边中点的横坐标中点的横坐标与小矩形的与小矩形的面积面积的的乘积之和乘积之和【小结【小
17、结】LOGO探究新知探究新知平均数、中位数、众数各自的含义、特点及优缺点：平均数、中位数、众数各自的含义、特点及优缺点：平均数平均数中位数中位数众数众数在在频频率分布率分布直方直方图图中的中的含含义义特点特点优优点点缺点缺点每个小矩形面积乘每个小矩形面积乘以小矩形底边中点以小矩形底边中点的横坐标之和的横坐标之和与每一个数据有关，与每一个数据有关，任何一个数的改变都任何一个数的改变都会引起它的改变会引起它的改变把频率分布直方图划分把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分左右两个面积相等的分界线与界线与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标只利用了样本数据中间只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，位置的
18、一个或两个值，并未利用其他数据并未利用其他数据最高矩形底边中最高矩形底边中点的横坐标点的横坐标只利用了出现次只利用了出现次数最多的那个值数最多的那个值的信息的信息受极端数据的影响较大受极端数据的影响较大.代表了样本数据更代表了样本数据更多的信息多的信息.只能表达样本数据中的少量信息只能表达样本数据中的少量信息.容易计算，不受少数几个极端值的影响容易计算，不受少数几个极端值的影响.LOGO课堂练习课堂练习练习练习 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出8080名学生，其数学成名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示绩（均为整数）的频率分
19、布直方图如图所示.（1 1）求这次测试数学成绩的众数）求这次测试数学成绩的众数;（2 2）求这次测试数学成绩的中位数）求这次测试数学成绩的中位数.（3 3）求这次测试数学成绩的平均分）求这次测试数学成绩的平均分.LOGO课堂练习课堂练习（2）中位数中位数中位数落在区间中位数落在区间70,80)内，内，设中位数是设中位数是x，则，则中位数约为中位数约为73.3众数为最高矩形的中点众数为最高矩形的中点中位数左边的直方图面积中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等和右边的直方图面积相等0.050.150.20.3LOGO课堂练习课堂练习（3）平均数平均数=每个小矩形底边中点的每个小矩形底边中点的
20、横坐标与小矩形的面积横坐标与小矩形的面积的乘积之和的乘积之和455565758595LOGO例题讲解例题讲解解：解：(1)由直方由直方图图可知，众数可知，众数为为75分分 中位数中位数约为约为LOGO例题讲解例题讲解 变式变式 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则：生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则：(1)这这20名工人中一天生产该产品数量在名工人中一天生产该产品数量在55,75)的人数是的人数是_；(2)这这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为名工人中一天生产
21、该产品数量的中位数为_；(3)这这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为名工人中一天生产该产品数量的平均数为_LOGO课堂练习课堂练习 1.根据表根据表9.2-2中的数据，估计该市中的数据，估计该市2015年全年空气质量指数的平均数、中位数年全年空气质量指数的平均数、中位数和第和第80百分位数百分位数.(注注:已知该市属于已知该市属于“严重污染严重污染”等级的空气质量指数不超过等级的空气质量指数不超过400)空气质量等级空气质量等级(空气质量指数空气质量指数(AQD)频数频数频率频率优优(AQI50)8322.8%良良(50AQI100)12133.2%轻度污染轻度污染(100 AQI150
22、)6818.6%中度污染中度污染(150AQI200)4913.4%重度污染重度污染(200 300)143.8%合计合计365100%解：平均数的估计值为2522.8%+7533.2%+12518.6%+17513.4%+2508.2%+3503.8%111.LOGO课堂练习课堂练习 1.根据表根据表9.2-2中的数据，估计该市中的数据，估计该市2015年全年空气质量指数的平均数、中位数年全年空气质量指数的平均数、中位数和第和第80百分位数百分位数.(注注:已知该市属于已知该市属于“严重污染严重污染”等级的空气质量指数不超过等级的空气质量指数不超过400)空气质量等级空气质量等级(空气质量指
23、数空气质量指数(AQD)频数频数频率频率优优(AQI50)8322.8%良良(50AQI100)12133.2%轻度污染轻度污染(100 AQI150)6818.6%中度污染中度污染(150AQI200)4913.4%重度污染重度污染(200 300)143.8%合计合计365100%解：由上表数据可知，中位数在由上表数据可知，中位数在50100之之间间，其估，其估计值为计值为LOGO课堂练习课堂练习 1.根据表根据表9.2-2中的数据，估计该市中的数据，估计该市2015年全年空气质量指数的平均数、中位数年全年空气质量指数的平均数、中位数和第和第80百分位数百分位数.(注注:已知该市属于已知该
24、市属于“严重污染严重污染”等级的空气质量指数不超过等级的空气质量指数不超过400)空气质量等级空气质量等级(空气质量指数空气质量指数(AQD)频数频数频率频率优优(AQI50)8322.8%良良(50AQI100)12133.2%轻度污染轻度污染(100 AQI150)6818.6%中度污染中度污染(150AQI200)4913.4%重度污染重度污染(200 300)143.8%合计合计365100%解 由上表数据可知，空气由上表数据可知，空气质质量指数在量指数在0150的的频频率率为为0.746，0200的的频频率率为为0.88.所以第所以第80百分位数在百分位数在150200之之间间，其估
25、，其估计值为计值为LOGO课堂练习课堂练习LOGO课堂练习课堂练习LOGO课堂练习课堂练习LOGO课堂小结课堂小结总体的各种数字特征都可以由两种途径来估计：总体的各种数字特征都可以由两种途径来估计：直接利用样本数据；直接利用样本数据；由频率分布直方图来估计由频率分布直方图来估计两者可两者可能不同能不同众数：众数：最高矩形的最高矩形的中点中点.由频率分布直方图估计总体的集中趋势由频率分布直方图估计总体的集中趋势中位数：中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等面积相等.平均数：平均数：每个小矩形底边每个小矩形底边中点的横坐标中点的横坐标与小矩形的与小矩形的面积面积的的乘积之和乘积之和.LOGO布置作业布置作业（1）教材（2）同步作业